EL ESPACIO Y EL TIEMPO |
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En la página anterior hemos concluido que la relación
entre mis sensaciones y mis experiencias consiste en que éstas
son una interpretación de aquéllas, y que en esta
interpretación podemos aislar una primera fase en la que las
sensaciones son interpretadas en términos de la geometría
tridimensional euclídea, lo cual da lugar a lo que hemos llamado
intuiciones. Sin embargo, en nuestra primera aproximación al
concepto de intuición hemos pasado por alto que mi entendimiento
no sólo interpreta mis sensaciones en términos
espaciales, sino también temporales. Del mismo modo que mi
entendimiento me dice que aquella luz roja que percibo proviene de un
objeto situado a unos metros delante de mí, mientras que aquella
otra luz roja corresponde a otro objeto similar pero más
alejado, también me dice que el objeto cercano ha cambiado su
luz roja por otra verde un poco antes
de que lo hiciera el más alejado, así como que, apenas el
más cercano ha pasado de rojo a verde, varios objetos que
estaban parados han empezado a moverse. Si veo un objeto en movimiento,
estoy teniendo una única intuición que puedo describir en
términos de la geometría del espacio y del tiempo. El
tiempo tiene su propia geometría, que es mucho más simple
que la del espacio, ya que tiene una única dimensión. Un
objeto puede moverse en muchas direcciones espaciales, pero en el
tiempo sólo puedo moverme hacia adelante o hacia atrás.
(No estamos afirmando que podamos viajar al pasado, sino
únicamente que podemos preguntarnos, por ejemplo, dónde
estaba un objeto antes o después de pasar por un cierto lugar, y
no hay más opciones.)
Una afirmación que puedo asegurar sin lugar a dudas por su
carácter trascendental, al igual que sucede con "yo pienso", "yo
percibo", "yo intuyo", etc. es que todas mis intuiciones han de ocupar
necesariamente un lugar en el tiempo. Dicho de otro modo: mi
entendimiento no puede proporcionarle una intuición a mi
conciencia sin situarla en el tiempo. Como siempre, esto es así
porque no puedo concebir otra posibilidad. Es algo que puedo afirmar
sin que medie razonamiento alguno porque la posibilidad de que sea
falso es absolutamente inconcebible.
En cambio, no todas las intuiciones tienen por qué estar
situadas en el espacio. Ello nos lleva a distinguir entre intuiciones externas, que son las
que se sitúan en el espacio y en el tiempo, e intuiciones internas, que son las
que se sitúan sólo en el tiempo. Entre las intuiciones
internas podemos contar mi "voz interior", esto es, la voz con la que
me hablo cuando hago lo mismo que si fuera a hablar pero no pronuncio
palabra alguna. Si, por ejemplo, recito mentalmente un poema, puedo
decir que en un momento dado he "dicho" Nadie puede ser dichoso, que a
continuación he "dicho" señora,
ni desdichado y que después he "dicho" sino que os haya mirado. Cada
palabra que he "dicho" ocupa un lugar en el tiempo, pero no en el
espacio. En cambio, cuando oigo hablar a otra persona, o incluso si
hablo yo mismo realmente, al sonido que percibo le puedo asignar un
punto de procedencia en el espacio. (Otra cosa es que atine al
identificarlo o no.)
Más en general, son intuiciones internas todos mis
pensamientos, incluso si no están articulados en palabras. Si a
las cinco en punto he decidido coger un libro, aunque nunca haya
pronunciado, ni siquiera mentalmente, las palabras "voy a coger ese
libro", no por ello deja de ser cierto que a las cinco en punto mi
conciencia "se ha llenado" con una intuición, a saber, con una
volición que me ha determinado a coger un libro y ponerme a
leer. Si en un momento veo algo que causa en mí el efecto de
sentirme feliz, y esa felicidad me dura dos horas, puedo decir que esa
sensación de felicidad era una intuición interna,
debidamente ubicada en el tiempo, aunque no en el espacio.
(Estaría fuera de lugar que alguien afirmara que mi felicidad
ocupa la porción de espacio ocupada por mi cerebro, ya que no
hay nada en mi conciencia que vincule mi sensación de felicidad
con mi cerebro.)
Acabamos de decir que los pensamientos son intuiciones, pero esto no
debe inducirnos a confundir cosas muy distintas. Por ejemplo, si me
preguntan cuántas sillas hay en el salón de mi casa y yo,
que acabo de comprarlas, respondo que "ocho" porque recuerdo que he
comprado ocho sillas, entonces puedo decir que he tenido la
intuición de pensar "en mi
salón hay ocho sillas", pero no he tenido
intuición alguna de mi salón. Sin embargo, también
podría haber respondido a la pregunta recordando cómo es
mi salón y contando las sillas: "Hay cuatro alrededor de la mesa, dos
contra una pared lateral y otras dos contra la pared del fondo."
