4. Cálculo de raíces  3. Aritmética de computadores  3.4 Desbordamiento por exceso

   
3.5 Condicionamiento y estabilidad

La 'inestabilidad' en un cálculo es un fenómeno que se produce cuando los errores de redondeo individuales se propagan a través del cálculo incrementalmente. Veamos brevemente este fenómeno y el problema relacionado con este: el 'condicionamiento' del método o del problema.

La mejor forma de ver este fenómeno es a través de un ejemplo. Supongamos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

$$\begin{eqnarray*}y_{1}' & = & y_{2} \\y_{2}' & = & y_{1}\end{eqnarray*}$$ que tiene la siguiente solución general: $$\begin{eqnarray*}y_{1} & = & a_{1}e^{x} + a_{2}e^{-x} \\y_{2} & = & a_{1}e^{x} - a_{2}e^{-x}\end{eqnarray*}$$ En el caso particular en que las condiciones iniciales de nuestro problema son: y₁(0) = -y₂(0) = 1

es posible determinar que el valor de las constantes a₁ y a₂ es: a₁ = 0 & y & a₂ = 1

Hasta este punto, las soluciones son exactas. Sin embargo, supongamos que el sistema de ecuaciones anterior se resuelve empleando un método numérico cualquiera con el fin de calcular los valores de las funciones y₁ y y₂ en una secuencia de puntos $x_{1}, x_{2},\dots, x_{n}$ y que el error del método da lugar a un valor de $a_{1}\neq 0$. Ya que a₁ multiplica a un exponencial creciente cualquier valor, por pequeño que sea, de a₁ dará lugar a que el término e^x domine sobre el término e^-x para valores suficientemente grandes de x (ver figura (2)). La conclusión que se obtiene es que no es posible calcular una solución al sistema de ecuaciones diferenciales anterior que, para valores suficientemente grandes de x, no de lugar a un error arbitrariamente grande en relación con la solución exacta.
 
 

   

Figure: Representación gráfica de las funciones y = e^-x e $y = 1.0 \cdot 10^{-8}e^{x} + e^{-x}$ en donde se pone de manifiesto que ambas funciones difieren rápidamente a partir de un cierto valor de la ordenada x.

[scale=0.7]eps/sinu

  

El problema anterior se dice que es inherentemente inestable, o empleando una terminología más común en cálculo numérico, se dice que está 'mal condicionado' (ill-conditioned).

1998-05-11