BIOESTADÍSTICA Y MODELIZACIÓN DE ECOSISTEMAS
Actividades

Tema 1 - Frecuencias, Probabilidades y Variables aleatorias:

Actividad 1.1. Una variable aleatoria (X) en un conjunto-población es cualquier variable que puede tener distintos valores (x) para los distintos elementos-individuos de la población. La distribución estadística de dichos valores no tiene en cuenta los individuos concretos para los que dicha variable tiene cada valor, sino cuántos la tienen, a lo que llamamos frecuencia de dicho valor en la población. Llamaremos parámetro poblacional a cualquier cantidad que sólo dependa de las frecuencias. Para caracterizar una distribución estadística, nos interesará conocer su centralidad, dada por un valor alrededor del cuál se agrupan los valores de la variable aleatoria, y su dispersión, para expresar el alejamiento de dichos valores entre sí.
Como medidas de centralidad podemos tomar:
La moda: aquel valor que tenga la máxima frecuencia en la población.
La mediana: suponiendo que el conjunto de valores de la variable aleatoria esté ordenado, será un valor que tenga tantos individuos con un valor inferior como con un valor superior.
La media μ(X): suponiendo que los valores de la variable aleatoria sean cantidades sumables, y que el tamaño (número de individuos) de la población sea finito, viene dada por la suma de los valores para todos los individuos de la població dividida por su tamaño.
Como medidas de dispersión podemos tomar:
Los cuartiles primero y tercero: suponiendo que el conjunto de valores de la variable aleatoria esté ordenado, los cuartiles serán tres valores que dividan al conjunto de valores en cuatro subconjuntos de valores que correspondan al mismo número de individuos; obsérvese que el segundo cuartil coincidirá con la mediana. Si tenemos definida una distancia en el conjunto de valores, podemos medir la dispersión como la distancia entre el primer y el tercer cuartil.
La amplitud: suponiendo que además tengamos definida una distancia en el conjunto de valores, será la distancia entre los valores mínimo y máximo en la población.
La desviación media: suponiendo que los valores de la variable aleatoria sean cantidades sumables, y que el tamaño de la población sea finito, será la media del valor absoluto de las diferencias entre su valor para cada individuo y su valor medio
La varianza σ2(X): suponiendo que los valores de la variable aleatoria sean cantidades sumables, y que el tamaño de la población sea finito, será la media del cuadrado de las diferencias entre su valor para cada individuo y su valor medio [σ2(X)=μ((X-μ(X))2)]. La varianza puede calcularse también como la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media [σ2(X)=μ(X2)-μ(X)2] . Para calcularla de esta forma, y en el caso de que la media sea mucho mayor que la amplitud, conviene restar a todos los valores una cantidad fija próxima a su valor mínimo, operación que no modificará la dispersión.
La desviación típica σ(X): es la raiz cuadrada de la varianza.
Llamaremos normalización de una variable al resultado de restarle su media y dividir la diferencia por su desviación típica, N(X)=(X-μ(X))/σ(X) ; la media de la variable normalizada valdrá cero [μ(N(X))=0] y su desviación típica valdrá uno [σ(N(X))=1].
Ejercicio 1.1: definir una variable aleatoria (por ejemplo, el número de calzado) en la población definida por los alumnos de la asignatura, y obtener todos los parámetros poblacionales definidos en esta actividad. Estudiar cómo simplificar el cálculo de algunos de ellos utilizando las frecuencias.

Actividad 1.2. Llamaremos probabilidad de un subconjunto de valores de una variable aleatoria al cociente entre el número de individuos que tienen alguno de los valores del subconjunto y el tamaño de la población. Si el conjunto de valores es finito, podremos calcular la probabilidad de cada valor como su frecuencia dividida por el tamaño de la población, y la probabilidad de un subconjunto de valores como la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. En tal caso, la suma de las probabilidades de todos los valores será igual a 1: llamaremos distribución probabilística a cualquier aplicación que asigne un número real no negativo a cada valor de un conjunto de valores tal que su suma valga 1. Si el conjunto de valores no es finito, pero tenemos definida una medida sobre el mismo, llamaremos distribución de densidad probabilística a cualquier aplicación que asigne un número real no negativo a cada valor tal que su integral valga 1: la probabilidad de un subconjunto de valores vendrá dada por la integral de dicha aplicación sobre el mismo.
Ejercicio 1.2: estudiar cómo obtener la media de una variable aleatoria conociendo su distribución probabilística. Aplicarlo al caso del Ejercicio 1.1. ¿Cómo podríamos definir la media de una distribución de densidad probabilística?

Actividad 1.3: Si trabajamos con dos variables aleatorias X,Y combinadas, podemos obtener del mismo modo la probabilidad (absoluta) P(x,y) de que dichas variables tengan simultáneamente unos valores determinados contando el número de individuos en que ello se produzca y dividiéndolo por el tamaño de la población. Pero en determinadas ocasiones nos interesará conocer la probabilidad condicional, P(y|x), definida como la probabilidad de un valor (y) de una variable (Y) restringida a la subpoblación definida por un determinado valor (x) de otra variable (X). Para ello podemos contar el número de individuos que tienen el par de valores (x.y) y dividirlo por el número de individuos que tienen el valor (x) de la segunda variable, que será el tamaño de la subpoblación. Pero podemos también calcular la probabilidad condicional utilizando el Teorema de Bayes, que nos dice que P(y|x)=P(x,y)/P(x) . Si las dos variables aleatorias son independientes, la probabilidad condicional coincidirá con la probabilidad absoluta del valor de la primera variable, P(y|x)=P(y), y se cumplirá que P(x,y)=P(x)P(y) .
Ejercicio 1.3: combinar la variable aleatoria estudiada en el Ejercicio 1.1 con otra variable definida en el conjunto de alumnos de la asignatura (por ejemplo, el sexo o la edad). Obtener las probabilidades condicionadas de la primera variable respecto de la segunda. ¿Son independientes? A partir de la probabilidades ya calculadas, y fijando el valor de la primera variable, obtener la probabilidad condicional de la segunda variable respecto de dicho valor.
Ejercicio 1.4: en una ciudad multiétnica se comete un delito. Un testigo afirma que dicho delito ha sido cometido por una persona "de color". Pero reproduciendo la situación en las mismas condiciones de iluminación se encuentra que el testigo acierta el "color" en un 70% de los casos, tanto si es realmente "de color" como "blanca". Sabiendo que en la ciudad hay un 10% de personas "de color", calcular cuál es la probabilidad de que el delito haya sido cometido realmente por una persona "de color".

Actividad 1.4. Teniendo en cuenta el
Teorema -1.1: el número de maneras en que podemos escoger m elementos entre n es
(
 n
m
 ) =
 n(n-1)(n-2)...(n-(m-1))
m!
  =
n!
  m!(n-m)!
   (combinaciones de n sobre m)
demostrar el
Teorema 1.1: Si tenemos n variables-ocasiones independientes con un determinado valor-suceso con la misma probabilidad p,  la probabilidad de no ocurrencia de cada suceso será q=1-p y la probabilidad de que el número de ocurrencias del suceso sea exactamente m será
PB(m) = (
 n
m
 ) pm qn-m  (distribución binomial B(p,n))
Para demostrarlo, estudiar primero la probabilidad de una determinada serie ordenada de m ocurrencias y n-m no ocurrencias, y después el número de maneras de ordenar m ocurrencias y n-m no ocurrencias, teniendo en cuenta que son indiferentes las permutaciones entre sí de las ocurrencias y las no ocurrencias.
Si en vez de un único suceso tenemos k posibles sucesos autoexcluyentes de probabilidad, respectivamente, p1, p2,...pk, la probabilidad de que en n casos aparezcan respectivament x1, x2,...xk veces será
(distribución multinomial)
Ejercicio 1.5: suponiendo que un carácter recesivo tengo una probabilidad de 1/4, calcular la probabilidad de obtener exactamente 2 individuos con dicho carácter entre 4 descendientes.