En tal caso, en mi conciencia ha aparecido una intuición
(externa) de mi salón, que a su vez ha sido usada por mi
entendimiento para generar el pensamiento (la intuición interna)
"en mi salón hay ocho sillas".
En resumen: los pensamientos son intuiciones (internas), pero no todas
las intuiciones son pensamientos.
Formarse una imagen de algo es algo muy diferente a pensar en ello.
En el ejemplo precedente hemos mencionado la capacidad que tengo de
formarme una imagen intuitiva de algo (como mi salón) aunque no
esté presente ante mí, es decir, de algo que mi
entendimiento, en su interpretación ulterior más
allá de la mera intuición, calificará de irreal.
En general, llamaremos intuiciones
formales a aquellas intuiciones que carecen de un contenido
sensitivo. Cuando pienso en el salón de mi casa (sin verlo, pero
formándome una imagen intuitiva) o, por poner un ejemplo
más simple, cuando me imagino un cubo para contar sus
vértices y concluir que tiene ocho, estoy teniendo intuiciones
sin tener sensación alguna. No obstante, no todas las
intuiciones internas son formales. Por ejemplo, el miedo, la
alegría, etc., son sensaciones que puedo situar en el tiempo,
pero no en el espacio. A este respecto conviene hacer una
precisión: Intuir es intuir
objetos (esto lo analizaremos con más detenimiento en
páginas posteriores), de modo que si, por ejemplo, oigo sonar el
teléfono, no es acertado decir que estoy intuyendo un ruido. Lo
que estoy intuyendo es el teléfono, igual que intuyo el
teléfono cuando lo veo o cuando lo toco. Mi entendimiento puede
sintetizar en una misma intuición sensaciones de distinta
naturaleza. Por eso mismo, si, por ejemplo, siento miedo, no es
acertado decir que intuyo miedo, sino más bien que intuyo lo que
podemos llamar mi yo intuitivo,
de modo que, al igual que al oír el timbre de mi teléfono
digo que tengo una intuición de mi teléfono sonando,
cuando siento miedo tengo una intuición de "yo asustado".
También
me estoy intuyendo a mí (como intuición) cuando
tengo conciencia de mis pensamientos, de mis voliciones, etc. Huelga
decir que no hay que confundir este "yo" intuitivo con el concepto de
"yo" trascendental, ni tampoco con el concepto empírico de mi
mente. Volveremos sobre esto más adelante.
A partir de aquí nos centramos en la relación de la
intuición con la geometría del espacio y el tiempo, que
es el tema principal de esta página. Una de las capacidades de
las que nos dota nuestro entendimiento es la posibilidad de describir
nuestras intuiciones en términos de conceptos. La
conceptualización de una intuición ya no es una
intuición, sino un pensamiento. Por ejemplo, no es lo mismo ver
(intuir) algo verde que ser consciente de que estamos viendo algo verde
y no algo rojo. El hecho es que siempre que vemos algo verde podemos
generar el pensamiento "esto es verde". Del mismo modo, cuando vemos o
imaginamos una línea, podemos distinguir si es recta o es curva.
No podemos definir "recta", igual que no podemos definir "verde".
Simplemente, nuestro entendimiento sabe cuándo los conceptos de
"recta" o "verde" son adecuados para describir una intuición y
cuándo no. El criterio por el que nuestro entendimiento decide
si una línea es recta o no (o si un color es verde o no) lo
establece a priori, y esto explica que nuestro entendimiento no pueda
equivocarse al emitir un juicio de esta clase (salvo por cuestiones de
precisión: nuestro entendimiento tomará por recto el
horizonte marino, cuando en realidad es un arco de una circunferencia
enorme).
Para entender que, realmente, el
entendimiento decide a priori llamar rectas a lo que llama rectas,
podemos pensar en un ejemplo similar al del Adán que
considerábamos en la página anterior. Imaginemos ahora un
ser consciente diferente, al que podemos llamar Eva, cuya capacidad de
percepción no le muestra un plano infinito, sino
únicamente un círculo plano, pero un círculo
abierto, lo cual significa que su campo visual no incluye la
circunferencia que
bordea el círculo. Ahora vamos a suponer algo que ni siquiera Matrix puede lograr, a saber, que
el entendimiento de Eva conceptualiza de forma diferente las
sensaciones que le llegan. Al igual que nosotros, cuando Eva ve una
línea, su entendimiento le dice si es recta o no, pero no lo
decide con el mismo criterio que nosotros: Eva "ve" como rectas
únicamente aquellas rectas (en el sentido que nosotros damos al
término) que pasan por el centro del círculo, así
como aquellos arcos de circunferencia que cortan perpendicularmente al
círculo exterior (que ella no ve). Por ejemplo, Eva ve rectas
las tres líneas que aparecen representadas en la figura.
Nosotros vemos que una de ellas es recta, pero las otras dos las vemos
curvas. Nuestro entendimiento nos las presenta como curvas, pero nada
impide a priori que pueda existir una Eva que, ante estas mismas tres
líneas, tenga la intuición de que está viendo tres
rectas y, por otra parte, llame curva a una recta (para nosotros) que
no pase por el centro del círculo.
Debemos entender bien esto: nosotros no tenemos conciencia de hacer
ningún cálculo cuando vemos las tres líneas y
decimos que una es recta y las otras dos no. Del mismo modo, Eva ve las
tres y dice con la misma inmediatez que las tres son rectas. Más
aún, esto significa que Eva no las distingue más que por
su posición en el plano, igual que para nosotros dos rectas
cualesquiera son iguales salvo por su posición. Eva
considerará que cualquiera de las tres rectas puede moverse de
forma continua (sin ser deformada) hasta superponerse con cualquiera de
las otras dos. Si grabamos en vídeo lo que Eva entiende por un
movimiento, a nuestros ojos será una deformación y,
recíprocamente, si, por ejemplo, trasladamos el diámetro
del círculo paralelamente a sí mismo, Eva dirá que
estamos moviendo y deformando a la vez una recta, de modo que las
curvas que vamos obteniendo, distintas de la de partida, ya no son
rectas. Por otra parte,
al igual que nosotros sabemos trazar mentalmente la recta que une dos
puntos cualesquiera, también Eva sabe hacer lo mismo, pero su
mente dibujará una línea que, en general, nosotros
tendremos por curva.
Tal y como decíamos, el hecho de que Eva pueda existir (al
menos en teoría)
demuestra que la distinción que hacemos entre líneas
rectas y curvas no es a posteriori, sino a priori. Yo no "veo" que una
línea dada es recta, sino que lo "decido" como parte de los
criterios que utilizo para interpretar intuitivamente mis percepciones.
En realidad, dicho así, es capcioso: lo que yo decido es el
criterio, pero, una vez fijado el criterio, yo ya no puedo decidir si
una línea dada es o no recta, será lo que corresponda. Es
lo mismo que ya comentábamos sobre los sonidos "Yovi rosas
sekas". Si
convenimos en interpretarlos como una frase castellana, significa "Yo
vi rosas secas", y no puede significar otra cosa, mientras que si
convenimos en interpretarlos como una frase latina, entonces significa
"Cortas rosas para Júpiter", y no puede significar otra cosa. Yo
observo que no tengo otro criterio para interpretar mis
percepciones que el dado por la geometría euclídea,
llamando rectas a lo que llamo rectas y no a otra cosa. No puedo
asegurar a priori que no fuera posible "reeducar" mi mente y hacer que
al ver el círculo que ve Eva pudiera reconocer como rectas de
forma intuitiva las mismas líneas que Eva reconoce como tales;
pero lo cierto es que, hoy por hoy, no puedo.
Dado que el entendimiento de Eva aplica un
criterio diferente, Eva
llegará a conclusiones geométricas muy distintas de las
nuestras. Por ejemplo, mi intuición me garantiza que por un
punto exterior a una recta pasa una única paralela.
¿Cómo sé yo esto? Me imagino una recta y un punto
exterior a ella, y enseguida puedo imaginarme una paralela que pasa por
ese punto. Más aún, me doy cuenta de que cualquier otra
recta que pase por el punto, distinta de la paralela que he imaginado,
deberá acercarse hacia la recta dada, sea por un lado, sea por
el otro, por lo que acabará encontrándola y no
será paralela. Además me doy cuenta de que esto no
depende para nada de la recta o el punto elegidos, ya que cualquier
otra recta y cualquier otro punto están en las mismas
condiciones.
Si el lector reflexiona sobre este "argumento", debería darse
cuenta de que "hace aguas" por todas partes, y ello se debe a que no es
posible razonar si por un punto exterior a una recta pasa una paralela,
muchas o ninguna. A la hora de axiomatizar la geometría
euclídea, es necesario tomar como axioma la existencia y
unicidad de las paralelas (o alguna afirmación equivalente). La
convicción de que, en efecto, el llamado postulado de las paralelas es
verdadero, no puede provenir de ningún razonamiento, sino que
procede de nuestra intuición. Sabemos que no puede ser falso, no
porque no pueda ser falso, que puede serlo, sino porque no puede ser
falso siendo nuestra intuición la que es. En el párrafo
anterior sólo hemos pretendido indicar qué hemos de
imaginar para convencernos de que es cierto, pero sólo
obtendremos la conclusión cuando pongamos en juego la
intuición.