Actividad 1.5. Teniendo en cuenta el
Teorema -1.2: (a+b)n =
 n
∑
. m=0. 		 ( n
m
 ) am bn-m  (binomio de Newton)
demostrar el
Teorema 1.2:
n
∑
. m=0. 		 PB(m) = 1.

Actividad 1.6. Teniendo en cuenta el
Teorema -1.3: 0!=1 ,  m!=m·(m-1)!
demostrar los
Teorema 1.3: para todo m=1...n,  (
 n
m
 )·m = n·( n-1
m-1
 )
Teorema 1.4: μ(B(p,n)) = np .

Actividad 1.7. Demostrar los
Teorema 1.5: para todo m=2...n,  m·(
 n-1
m-1
 ) = (n-1)·( n-2
m-2
 ) + ( n-1
m-1
 )
Teorema 1.5: σ(B(p,n))2 = npq = np(1-p)

Actividad 1.8.
Ejercicio 1.6: obtener la media y la desviación típica del número de individuos con un carácter recesivo de probabilidad 1/4 entre  20 descendientes.

Actividad 1.9. Si p es muy pequeño, para obtener una media μ apreciable de ocurrencias de un suceso necesitaremos un número n muy grande de ocasiones. Pero los factoriales n!, y por lo tanto la distribución binomial, son difíciles de calcular si n es grande. En este caso, habremos de utilizar una aproximación. A tal efecto, y teniendo en cuenta que e = lim u→∞ (1+1/u)u, y por lo tanto
Teorema -1.4: lim n→∞ (1-μ/n)n = e-μ
demostrar el
Teorema 1.6: si p=μ/n,  PΠ(m) = lim n→∞ PB(m) = e-μ·μm/m!  (distribución de Poisson Π(μ)).
La distribución de Poisson es una buena aproximación a la binomial si n>50, p<0'1 y μ=np<5 .

Actividad 1.10. Teniendo en cuenta el
Teorema -1.5: eμ =  ∞
∑
m=0. 		  μm/m!  (desarrollo en serie de Taylor del exponencial)
demostrar los
Teorema 1.7:   ∞
∑
m=0. 		  PΠ(m) = 1.
Teorema 1.8: μ(Π(μ)) = μ
Teorema 1.9: σ(Π(μ))2 = μ

Actividad 1.11.
Ejercicio 1.7: suponiendo que la probabilidad de encontrar una determinada variante genética sea de 0'01, ¿cual será el número medio de individuos con esa variante y la probabilidad de encontrar al menos un individuo con dicha variante en una población de 200 individuos? Obtener el valor exacto por la distribución binomial y el valor aproximado por la distribución de Poisson y compararlos.

Actividad 1.12. Si tenemos una variable aleatoria que varía de forma continua en R, habremos de definir un conjunto de intervalos de la misma para determinar las frecuencias o probabilidades de los valores en cada intervalo. Pero podemos definir también una distribución de densidad probabilística mediante una función p:R→R++{0} que cumpla 
 ∫ p(x) dx = 1 .
En este caso, la probabilidad de un intervalo [a,b[ vendrá dada por
p([a,b]) = ∫ab p(x) dx
Naturalmente, si hacemos una partición de R en un conjunto de intervalos disjuntos, la suma de sus probabilidades valdrá 1. A partir del
Teorema -1.6: para toda función integrable f y todo intervalo [a,b[ de R, existe ξc[a,b[ tal que
∫ab x·p(x) dx = ξ·∫ab p(x) dx
demostrar el
Teorema 1.10:  si tenemos una distribución p de densidad probabilísitca, partimos R en intervalos disjuntos [z-ε,z+ε[ tomando z como valor del intervalo, y definimos la media de la distribución de densidad probabilística como el límite de la media de la correspondiente distribución probabilística cuando ε tienda a cero será μ(X) = ∫ x·p(x) dx .
Teorema 1.11: definiendo la varianza de una distribución p de densidad probabilística como μ((X-μ(X))2), será
σ2(X) = ∫ x2·p(x) dx - μ(X)2 .

Actividad 1.13. Definimos la distribución normal N(α,β) por PN(x) = e-(x-α)2/(2β2)/(β(2π)1/2) para todo xcR .
Teniendo en cuenta el
Teorema -1.7:  ∫-∞∞ e-u2du = √π  ,  ∫-∞∞ ue-u2du = 0  ,  ∫-∞∞ u2e-u2du = (√π)/2. 
demostrar los
Teorema 1.12:  ∫-∞∞ PN(x) dx = 1 (y por lo tanto se trata de una distribución de densidad probabilística)
Teorema 1.13:  μ(N(α,β)) = α
Teorema 1.14:  σ(N(α,β)) = β
Escribiremos por lo tanto N(μ,σ)  y PN(x) = e-(x-μ)2/(2σ2)/(σ(2π)1/2) .

Actividad 1.14. Definimos la distribución normal tipificada como N(0,1), de modo que PN(y) = e-y2/2/(2π)1/2 .
Trabajaremos con la tabla de la distribución normal tipificada. A partir de ésta podemos obtener fácilmente los valores de otra distribución normal mediante la normalización de su variable x, de forma que y=(x-μ)/σ , y teniendo en cuenta que PN(y)=σ·PN(x) .
Ejercicio 1.8: utilizando la tabla de la distribución normal tipificada, obtener la densidad probabilística de una distribución normal con μ=5, σ=2 para x=7'4.

Actividad 1.15. La importancia de la distribución normal para el estudio de la Estadística resulta justificada por el siguiente
Teorema 1.15: si tenemos una sucesión de variables aleatorias independientes Xi con la misma media y desviación típica, μ(Xi)=μ, σ(Xi)=σ, y definimos Zn = ∑i=1 n Xi/n, entonces la distribución estadística de lim n→∞ N(Zn) es la distribución normal tipificada N(0,1)  (Teorema central del límite).
De acuerdo con este teorema, la distribución normal dará una buena aproximación de la media de un gran número de variables aleatorias equivalentes independientes, y podremos utilizarla cuando trabajemos con grandes cantidades de datos. En particular, se cumple el
Teorema 1.29: lim n→∞ PB(p,n)(m) / PN(np,√(np(1-p)))(m) = 1 (teorema de De Moivre; para cada valor de m, la sucesión de valores de n será n=m, m+1, m+2...)
La distribución normal es una buena aproximación a la binomial si n·p>5 y n·q>5 .
Ejercicio 1.9: comparar las distribuciones normal, binomial y de Poisson en los siguientes casos:
a) Aplicar la distribución normal para intentar aproximar la solución del Ejercicio 1.7. ¿Da una buena aproximación?
b) Suponiendo que la probabilidad de encontrar una variante genética sea de 0'5, ¿cual será la probabilidad de encontrar únicamente un individuo con dicha variante entre un grupo de 10 individuos? Obtener el valor exacto por la distribución binomial e intentar aproximarlo por las distribuciones normal y de Poisson. ¿Cuál da una mejor aproximación?