Muy distinta es la situación para Eva. Si volvemos a las tres
"rectas" anteriores, Eva ve que dos de ellas se cortan en un punto,
pero ambas son paralelas a la tercera. Así, tenemos una recta y
un punto exterior por el que pasan dos paralelas distintas. De hecho,
Eva se ve capaz de trazar infinitas paralelas distintas a una recta
dada que pasan por un punto exterior dado. El plano que ve Eva es lo
que los matemáticos llaman plano
de Poincaré, y satisface una geometría similar en
lo esencial a la geometría euclídea (es decir, una
geometría en la que se puede hablar de rectas, segmentos,
ángulos, triángulos, distancias, paralelas,
perpendiculares, etc.), pero que se diferencia precisamente en este
aspecto: por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas.
Es lo que los matemáticos llaman la geometría hiperbólica.
El hecho de que podamos afirmar con total seguridad el postulado de
las paralelas prueba su carácter a priori. Un ejemplo de
afirmación a posteriori es que todos los cuerpos caen. (Nos
referimos, por precisar, a todos los cuerpos situados en la superficie
de la Tierra.) Aunque la ciencia dé esta afirmación por
incuestionable, nada me impide imaginar que levanto un bolígrafo
a unos centímetros de la mesa, lo dejo en el aire y se queda
ahí, sin caer, y sin que ello pueda explicarse en
términos de un truco de prestidigitación. Más
adelante discutiremos hasta qué punto puedo asegurar que
jamás veré algo así, pero en el caso de las
paralelas no se plantea un problema similar: el hecho de que "no quepa
en mi conciencia" percibir dos paralelas a una recta dada que no sean
paralelas entre sí, es razón suficiente para estar seguro
de que jamás veré algo así.
Para que tenga sentido decir que sabemos algo a posteriori, es
decir, que lo sabemos porque nos lo muestra la experiencia, es
imprescindible que la experiencia pudiera también refutarlo.
(Por ejemplo, no podemos asegurar a priori que todos los cuerpos caen
porque una experiencia podría, en teoría, mostrarnos lo
contrario.) Por ello, puesto que es imposible imaginar dos rectas
paralelas a una tercera que no sean paralelas entre sí, es
imposible a fortiori tener una experiencia que nos muestre algo
así, y ello descarta la posibilidad de que el principio de las
paralelas sea un conocimiento a posteriori. Por otro lado, el hecho de
que esto sí quepa en la conciencia de Eva prueba que el
principio de las paralelas no es una identidad lógica, algo que
no pudiera haber sido falso.
En resumen, podemos concluir que nuestra intuición nos
legitima para hacer afirmaciones geométricas que no son
identidades lógicas y que, por consiguiente, sólo podemos
afirmarlas en calidad de afirmaciones trascendentales, es decir,
afirmaciones que no podemos negar porque nuestra conciencia no
puede concebir ninguna alternativa.
El principio de las paralelas es sólo un ejemplo de las
muchas afirmaciones geométricas que podemos afirmar sin que
medie razonamiento alguno tomando como base nuestro conocimiento
trascendental sobre nuestra intuición. Otros ejemplos
serían:
La geometría euclídea puede ser axiomatizada tomando
como axiomas unas pocas de estas afirmaciones, de modo que todas las
demás pueden deducirse lógicamente de ellas, aunque para
nuestra intuición sean igual de evidentes que las que hemos
tomado como axiomas. Por otra parte, a partir de estas afirmaciones
geométricas evidentes es posible deducir otras afirmaciones que
la intuición ya no puede asegurar de forma inmediata. Por
ejemplo: "La suma de los
ángulos de un triángulo es igual a un ángulo
llano." (Nadie ve un triángulo cualquiera y dice sin
más: "es evidente", al contrario de lo que sucede con las tres
afirmaciones anteriores.)
Debemos ser prudentes sobre las restricciones que nuestra
intuición impone a priori a nuestra experiencia. Es cierto que
podemos afirmar a priori que nunca veremos un trozo de queso triangular
con dos ángulos obtusos, pero pensemos en lo siguiente: la
intuición nos dice que si caminamos en línea recta nos
alejamos cada vez más del punto de partida y, en particular,
nunca regresaremos a él. Ahora bien, imaginemos que estoy en Matrix y que ésta me muestra
un suelo perfectamente plano sobre el cual me hallo, y veo que formo
parte de una fila de copias de mí mismo, separadas por unos diez
metros de distancia. En realidad no son copias, sino que soy yo mismo,
en el sentido de que si, por ejemplo, tiro una pelota "al siguiente" de
la fila, la pelota me llega por la espalda o, al revés, si dejo
la pelota en el suelo (una pelota única, firmada por mí,
con sus manchas particulares, etc.) y me pongo a caminar en
línea recta por el suelo plano, al cabo de diez metros me
encuentro la pelota, con mi firma y mis propias manchas. En
términos matemáticos, en lugar de un espacio
euclídeo infinito, Matrix
me está mostrando el equivalente tridimensional de una
superficie cilíndrica. Las imágenes que veo no son copias
de mí mismo, sino que la luz que yo reflejo por detrás
"da la vuelta" a la habitación y me llega por delante, y
viceversa.
Ante esta tesitura, tendría que plantearme si estoy en un
universo infinitamente "autorreplicado" o si, por el contrario, es
más razonable asumir que se trata de un universo con una
topología diferente a la del espacio euclídeo usual. En
cualquier caso, mi intuición no puede concebir que yo camine en
línea recta y vuelva al punto de partida (aunque el lugar al que
llegue tenga exactamente las mismas características que el que
he abandonado), por lo que intuitivamente no tengo más
opción que la de la autorreplicación, pero eso no impide
que, desde un punto de vista racional, pueda ser más conveniente
aceptar que la geometría del universo difiere de la
geometría de la intuición. Volveremos sobre esto
más adelante, ya que, aunque por motivos diferentes, esto no es
especulación pura, sino que sucede así en realidad.
Del mismo modo que mi intuición externa me permite
fundamentar la geometría (mejor dicho, una geometría), la
intuición interna y la externa me permiten fundamentar la
aritmética y otras partes básicas de la
matemática. Consideremos por ejemplo estos cinco puntos:
Nuestra intuición nos dice que están alineados. El
interpretar como "alineación" a esta configuración es
algo que nuestro entendimiento hace a priori. Eva podría ver
estos mismos puntos y entender que no están alineados. Es
imposible "demostrar" de algún modo que los puntos están
alineados. Simplemente, al intuirlos, nuestra intuición entiende
que lo están. Del mismo modo, no podemos "demostrar" que en la
figura hay precisamente cinco puntos. Es una afirmación tan
intuitiva como la referente a la alineación. Ciertamente,
podemos contarlos: los recorremos pensado: "uno, dos, tres, cuatro y cinco",
pero eso no es un razonamiento. El concepto de "cinco" es un concepto
intuitivo igual que lo es el de "recta". Esto significa que es nuestra
intuición y no nuestra razón quien nos dice en principio
cuándo procede y cuándo no procede aplicarlo para
describir una intuición dada. No obstante, esto no excluye que,
en un determinado contexto, nuestra razón pueda predecir que el
concepto de "cinco" será aplicable. Quizá esto se
entienda mejor si lo pensamos con un número más grande:
supongamos que vemos una habitación rectangular con el suelo
embaldosado y contamos que contra una pared hay 12 baldosas y contra la
otra hay 10. Entonces podemos razonar que en total habrá 120
baldosas, sin necesidad de contarlas una a una. Esto es un hecho
aritmético análogo al hecho geométrico de que si
rompemos un triángulo y ponemos sus ángulos
consecutivamente obtendremos un ángulo llano, y sabemos que
será así a priori, sin necesidad de hacerlo.
Como en el caso de la geometría, es posible organizar
deductivamente la aritmética, de modo que los hechos
aritméticos básicos pueden deducirse lógicamente a
partir de unos pocos axiomas, axiomas que la intuición nos da
por verdaderos. Por ejemplo, uno de estos axiomas podría ser "todo número natural tiene un
sucesor", lo cual es una afirmación intuitivamente
verdadera sobre los números naturales, ya que mi
intuición me dice que si me imagino una cantidad arbitraria de
puntos, como los cinco de la figura anterior, siempre puedo imaginarme
todos esos puntos y uno más. De entre las consecuencias de esos
axiomas, habrá algunas que no sean intuitivamente evidentes y
otras que sean tan evidentes como los propios axiomas. Por ejemplo,
consideremos la afirmación "el
orden de los factores no altera el producto". Aunque un
matemático puede demostrarlo, no sin cierta artificiosidad, a
partir de hechos aritméticos más simples, para
convencernos de la verdad de este hecho basta pensar en una figura como
la siguiente:
Vemos que podemos concluir que consta de 15 puntos bien contando que
tiene 3 veces 5 puntos o bien contando que tiene 5 veces 3 puntos.