Tema 2 - Muestreo e inferencia:

Actividad 2.1. Si tenemos una variable aleatoria con k valores i=1,2..k, una hipótesis que les asigna probabilidades p(i), y una muestra de tamaño n, llamaremos frecuencia esperada del valor i en dicha muestra a ei=n·p(i), y frecuencia observada oi a su frecuencia en la muestra. Se demuestra que si todas las frecuencias esperadas son igual o mayor que 5, entonces la distribución del estadístico χ2 obtenido sumando (oi-ei)2/ei para todos los valores de la variable aleatoria se aproxima a la distribución Ji-cuadrado, definida por
pν(χ2) = Kν·(χ2)(ν-2)/2·exp(-χ2/2) ,
con grados de libertad ν=k-1 (prueba Ji-cuadrado). Si dicho estadístico es superior a χ2β(ν) (obtenida de la tabla de la distribución Ji-cuadrado) diremos que la hipótesis probabilística es rechazada por la muestra con un nivel de significación β. Si dicho estadístico es inferior a χ21-β(ν), diremos hay concordancia entre la hipótesis y la muestra con un nivel de significación β. Si el estadístico se encontrara entre dichos dos valores, diremos que la muestra no es definitoria para la hipótesis con ese nivel de significación.
Ejercicio 2.1: arrojar un dado 30 veces, anotar el número de veces que se obtiene cada cara y realizar realizar estimaciones sobre hipótesis probabilísticas en relación al dado.
Ejercicio 2.2: para contrastar la hipótesis de que un carácter recesivo tiene una probabilidad de 1/4, se examinan 20 conjuntos de 4 descendientes y se encuentra que en 6 de dichos conjuntos no aparece el carácter recesivo, en 8 de ellos aparece únicamente en un  individuo, y en el resto aparece en más de un individuo. Suponiendo que la hipótesis sea cierta, ¿cual sería la probabilidad a priori de dicho resultado? Evaluar la hipótesis a partir de dicho resultado mediante la prueba Ji-cuadrado.

Actividad 2.2. Llamamos muestra (sin reemplazamiento) de una población a cualquier subconjunto de la misma. Una muestra con reemplazamiento se obtendrá extrayendo sucesivamente individuos de la población sin suprimirlos de la misma. Llamamos estadístico a cualquier parámetro poblacional restringido a una muestra, como la media muestral X_ o la desviación típica muestral s(X) [naturalmente, para los estadisticos se cumplen la mismas relaciones que para los parámetros poblacionales correspondientes]. Y llamamos distribución muestral a la distribución de un estadístico en el conjunto de todas las muestras de la población de un cierto tamaño n. Los parámetros poblacionales de la distribución muestral, como la media de las medias μ(X_), la varianza de las medias σ2(X_) o la media de las varianzas μ(s2(X)), son importantes para realizar estimaciones a partir del estadístico de una muestra sobre el correspondiente parámetro poblacional. A tal efecto, hay que tener en cuenta las siguientes relaciones:
μ(X_)=μ(X)
σ2(X_)=σ2(X)/n si las muestras son con reemplazamiento o la población es infinita (aproximadamente, si es muy grande).
μ(s2(X))=σ2(X)·(n-1)/n
Diremos que un estadístico es insesgado cuando la media de su distribución muestral es igual al correspondiente parámetro poblacional. Para estimar un parámetro poblacional a partir de un estadístico, éste debe ser insesgado.
Ejercicio 2.3: ¿la media y la varianza muestrales son estadísticos insesgados? En caso de que alguna de ellas no lo sea, ¿cómo podríamos obtener un estadístico corregido que sí fuera insesgado? Tomando el conjunto de alumnos de la asignatura como una muestra del conjunto de alumnos de la licenciatura, realizar una estimación sobre este conjunto de la media y de la varianza de la variable aleatoria del Ejercicio 1.1. Estimar también la varianza de la distribución muestral de las medias.

Actividad 2.3. Diremos que [S1,S2] es un intervalo de confianza del 100α% para un parámetro poblacional Ω si la probabilidad de que Ω se encuentre en dicho intervalo es igual a α. Para poder obtener intervalos de confianza necesitaremos conocer la distribución muestral de un estadístico insesgado S de dicho parámetro poblacional. Se demuestra que si la población es infinita y las muestras son grandes, la distribución muestral de las medias se aproxima a la distribución normal. Si las muestras son pequeñas pero la distribución de la variable aleatoria X en la población corresponde a una distribución normal, entonces la distribución muestral de las medias de la correspondiente variable aleatoria normalizada,
t = (X_-μ(X_))/σ(X_) ,
se ajusta a una distribución t de Student, definida por
pν(t) = pν(0)·(1+t2/ν)-(ν+1)/2
con ν=n-1 grados de libertad, siendo n el tamaño de las muestras y escogiendo pν(0) de modo que la integral entre menos infinito y más infinito de pν(t) valga la unidad, de modo que sea una distribución de densidad probabilística. En la práctica, puede utilizarse como aproximación la distribución t de Student si el tamaño de la población es mucho mayor que el de la muestra. Se demuestra que si ν tiende a infinito la distribución t de Student tiende a la distribución normal tipificada. Llamaremos coeficiente de confianza tα(ν) al valor de t tal que la probabilidad de encontrarse entre -tα(ν) y tα(ν) dada por una distribución t de Student con ν grados de libertad sea igual a α.
Ejercicio 2.4: para obtener un intervalo de confianza del 80% para la media μ(X) de la variable aleatoria del Ejercicio 1.1 en el conjunto de alumnos de la Universidad a partir de la media X_ y de la desviación típica s(X) en el conjunto de alumnos de la asignatura, comenzaremos estimando la desviación típica σ(X) de la población mediante la desviación típica corregida ^s(X) para ser insesgada. A partir del valor estimado de σ(X) calcularemos la desviación típica σ(X_) de la distribución muestral mediante la fórmula de la Actividad 2.2. De la tabla de la distribución t de Student obtendremos el coeficiente de confianza t0'80(ν) (deberemos fijarnos en la figura que encabeza la tabla para determinar cuál es la columna que corresponde a dicho coeficiente de confianza). Y finalmente utilizaremos la expresión de la media t de la correspondiente variable aleatoria normalizada y la condición
-t0'80(ν) < t < t0'80(ν) para obtener el intervalo de confianza del 80% para μ(X).