Además nos damos cuenta de que podemos construir un
rectángulo análogo cuyos lados contengan cualquier par de
números prefijados, por lo que el orden de los factores es
irrelevante, no sólo en el producto 3 x 5 = 5 x 3, sino en
cualquier otro producto. Como en el caso de nuestra
"demostración" del postulado de las paralelas, lo que acabamos
de decir no es válido como razonamiento lógico. El "nos damos cuenta de que" no es un
argumento racional, sino una llamada a la intuición, que es
capaz de darnos una respuesta de la que podemos estar absolutamente
seguros, ya que no estamos hablando de cualquier cosa, sino de
qué somos capaces y qué no somos capaces de concebir, y
sobre eso tenemos necesariamente cierta cualificación para
pronunciarnos.
Llamaremos intuición pura
a la intuición en su uso estrictamente formal, es decir, cuando
la usamos para determinar a priori qué podemos y qué no
podemos intuir, sin aplicarla con ello a la interpretación de
ninguna percepción particular. En estos términos, podemos
decir que la intuición pura sirve de fundamento a una parte de
la matemática pura, la parte que estudia aquellos conceptos que
tienen una interpretación intuitiva. Esto incluye a la
geometría euclídea, la aritmética de los
números naturales, enteros y racionales y, en general, toda la
matemática llamada finitista,
es decir, que involucra exclusivamente conjuntos finitos. Hasta cierto
punto, la intuición nos permite también dar sentido y, en
algunos casos, asegurar ciertas afirmaciones que involucran conjuntos
numerables, como el propio conjunto de los números naturales, si
bien discutir esto aquí nos alejaría demasiado del
propósito de estas páginas.
Para el resto de las matemáticas no disponemos de otra
fundamentación que no sea una teoría axiomática
adecuada. Algunos matemáticos identifican axiomatización
con rigor, de modo que desprecian los argumentos intuitivos por
imprecisos y engañosos. Paradójicamente, nadie puede
defender las teorías axiomáticas como única forma
de razonamiento matemático válido sin desconocer
qué es con detalle una teoría axiomática, dado que
para dar rigor al concepto de teoría axiomática es
imprescindible tratar intuitivamente con algunos conceptos finitistas,
tales como "signos", "cadenas de signos", "conjuntos de cadenas de
signos", "números naturales", etc. Resulta, pues, que toda la
matemática descansa en último término sobre las
afirmaciones que podemos garantizar intuitivamente, sea de forma
directa, cuando usamos la intuición como fuente de premisas
válidas para razonar a partir de ellas, sea de forma indirecta,
cuando usamos la intuición para definir teorías
axiomáticas y determinar los procedimientos admisibles para
operar con ellas, como único medio para razonar sobre conceptos
sin un contenido intuitivo exacto.
Con lo de "contenido intuitivo exacto" queremos decir que, por
ejemplo, el concepto de "función real de variable real" tiene
parcialmente un contenido intuitivo, en el sentido de que podemos
representar gráficamente algunas funciones de manera que, viendo
la gráfica, podemos predecir algunos hechos sobre las mismas
demostrables en el seno de una teoría axiomática, pero no
hemos de olvidar que el concepto de "función" es mucho
más amplio que el concepto intuitivo de "gráfica", de
modo que hay funciones extrañas (como una función
continua no derivable en ningún punto) sobre las que no tenemos
ninguna imagen intuitiva. Por ello no podemos confiar en la
intuición a la hora de hacer afirmaciones generales sobre las
funciones reales de variable real. Han sido precisamente estos intentos
de usar la intuición para sacar conclusiones que involucran
conceptos que son más generales que sus presuntos contenidos
intuitivos los que han hecho recelar de la intuición injusta e
incoherentemente a muchos matemáticos modernos.
Determinar los límites legítimos de la
intuición
a la hora de fundamentar la matemática sería una delicada
tarea en la que no vamos a entrar, aunque haremos una última
observación general: alguien podría argumentar que, al
igual que hemos dicho que no poseemos un concepto intuitivo que se
ajuste al concepto general, conjuntista, de función real de
variable real, tampoco tenemos un concepto intuitivo sobre el
número 101000, ni en particular sobre
un polígono regular de 101000 lados,
por lo que, por ejemplo, cuando antes hemos asegurado intuitivamente
que el orden de los factores no altera el producto, deberíamos
haber precisado que esto sólo es válido para aquellos
números de los que pueda formarme una imagen intuitiva, y lo
mismo sucedería con cualquier afirmación que justifique
intuitivamente sobre polígonos regulares. Sin embargo, esto es
falaz y, en el fondo, no es sino una forma de escepticismo. En el
sentido habitual, un escéptico es alguien que a priori se niega
a usar su razón, y ahora estamos hablando de alguien que, a
priori, se niega a aceptar las afirmaciones trascendentales avaladas
por la intuición. A este respecto, debemos tener presente que la
intuición pura no es un inventario de afirmaciones intuitivas,
sino un sistema de criterios generales fijados a priori por mi
entendimiento.