Actividad 2.4. Si tenemos dos variables aleatorias numéricas X e Y, llamaremos covarianza de las mismas a
cXY=μ(X·Y)-μ(X)·μ(Y)
y diremos que y=a+bx es la recta de regresión de Y sobre X si la suma de los cuadrados de las diferencias entre a+bX e Y es la mínima posible. Se demuestra que la recta de regresión pasa por el punto (μ(X), μ(Y)), y que si la varianza de X es mayor que cero, entonces dicha recta se obtiene tomando
b=cXY/σ2(X), y=μ(Y)+b·(x-μ(X)).
Si la varianza de Y es también mayor que cero, definimos el coeficiente de correlación entre X e Y por
ρXY = cXY/(σ(X)σ(Y))
Se demuestra fácilmente que si X e Y son independientes entonces cXY=0, y por tanto ρXY=0 (la recíproca no es cierta).
Teniendo en cuenta que μ( ) es lineal y que σ(a+bX)=|b|σ(X) se demuestra también fácilmente que si los puntos (X,Y) están alineados sobre la recta de regresión, es decir Y=a+bX, entonces ρXY=±1 (según cuál sea el signo de b).
El coeficiente de correlación mide el grado de ajuste de la recta de regresión: si vale 0 diremos que no hay correlación lineal (aunque puede haber correlación no lineal), y si vale ±1 diremos que la correlación lineal es perfecta. Si ρXY>0 diremos que la correlación lineal es positiva, y si ρXY<0 diremos que es negativa. Puede estimarse la probabilidad que existencia de correlación lineal utilizando el estadístico t=ρXY/((1-ρXY)(n-2))½ que se distribuye de acuerdo con una distribución t de Student con n-2 grados de libertad, siendo n el tamaño de la muestra.
Ejercicio 2.5: comprobar que si X e Y son independientes entonces cXY=0 y que si Y=a+bX entonces ρXY=±1
Ejercicio 2.6: estudiar la correlación lineal en el caso
 X
 1
 2
 3
 Y
  1
  2
  1
 ¿X e Y son independientes?
Ejercicio 2.7: obtener la recta de regresión y estudiar la correlación lineal entre dos variables aleatorias (por ejemplo, la edad y el número de calzado) en la población definida por los alumnos de la asignatura. Contrastar la "hipótesis nula" de inexistencia de correlación lineal.

Actividad 2.5. estos procedimientos sean equivalentes la dispersión entre las muestras deberá ser proporcionada a la dispersión dentro de cada Si tenemos un conjunto de muestras independientes obtenidas por diferentes procedimientos, en caso de que muestra (figura a). A fin de evaluarlo trabajaremos con m muestras de tamaño n y llamaremos:
Xjk al elemento k de la muestra j
X_j y s(Xj)2  respectivamente a la media y la varianza de la muestra j
X_ a la media de la muestra de tamaño m·n resultante de mezclar las m muestras de tamaño n.
Demostrar el
Teorema 2.1: X_ = ∑ j X_j/m .

Actividad 2.6. Llamaremos varianza dentro de variables a la media de las varianzas sw2 = ∑ j s(Xj)2/m .
Supondremos que todas las muestras pertenecen a poblaciones por lo menos con la misma varianza σ2 .
Demostrar el
Teorema 2.2: μ(sw2) = σ2·(n-1)/n .
Llamaremos por lo tanto varianza corregida dentro de variables a ^sw2 = sw2·n/(n-1), que será un estimador insesgado de la varianza poblacional σ2 .

Actividad 2.7. Teniendo en cuenta el
Teorema 2.3: si las variables aleatorias independientes Y1, Y2 tienen distribución Ji-cuadrado con grados de libertad ν1 y ν2  respectivamente, entonces la variable aleatoria Y1+Y2 tiene distribución Ji-cuadrado con ν1+ν2 grados de libertad
demostrar el
Teorema 2.4: mn·sw2/σ2 tiene distribución Ji-cuadrado con m·(n-1) grados de libertad

Actividad 2.8. Llamaremos
μj=μ(Xj) a la media de la población a la que pertenece la muestra j
μ=μ(X) a la media de la población resultante de mezclar las poblaciones a las que pertenecen las m muestras
αj=μj-μ para cada muestra j (naturalmente, valdrá 0 si todas las muestras pertenecen a la misma población).
Demostrar que en cualquier caso se cumple el
Teorema 2.5: ∑ j αj = 0 .

Actividad 2.9. Llamaremos varianza entre variables a la varianza de las medias
sb2 = ∑ j (X_j-X_)2/m = ∑ j X_j2/m - X_2 .
Recordando de la Actividad 1.26 que  σ(X_j)2=σ2/n ,  σ(X_)2=σ2/(mn), demostrar
Teorema 2.6: μ(X_j2) = σ2/n + (μ+αj)2.
Teorema 2.7: μ(X_2) = σ2/(mn) + μ2.
Teorema 2.8: μ(sb2) = σ2(m-1)/(mn) + ∑ j αj2/m .

Actividad 2.10. Llamaremos varianza corregida entre variables a ^sb2 = sb2·nm/(m-1) .
Demostrar el
Teorema 2.9: μ(^sb2) = σ2 + n·∑ j αj2/(m-1) .
Por lo tanto, ^sb2 será un estimador insesgado de la varianza poblacional σ2 si y sólo si las poblaciones a las cuales pertenecen las diferentes muestras tienen todas la misma media (lo que llamamos hipótesis nula en la que todo αj =0), cosa que naturalmente pasará si todas las muestras pertenecen a la misma población. En este caso, F=^sb2/^sw2  deberá ser próximo a la unidad. En otro caso μ(^sb2)>σ2 , y por lo tanto se puede prever que F sea mayor que la unidad.

Actividad 2.11. Teniendo en cuenta que sb2 es la varianza de la muestra (X_1, X_2,...X_m), de tamaño m, y que σ(X_j)2=σ2/n, demostrar que si las muestras pertenecen a la misma población se cumple el
Teorema 2.10: mn·sb2/σ2 tiene distribución Ji-cuadrado con m-1 grados de libertad.

Actividad 2.12. Teniendo en cuenta el
Teorema 2.11: si las variables aleatorias independientes Y1, Y2 tienen distribución Ji-cuadrado con grados de libertad ν1 y ν2  respectivamente, entonces la distribución de F=(Y1/ν1)/(Y2/ν2) entre 0 y ∞ es
Wν1,ν2(F) = Kν1,ν2·Fν1/2-1/(1+ν1·F/ν2)(ν1+ν2)/2, que se denomina distribución F de Snedecor con grados de libertad ν1 y ν2 . Kν1,ν2 se escoge de modo que ∫0∞  Wν1,ν2(F) dF = 1
demostrar el
Teorema 2.12: si tenemos m muestras independientes de tamaño n pertenecientes a la misma población, entonces
F=^sb2/^sw2  tiene una distribución F de Snedecor con grados de libertad ν1=m-1, ν2=m·(n-1) .

distribució F de SnedecorActividad 2.13. Si tenemos m muestras independientes de tamaño n y
F=^sb2/^sw2 > Fp(m-1 , m·(n-1)), siendo Fp(ν1, ν2) el coeficiente crítico de la distribución F de Snedecor con grados de libertad ν1 y ν2 tal que la probabilidad de un valor menor o igual a este coeficiente sea p, entonces podemos rechazar con un nivel de significación β=1-p la hipótesis nula de que las muestras pertenezcan a la misma población. Utilizaremos las tablas de la distribución F de Snedecor (inversa) para determinar el correspondiente coeficiente crítico.
Ejercicio 2.8: anotar el número de calzado en varias muestras del mismo tamaño entre el alumnado asistente a clase y valorar si pertenecen a la misma población (a ser posible, procurar que alguna de las muestras esté formada únicamente por varones y otra únicamente por mujeres).

Actividad 2.14. ¿Cómo habríamos de interpretar el hecho que F=^sb2/^sw2 << 1? Aplicarlo a la resolución del siguiente
Ejercicio 2.9: calcular el estadístico F correspondiente al siguiente par de muestras:
X1=(24'2, 25'3, 25'4 , 26'2, 27'5)
X2=(24'2, 25'3, 25'4 , 26'2, 27'4)
¿Se puede considerar que las muestras no cumplan alguna de las premises del Teorema 2.12?
Para valorarlo con un cierto nivel de significación podemos utilizar la relación Fp(ν1, ν2)=1/F1-p(ν2, ν1) .