Por ejemplo, según una de las reglas aceptadas por la
Federación Internacional de Ajedrez, una partida acaba en tablas si se han
producido cincuenta movimientos de ambos jugadores sin que se mueva
ningún peón y sin que se haya realizado ninguna captura.
Por consiguiente, el conocimiento del reglamento del ajedrez nos
permite
concluir categóricamente que toda partida de ajedrez termina en
un tiempo finito. En efecto, cada cincuenta movimientos ha de
capturarse al menos una pieza o moverse un peón, pero el
número de capturas posibles es finito (porque el número
de piezas lo es), y de las reglas que rigen el movimiento de los peones
se sigue que cada uno de ellos puede moverse a lo sumo seis veces,
luego el número de movimientos de peones en una partida es
también finito. Si sumamos las casillas que tiene por delante
cada peón en una posición dada, le sumamos el
número de piezas (distintas de los reyes) que hay sobre el
tablero y multiplicamos el resultado por 50, obtenemos el máximo
número de jugadas (dobles) que puede durar la partida a partir
de ese momento. Alguien que, pese a este argumento, especulara sobre la
posibilidad de que una partida se pueda prolongar indefinidamente se
estaría declarando escéptico con ello.
Del mismo modo, yo sé lo que hago a la hora, por
ejemplo, de contar intuitivamente los puntos de un rectángulo de
puntos mediante una multiplicación, y sé que el proceso
es aplicable independientemente del número de puntos que tenga
el rectángulo. Por eso puedo asegurar que la independencia del
orden de los factores no depende a su vez de su magnitud. El
análisis de un criterio puede proporcionar resultados generales
a priori sobre los resultados que podemos obtener al aplicarlo, y eso
es lo que sucede cuando hacemos afirmaciones trascendentales basadas en
nuestra intuición.
Para terminar vamos a abordar frontalmente una pregunta que ya
está respondida casi completamente de forma implícita en
lo que hemos dicho hasta ahora, pero sobre la que todavía
podemos añadir alguna observación adicional:
¿qué son, en definitiva, el espacio y el tiempo?
Según hemos visto, el espacio y el tiempo son la
gramática de nuestra intuición. Decir que todas mis
intuiciones han de estar necesariamente en el tiempo es como decir que
toda palabra que yo pueda entender ha de formar parte de una frase. Las
distintas geometrías son como distintas gramáticas de
distintos idiomas, de entre las cuales mi intuición sólo
es capaz de manejar una. Las demás son como "lenguas muertas",
que puedo traducir, pero no hablar de forma natural. Sin embargo, esta
analogía se rompe cuando observamos que nuestra conciencia puede
recibir intuiciones formales, sin ningún contenido sensible,
como cuando imaginamos una recta, o un cubo. Hasta aquí
todavía podríamos preservar la analogía comparando
un cubo trazado en mi imaginación con una frase como "agiliscosos giroscaban los limazones",
arriesgada traducción de un famoso poema de Lewis Carroll. Esta
frase no significa nada, si bien en ella podemos determinar relaciones
morfosintácticas precisas: giroscaban
es un verbo en tercera persona del plural del pretérito
imperfecto de indicativo, limazones
es un sustantivo masculino plural, que sintácticamente ejerce de
sujeto, etc. Pero en el caso de la intuición podemos ir
más lejos, ya que podemos intuir un espacio y un tiempo
vacíos. Podemos decir que "vemos" el espacio y que "percibimos"
el paso del tiempo, lo que, en el caso del lenguaje, sería como
leer una frase que no constara de palabra alguna.
Esto se debe a que mi intuición puede proporcionarme información, no sólo sobre una intuición posible en particular, sino sobre todas las intuiciones posibles de una cierta gama. Ya hemos visto un ejemplo al considerar el postulado de las paralelas: yo sé que por un punto exterior a una recta sólo pasa una paralela porque mi intuición me muestra todas las posibilidades de intuir una recta que pase por un punto dado, y ello me permite "ver" que sólo una puede ser paralela a una recta dada. Del mismo modo, cuando veo un objeto ante mí y "veo" que hay un espacio intermedio que me separa de él, lo que estoy "viendo" es que, por ejemplo, mi intuición puede trazar la trayectoria de un objeto puntual que se moviera desde el objeto hasta mí. Cuando "percibo" que pasa el tiempo, no estoy percibiendo nada en realidad; simplemente, lo que sucede es que mi intuición puede imaginar, por ejemplo, el tic-tac de un reloj, es decir, sucesos que podrían ocurrir en distintos instantes, aunque no suceda nada de hecho. "Percibir" el espacio y el tiempo no es sino tener conciencia de la posibilidad de intuir cualquier cosa en distintos lugares y momentos.