Tema 3 - Métodos numéricos:

Actividad 3.1. Teniendo en cuenta la condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea determinado, el valor del determinante de Vandermonde
Teorema -3.1: |xki| = ∏ k>i (xk-xi)
y la
Definición 3.1: Diremos que p(x) = ∑ i=0 m ai xi es un polinomio interpolador de grado menor o igual que m en los puntos {(xk,fk) / k=0,1...m} si y sólo si, para todo k=0,1...m, p(xk)=fk ,
demostrar el
Teorema 3.1: Si para todo i≠k, xi≠xk, entonces existe un único polinomio interpolador de grado menor o igual que m en los puntos {(xk,fk) / k=0,1...m} .

Actividad 3.2. Teniendo en cuenta que
∑ i=0 m Ξi = Ξk + ∑ i≠k Ξi  para todo k=0,1...m, y que
∏ j≠i Ξkj = Ξkk·∏ j≠i & j≠k Ξkj  para todo i≠k
demostrar el
Teorema 3.2: Si para todo i≠k, xi≠xk, entonces p(x) = ∑ i=0 m fi  ∏ j≠i (x-xj)
∏ j≠i (xi-xj)
es el polinomio interpolador de {(xk,fk) / k=0,1...m} (método de Lagrange).

Actividad 3.3.
Problema 3.1: Dados los puntos
x k
 1
 2
 4
 5
f k
 0
 2
 12
 21
obtener por el método de Lagrange su interpolación para x=3
(sugerencia: al aplicar la fórmula, escribir primero cada denominador para evitar errores)

Actividad 3.4. De acuerdo con la
Definición 3.2: Con {(xk,fk) / k=0,1...m} tal que para todo i,j=0,1...m, si i≠k, entonces xi≠xk, definiremos las diferencias divididas f[xi,xi+1,...xj] mediante
f[xi] =
fi   para todo i=0,1...m
f[xi,xi+1,xj] =
f[xi+1,...xj] - f[xi,...xj-1]
xj - xi
   para todo i=0,1...m-1, j=i+1,...m
y calculándolas con el algoritmo
f[x0]
f[x1]
f[x2]
f[x3]
  > f[x0,x1]
 > f[x1,x2]
 > f[x2,x3]
  > f[x0,x1,x2]
 > f[x1,x2,x3]
  > f[x0,x1,x2,x3]
Problema 3.2: comprobar a partir de los puntos
k
 0
 1
 2
 3
x k
 1
 2
 4
 5
f k
 0
 2
 12
 21
y comparando con los resultados obtenidos por el método de Lagrange que, para m=0,1,2,3,
pm(x) = ∑j=0 m  f[x0,...xj] ∏i=0 j-1 (x-xi)
es el polinomio interpolador de grado menor o igual que m en {(xk,fk) / k=0,1...m}  (método de Newton)

Actividad 3.5. Asumiendo que el error de la interpolación polinómica de grado menor o igual que m viene dada por
Teorema -3.2: f(x)-pm(x) = [f (m+1)(ξ(x))/(m+1)!] ∏i=0 m (x-xi)  tal que ξ(x)c[a,b] tal que para todo i=0,1...m, xic[a,b]
Problema 3.3: Acotar el valor de f(3) suponiendo que
x k
 1
 2
 4
 5
f(x k)
 0
 2
 12
 21
y que la cuarta derivada de la función f(x) en el intervalo [1,5] está entre 1 y 2 .

Actividad 3.6. Teniendo en cuenta la
Definición 3.3: Siendo f:[a,b]→R una función integrable, llamaremos integral numérica polinómica de f  en los nodos xk tales que a≤x0<...<xm≤b a la integral en el intervalo [a,b] del polinomio interpolador de grado menor o igual que m en los puntos {(xk,f(xk)}k=0,1...m
y utilizando la expresión del polinomio interpolador proporcionada por el Método de Lagrange, justificar la existencia de unos pesos Wk independientes de la función f(x) con los cuáles ∑ i=0 m Wk f(xk) sea su integral numérica polinómica.

Actividad 3.7. Teniendo en cuenta que una integral numérica polinómica en m+1 nodos es igual a la integral exacta para polinomios de grado menor o igual que m, encontrar un sistema de ecuaciones para la obtención de los pesos Wk y demostrar que si para todo i≠k, xi≠xk, dicho sistema de ecuaciones tiene solución única.

Actividad 3.8.
Deducir la fórmula de la integral  numérica polinómica tomando como nodos los extremos del intervalo (Fórmula del Trapecio),
T=

Actividad 3.9.
Problema 3.4: Aplicar la Fórmula del Trapecio para obtener una aproximación a la integral de (1+x3)½ entre 0 y 10 (ver Figura en http://www.uv.es/pla/Tutoria/mniq/p15.gif).

Actividad 3.10. Teniendo en cuenta la expresión del error de la interpolación polinómica de grado menor o igual que m dada por el Teorema -3.2, así como que
Teorema -3.3: Para toda función integrable f:[a,b]→R, |∫ab f(x)dx| ≤ ∫ab |f(x)|dx .
Teorema -3.4: Para todo par de funciones integrables f:[a,b]→R, g:[a,b]→R+, existe ξc[a,b] tal que
∫ab f(x)g(x) dx  =  f(ξ) ∫ab g(x) dx
demostrar el
Teorema 3.3: El valor absoluto del error de la integral numérica polinómica en m+1 nodos puede acotarse por el producto de dos factores, uno de los cuáles depende únicamente de los nodos, y el otro depende únicamente de la derivada de orden m+1 en algún punto ξ del intervalo de integración [a,b].

Actividad 3.11. Suponiendo que el error de un método de integración aproximada sea de la forma
ε = C·f (r)(ξ)
para algún punto ξ del intervalo de integración [a,b], deducir cómo utilizar la función f(x)=xr para obtener el valor de C.
NOTA: en caso de obtenerse C=0 puede inferirse que el método es exacto para dicha función, y deberá repetirse el proceso sustituyendo r por r+1 .

Actividad 3.12.
Obtener la expresión del error para la Fórmula del Trapecio,
εT =
Indicar para qué polinomios será exacta dicha fórmula.

Actividad 3.13.
Problema 3.5: Acotar  ∫0 10 (1+x3)½dx sabiendo que |f "(x)|<1'468 en dicho intervalo.

Actividad 3.14. Teniendo en cuenta el
Teorema -3.5:  ∫ab f(x) dx  = ∫u-1(a) u-1(b) f(u(t)) u'dt
demostrar el
Teorema 3.4: En el caso de nodos equidistantes x k=a+kh, con k=0,1...m, h=(b-a)/m, demostrar que los pesos para el cálculo de la correspondiente integral numérica polinómica (pesos de Newton-Cotes) tienen la forma Wk=hW'k(m), donde W'k(m), que son los pesos correspondientes al caso h=1, sólo dependen de k y de m (pero no de a y de b).
Puede utilizarse  para la demostración la expresión de los pesos Wk obtenida en la Actividad 1, aplicando en la correspondiente integral el cambio de variable x=a+th .

Actividad 3.15. Obtener los pesos de Newton-Cotes para m=2 y el intervalo [0,2]. A partir de los mismos, obtener la fórmula general (Fórmula de Simpson) para la integral numérica polinómica en los nodos {a, a+h, a+2h} = {a, (a+b)/2, b},
S =

Actividad 3.16.
Problema 3.6: Aproximar mediante la Fórmula de Simpson  ∫-1 1 e x2 dx .

Actividad 3.17. Teniendo en cuenta el

Teorema -3.6: Para todo fcC r(R→R), xcC1(R→R), 
dr f
dtr
 (x(t)) = ﴾dx/dt﴿r 
dr f
dxr		 (x)
así como el Teorema -3.5 y el Teorema 3.4, demostrar el
Teorema 3.5: Si la expresión del error para aproximar ∫0 m f(t)dt con nodos equidistantes y h=1 es
ε' = C' dr f
dtr		 (ζ) para algún ζc[0,m],
entonces la expresión general del error para aproximar ∫ab f(x)dx con nodos equidistantes y h=(b-a)/m será
ε = C dr f
dxr 		(ξ) para algún ξc[a,b] con C=hr+1 C'

Actividad 3.18. Obtener la expresión del error para la Fórmula de Simpson para el intervalo [0,2] (con h=1), y a partir de ella obtener la expresión general del error para la Fórmula de Simpson para el intervalo [a,b] (con h=(b-a)/2),
εS =
Indicar para qué polinomios será exacta dicha fórmula.

Actividad 3.19.
Problema 3.7: Acotar el error de la Fórmula de Simpson aplicada a  ∫-1 1 e x2 dx . Valorarlo.

Actividad 3.20. Teniendo en cuenta la
Definición 3.4: Siendo f:[a,b]→R una función integrable, llamaremos integral numérica compuesta de grado m en los mM+1 nodos {a+kh}k=0,1...mM , con h=(b-a)/(mM), a
∑i=0 M-1 Nm(i) ,
donde Nm(i) es la fórmula de Newton-Cotes de grado m para la integración numérica polinómica de la función f(x) en el intervalo [a+imh,a+(i+1)mh] ,
demostrar el
Teorema 3.6: Para toda función integrable f:[a,b]→R , su integral numérica compuesta de grado 2 en los 2M+1 nodos {a+kh}k=0,1...2M , con h=(b-a)/(2M) (regla de Simpson), viene dada por
[f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) + 4f(a+3h) + ... + 2f(b-2h) + 4f(b-h) + f(b)] h/3
= [f(a) + f(b) + ∑i=1 M-1 2f(a+2ih) + ∑i=0 M-1 4f(a+(2i+1)h)](b-a)/(6M)

Actividad 3.21. Teniendo en cuenta el
Teorema -3.7: Para toda función continua f:[a,b]→R y todo conjunto de puntos ξ ic[a,b],  i=1...n, existe ξc[a,b] tal que
∑i=1 n f(ξ i) = nf(ξ)
demostrar el
Teorema 3.7: Para toda fcC4([a,b],R), el error de la regla de Simpson para aproximar ∫ab f(x)dx viene dado por
εRS = - f(4)(ξ)(b-a)5/(2880M4) para algún ξc[a,b]

Actividad 3.22.
Problema 3.8: ¿Qué incremento h deberemos tomar para obtener una aproximación a  ∫-1 1 e x2 dx con un error menor a 0'01 mediante la regla de Simpson?

Actividad 3.23. Si conocemos y'=f(t,y) así como la condición inicial y0=y(t0), teniendo en cuenta el
Teorema -3.8: si y(t) es una función derivable hasta el segundo orden,
y(t) = y(t0) + y'(t0)·∆t + y"(ξ)·(∆t)2/2  tal que  ξc[t0, t]
se cumplirá y(t) = y0 + f(t0,y0)·∆t + Θ·(∆t)2 . Así pues, si sustituimos  ∆y=y(t)-y0  por  dy=y'·∆t=f(t0,y0)·∆t  el error será proporcional a (∆t)2, y si ∆t es suficientemente pequeño podremos aproximar la evolución de la variable y aplicando sucesivamente
ti+1=ti+∆t  , yi+1 = yi + ∆0y con  ∆0y=f(ti,yi)·∆t (método de Euler).
Problema 3.9: aplicar el método de Euler para aproximar el valor de y cuando t=1 conociendo que y=1 cuando t=0 y que y'=0'1y2-ty. Tomar ∆t=0'2 y representarlo gráficamente.

Mètode de Runge de 2º ordreActividad 3.24. El método de Euler daría un resultado exacto si la derivada y', representada por la pendiente de la curva, fuera constante (y por lo tanto la segunda derivada valiera cero). Si no es así, encontraremos que la derivada en el punto (t1,y1) será f(t1,y1)=f(t0+∆t,y0+∆0y)≠f(t0,y0). En este caso, podemos obtener una mejor aproximación si calculamos la derivada en el punto intermedio (t0+∆t/2,y0+∆0y/2) y tomamos  y1=y0+∆1y con ∆1y=f(t0+∆t/2,y0+∆0y/2)·∆t, y así sucesivamente (método de Runge de segundo orden); en este caso el error es proporcional a (∆t)3 .
Problema 3.10: aplicar el método de Runge de segundo orden para aproximar el valor de y cuando t=0'4 conociendo que y=1 cuando t=0 y que y'=0'1y2-ty. Tomar ∆t=0'2.

Actividad 3.25. Con el método de Runge de segundo orden hemos mejorado la aproximación calculando un nuevo incremento para la función y a partir de un punto auxiliar (en este caso, intermedio). Podemos obtener mejores aproximaciones escogiendo sucesivamente de forma adecuada nuevos puntos auxiliares. En particular, si tomamos sucesivamente
 ∆Iy=f(t0+∆t, y0+∆0y)·∆t
∆IIy=f(t0+∆t, y0+∆Y y)·∆t
obtendremos una aproximación de tercer orden, con error proporcional a (∆t)4, si tomamos
t1=t0+∆t,  y1 = y0 + ∆0y/6 + 4·∆1y/6 + ∆IIy/6 y así sucesivamente (método de Runge-Simpson).
Comprobar que en el caso particular en que tengamos y'=f(x), este método es equivalente a la Fórmula de Simpson.

Actividad 3.26. Podemos obtener una aproximación de cuarto orden, con error proporcional a (∆t)5, si tomamos
∆2y=f(t0+∆t/2,y0+∆1y/2)·∆t
∆3y=f(t0+∆t, y0+∆2y)·∆t
y finalmente
t1=t0+∆t,  y1 = y0 + ∆0y/6 + ∆1y/3 + ∆2y/3 + ∆3y/6 y así sucesivamente (método de Kutta de cuarto orden).
Tenemos recopilados los diferentes métodos en el siguiente diagrama de flujos:
Mètodes de Runge-Kutta

Podemos utilizar también el siguiente diagrama a fin de recordar a partir de qué incremento se obtiene un nuevo incremento (con incremento total o con medio incremento) y qué coeficientes hemos de utilizar para obtener el incremento final:
Diagrama de mètodes de Runge-Kutta
Para el método de Kutta de cuarto orden podemos realizar los cálculos en la siguiente tabla:
ty
yy 		t0.
y0.
 t1 = t0+∆t
y1 = ∆0y/6 + ∆1y/3 + ∆2y/3 + ∆3y/6.
t
y
y'
∆0y
∆1y
∆2y
∆3y
 t0.
y0.
f(t,y)
∆0y
 t0+∆t/2.
y0+∆0y/2.
f(t,y)

∆1y
 t0+∆t/2.
y0+∆1y/2.
f(t,y)


∆2y
 t0+∆t
y0+∆2y
f(t,y)



∆3y
Confeccionar tablas similares para los otros métodos.
Naturalmente, en el momento de aplicar las tablas las expresiones se sustituyen por números.
Problema 3.11: aplicar el método de Kutta de cuarto orden para aproximar el valor de y cuando t=0'6 conociendo que y=1 cuando t=0 y que y'=0'1y2-ty. Tomar ∆t=0'2.