Imaginemos que estamos ante una hoja de papel en la que hay dibujado
un paisaje en perspectiva. Podemos decir: vemos un camino, que conduce
a una casa, detrás de la cual hay unos árboles, tras los
cuales se ve una montaña, encima de la cual está el Sol,
etc. Supongamos ahora que borramos la casa. Podríamos decir,
ahí había una casa, pero ya no está. Si,
paulatinamente, vamos borrando cada elemento del paisaje, al final
tendríamos una hoja en blanco, pero podríamos seguir
viéndola como el paisaje original y decir: ahí
había una casa, pero ya no está, como también han
quitado los árboles, y las montañas, y el suelo, y el
Sol, etc. Pero no es lo mismo ver una hoja de papel y pensarla como una
superficie plana que pensarla como una "ventana" a un paisaje
tridimensional en el que no hay nada, lo cual no me impide hablar de lo
que había o podría haber aquí cerca, y más
lejos, etc. Cuando lo pienso así, en realidad no es que
esté pensando, sino que estoy intuyendo el espacio
tridimensional euclídeo, que es el único que mi
entendimiento sabe hacerme intuir. Ante la misma hoja de papel,
nuestros Adán y Eva tendrían intuiciones formales
distintas, porque lo que intuimos cuando pensamos en un espacio o un
tiempo vacíos no está contenido en nuestras percepciones
(ya que no tenemos ninguna, o bien estamos haciendo abstracción
de ellas), sino que está únicamente en nuestra
conciencia. Ya hemos expresado esto diciendo que el espacio y el tiempo
(intuitivos) son trascendentalmente ideales.
En particular, aunque existiera una realidad trascendente externa a
nuestra conciencia, de modo que los fenómenos que percibimos
estuvieran causados por ella, no podríamos asegurar que los
objetos de dicha realidad estuvieran situados en un espacio y un tiempo
trascendentes. Podría ocurrir que no mantuvieran relaciones
espacio-temporales de ninguna clase, o también que estuvieran
situados en un espacio y un tiempo trascendentes distintos del espacio
y el tiempo intuitivos en los que nuestro entendimiento sitúa a
priori los fenómenos. "Ahí fuera" podría haber una
realidad espacio-temporal no euclídea, sin que ello contradiga
el hecho de que el espacio y el tiempo intuitivos son euclídeos.
Más adelante volveremos sobre esto.
Observemos que para que Matrix
funcione hemos de conectarlo a un ser consciente que tenga de por
sí la capacidad de intuir el espacio y el tiempo (o, al menos,
que tenga la capacidad de desarrollar a priori dicha intuición
estimulado por las percepciones que Matrix
le pueda generar), de tal forma que Matrix
no tiene que hacer nada para que su inquilino vea el espacio y el
tiempo, sólo tiene que tener asignada una posición en el
espacio y en el tiempo para cada suceso que pretenda mostrarle a su
inquilino, así como la posición espacio-temporal de
éste, y calcular qué percepciones corresponden al suceso
en función de dichas posiciones. Será la mente del
inquilino la que deberá reconstruir a partir de dichas
percepciones las relaciones espacio-temporales oportunas, Matrix no puede dárselas.
Aunque Matrix no aporte
ninguna sensación al inquilino, éste seguirá
intuyendo el espacio vacío a su alrededor, así como el
paso del tiempo, porque estas intuiciones no proceden de Matrix, sino de su propio
entendimiento. Hablamos de un Matrix
normal, porque nuestro Adán no entendería eso de "espacio
a su alrededor". Él, en caso de no ver nada, seguiría
teniendo la intuición formal de su plano vacío. Un plano
en el que él mismo no tiene cabida.
Esto debería bastar para que el lector se convenza de que el
espacio y el tiempo intuitivos no son nada misterioso (salvo que
considere misterioso el hecho mismo de que tengamos intuiciones, de lo
cual hemos de hablar más adelante). El espacio y el tiempo
están en nuestras intuiciones (o viceversa) en el mismo sentido
en que la gramática está en todas las frases que
entendemos. Decir que "esto
está delante de aquello" es como decir que "este adjetivo determina a aquel
sustantivo".