Tema 4 - Modelización de sistemas complejos:

Actividad 4.1: Agrupar de 2 en 2 los siguientes Sistemas, estableciendo correspondencias entre sus componentes de manera que sus relaciones coincidan:
  1. Según la Ley de Ohm, la intensidad de la corriente eléctrica a lo largo de un conductor es igual a la diferencia de potencial entre sus extremos dividido por su resistencia.
  2. Las estaciones del año son Primavera, Verano, Otoño e Invierno, y vuelta a empezar.
  3. Si cada año un alumno duplica sus conocimientos, diremos que es un buen estudiante.
  4. Según la Ley de Lenz, si movemos un conductor en un campo magnético se genera una corriente eléctrica cuyos efectos tienden a contrarrestar el campo magnético.
  5. Los beneficios obtenidos por una empresa pueden utilizarse para incrementar la producción o para renovar la tecnología.
  6. Si separamos a la población en grupos con el mismo nivel de renta, encontramos que en aquéllos que tienen doble, triple, etc. renta el porcentaje de votos a un determinado partido es la mitad, la tercera parte, etc., respectivamente.
  7. El funcionamiento del corazón pasa por las fases de sístole auricular, sístole ventricular, diástole ventricular, diástole general y de nuevo sístole auricular.
  8. Conectamos 4 conductores de manera que por dos de ellos pase la misma intensidad de corriente eléctrica, y los otros dos estén sometidos a la misma diferencia de potencial; todos los conductores se mantienen a la misma temperatura.
  9. Para saber cuántas unidades podemos comprar de un producto necesitamos conocer el dinero de que disponemos y el precio de cada unidad.
  10. Según la Ley de Le Chatelier, si durante una reacción química reversible modificamos sus condiciones, el equilibrio se desplazará para compensar, en sentido contrario, dicha modificación.
  11. El tamaño de una población se va alterando en función de los nacimientos y defunciones que se produzcan.
  12. Los fondos que se destinen a "cañones" y a "mantequilla" tienen el límite del presupuesto disponible.
  13. La proporción de enfermos que responden favorablemente a un tratamiento es inversamente proporcional a su edad.
  14. De acuerdo con un convenio entre ellos, en los países A, B, C y D el litro de leche tiene el mismo precio; pero en cambio sólo A y B comparten el precio del pan, y sólo C y D comparten el precio del arroz.
  15. El stock en un almacén aumenta por la entrada de productos y disminuye por las ventas.
  16. El planeta está condenado si la humanidad multiplica por 2 cada década su consumo de energía.
Actividad 4.2: En cada par de Sistemas agrupados en la actividad anterior, representar por símbolos comunes los componentes correspondientes, y simbolizar asimismo sus relaciones.

Actividad 4.3: llamamos relaciones estructurales a las que se dan entre los elementos de un Sistema considerados como objetos singulares, indicando su conexión o dependencia; llamamos relaciones de comportamiento a las que se dan entre los conjuntos de valores de los distintos elementos de un Sistema considerados como variables, indicando la compatibilidad entre dichos valores.
Analizar qué relaciones son estructurales y cuáles son de comportamiento en las actividades anteriores.

Actividad 4.4. En la Actividad 4.1 estudiamos cómo agrupar distintos Sistemas particulares de distinta naturaleza pero con las mismas relaciones estructurales y/o de comportamiento, que correspondían a un mismo Sistema General. La relación Sistema General-Sistemas particulares es la que corresponde, en la metodología sistémica, a la relación Teoría-Experiencia en la metodología científica tradicional. A su vez, diremos que un Sistema es un Modelo de otro Sistema cuando tienen las mismas relaciones estructurales y/o de comportamiento: podemos considerar un Sistema particular como Modelo de otro o del correspondiente Sistema General. La metodología sistémica debe permitirnos abordar diferentes problemas:
    a) Dado un Sistema particular, estudiar los valores que adoptan sus distintas variables, y a partir de ello encontrar un Sistema General que reproduzca sus relaciones estructurales y de comportamiento (problema de Caja Negra).
    b) Dado un conjunto de Sistemas interconectados cuyas relaciones estructurales y/o de comportamiento conocemos, obtener el comportamiento del Sistema global resultante (problema de Análisis).
    c) Estudiar como interconectar un conjunto de Sistemas para reproducir un comportamiento dado de un Sistema global (problema de Síntesis).
    d) Construir un Sistema (modelo) que reproduzca las relaciones estructurales y/o de comportamiento de un Sistema dado, a fin de estudiar los valores de sus variables y eventualmente su evolución (problema de Simulación).
    En la práctica de la metodología sistémica es frecuente encontrar problemas mixtos respecte a los tipos indicados.
    Realizar una lista de cuestiones a resolver (problemas) y clasificarlos de acuerdo con la tipología indicada.

Actividad 4.5. Para resolver un problema de Caja Negra, comenzaremos registrando una serie de valores de sus distintas variables (Actividad) y a continuación estudiaremos regularidades en dichos valores, bien simultáneos, bien temporalmente sucesivos. Para ello seleccionaremos ciertas posiciones temporales relativas de distintas variables (máscara) de manera que podamos encontrar en las mismas pautas que se repitan y otras que nunca aparezcan. A partir de ello formularemos la relación de comportamiento del Sistema y en su caso su relación estructural. Posteriormente, si resulta oportuno, podemos intentar resolver un problema de Síntesis para descomponer el Sistema en un conjunto de Sistemas más sencillos interconectados que nos permitan reproducir el comportamiento de la Caja Negra. Señalemos que la resolución de un problema de Caja Negra no puede considerarse definitiva, dado que el registro de nuevos valores podría obligarnos a modificar el resultado obtenido.
Veamos un ejemplo sencillo. Supongamos que tenemos dos variables, {x , s} y encontramos la siguiente evolución en el tiempo (Actividad) de las mismas:
t
  0
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
 19
 20
x
  0
  1
  0
  1
  1
  0
  0
  1
  0
  0
  1
  1
  1
  0
  1
  0
  0
  0
  1
  1
  0
s
  0
  0
  1
  1
  0
  1
  1
  1
  0
  0
  0
  1
  0
  1
  1
  0
  0
  0
  0
  1
  0
Podemos ahora estudiar si hay alguna restricción en los valores simultáneos, correspondiente a la máscara (x(t),s(t)). Es fácil ver que no hay tal restricción, dado que aparecen todos los pares posibles: (0,0), (1,0), (0,1) y (1,1). Podemos ahora introducir algún valor posterior en la máscara, por ejemplo (x(t),s(t),x(t+1)). En este caso, encontramos las siguientes ternas: (0,0,1), (1,0,0), (0,1,1), (1,1,1), (0,1,0), (1,1,0), (0,0,0), (1,0,1), es decir, las 8 posibles. Por tanto, tampoco hay ninguna restricción. En cambio, si escogemos la máscara (x(t), s(t), s(t+1)), únicamente aparecerán las siguientes 4 ternas: (0,0,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,0). Podemos por tanto expresar su relación de comportamiento como
x(t)
 s(t)
 s(t+1)
 1
  1
  0
 1
  0
  1
 0
  1
  1
 0
  0
  0
 
 que expresaría una relación estructural de dependencia de s(t+1) respecto de x(t) y s(t) .
Ejercicio 4.1: resolver el problema de Caja Negra correspondiente a la siguiente actividad:
t
  0
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
 19
 20
x
  1
  1
  0
  1
  0
  0
  0
  1
  0
  1
  1
  1
  0
  1
  1
  0
  0
  0
  1
  1
  0
s
  0
  1
  0
  0
  1
  1
  1
  1
  0
  0
  1
  0
  1
  1
  0
  1
  1
  1
  1
  0
  1
y
  0
  1
  0
  0
  0
  0
  0
  1
  0
  0
  1
  0
  0
  1
  0
  0
  0
  0
  1
  0
  0
 
Actividad 4.6. En general, la resolución de un problema de Simulación constará de tres pasos:
    a) Identificar el Sistema o Sistemas reales que queremos estudiar, seleccionando las variables relevantes y el conjunto de valores que consideraremos de cada una, teniendo en cuenta la precisión posible o deseada (Nivel de Resolución).
    b) Construir un Sistema (Modelo) cuyas relaciones estructurales y de comportamiento repliquen las del Sistema o Sistemas reales que queremos estudiar. Para ello utilizaremos los conocimientos teóricos que tengamos sobre dichos Sistemas. Cuando dichos conocimientos sean insuficientes, podemos obtener por observación o experimentación una Actividad de un Sistema real, y comenzar resolviendo el correspondiente problema de Caja Negra. Para la construcción del Modelo buscaremos:
        b1) identificar relaciones de causa-efecto entre las variables seleccionadas (relación estructural de conexión).
        b2) asignar una representación funcional a dichas relaciones (relación de comportamiento).
    c) Validar el Modelo, comprobando el ajuste del mismo a los Sistemas Reales en cuestión. Para ello:
        c1) programaremos el modelo para una computadora o generaremos instrucciones para un grupo de expertos.
        c2) efectuaremos si es necesario una calibración de determinados parámetros o variables auxiliares de entrada con un valor eventualmente constante pero inicialmente desconocido. Dicha calibración puede realizarse por tanteo mediante prueba y error o por regresión (determinando los valores que hacen mínima la desviación cuadrática entre el Modelo y los Sistemas Reales)
        c3) realizaremos experimentos sobre el Modelo, comparando su Actividad con la Actividad de los Sistemas Reales que queremos simular e intentando determinar su grado de ajuste.
Si la validación no es satisfactoria pueden repetirse los pasos anteriores. Si se considera satisfactoria, presentaremos los resultados mediante tablas, gráficos, etc. y utilizaremos el Modelo para la toma de las decisiones pertinentes relativas a la acción sobre los Sistemas Reales.
Ejercicio 4.2: dividir la clase en 2 grupos; el primer grupo definirá un Sistema sencillo del cuál dará a conocer únicamente su Nivel de Resolución (sus variables relevantes y sus intervalos de valores a considerar); el segundo grupo intentará resolver un problema de Simulación sobre el mismo, para lo cuál podrá realizar preguntas al respecto; dichas preguntas pueden incluir información sobre el tipo de relaciones, o sobre el valor de determinadas variables, eventualmente intentando fijar el valor de otras; el primer grupo podrá escoger qué respuestas dar: si le intentan fijar un valor de una variable dependiente, deberá contestar que ello no es posible; si le preguntan el valor de una variable dependiente sin haber fijado el valor de las variables de las que depende, podrá contestar que falta información o fijar aleatoriamente el valor de éstas. Una vez obtenida la información que  considere suficiente, el segundo grupo construirá un Modelo y lo validará obteniendo una Actividad del mismo y comparándola con la proporcionada por el primer grupo.

Actividad 4.7. En distintos pasos para la resolución de problemas en equipo suelen utilizarse diferentes técnicas. Algunas de las más usuales son:
    a) Braimstorming o "tormenta de cerebros":
        a1) el moderador expone los objetivos a conseguir y da la palabra a los miembros del grupo, que van exponiendo sus ideas brevemente sin cortapisas; en esta fase no se critica ni descarta ninguna idea, todas las cuáles son anotadas por el secretario;
        a2) cuando se agota la primera fase al no surgir nuevas ideas, el moderador invita a los miembros del grupo a analizar sucesivamente las ideas aportadas dando razones a favor y en contra.
        a3) el moderador recapitula el estado de la discusión señalando el grado de consenso o discrepancia existente.
    b) Delphi, con un equipo director que envía un cuestionario por escrito a los expertos y tras recibir las respuestas las analiza, sintetiza y presenta por escrito de forma ordenada junto al siguiente cuestionario, y así sucesivamente hasta llegar a una aproximación que considere satisfactoria o constatar que hay discrepancias provisionalmente irreductibles.
Ejercicio 4.3: utilizar la técnica de Braimstorming en clase para responder a una pregunta abierta, por ejemplo qué factores influyen directa o indirectamente en la extinción de una especie; el objetivo será establecer una relación estructural de conexión.
Ejercicio 4.4: utilizar el método Delphi para responder a la misma pregunta; a tal efecto, el conjunto de la clase (o en su caso diferentes subgrupos) actuará como equipo director, elaborando un cuestionario y seleccionando un conjunto de expertos (pueden ser profesores, estudiantes de otros cursos, familiares, vecinos, etc.); los miembros de la clase se distribuirán a los expertos para llevarles el cuestionario y recoger las respuestas, que se analizarán en una sesión posterior dentro o fuera de clase, elaborando un nuevo cuestionario si se considera pertinente.

Actividad 4.7. Para la validación de un Modelo es necesario compararlo con los Sistemas Reales que pretende simular. Si el Modelo y el Sistema Real comparten el conjunto de variables, podremos centrar la comparación en la relación de comportamiento. Si para una variable dependiente y tenemos definida una distancia sobre su conjunto de valores Vy, d:VyXVy→R+, y tenemos una Actividad del Modelo y otra Actividad del Sistema Real con los mismos valores de las variables de entrada, llamaremos grado de acoplamiento δy de dicha variable y entre el Modelo y el Sistema Real para dichas Actividades al promedio entre la distancia entre los valores de y en dichas actividades. El grado de ajuste δ del comportamiento del Modelo al Sistema Real para dichas Actividades será el promedio de los grados de acoplamiento para todas las variables dependientes.
Si tenemos definida congruentemente una medida sobre el conjunto de valores Vy de la variable dependiente y, m:Vy→R+, llamaremos grado de acoplamiento relativo ρy de dicha variable y entre el Modelo y el Sistema Real para unas Actividades de los mismos al cociente entre su grado de acoplamiento y el promedio de la medida del valor de y en el Sistema Real en la correspondiente Actividad del mismo, ρy=δy/μ(m(y)). El grado de ajuste relativo ρ del comportamiento del Modelo al Sistema Real para dichas Actividades será el promedio de los grados de acoplamiento relativo para todas las variables dependientes.
Ejercicio 4.5: calcular el grado de ajuste y el grado de ajuste relativo del Modelo obtenido en el Ejercicio 14 (u otro).

Actividad 4.8. El diagrama del Sistema Ultra-estable de Ashby incluye distintos niveles de control, de modo que cuando fallan las acciones de un nivel recurre a acciones de un nivel superior. Así, en el nivel de Explotación se ejecutan a corto plazo determinados procedimientos contando con determinados medios para conseguir determinados objetivos. En caso de necesidad se recurre a medio plazo al nivel de Gestión cambiando los procedimientos, o a largo plazo al nivel de Evolución cambiando los medios. Y en última instancia, el nivel de Mutación puede cambiar los objetivos para permitir la supervivencia del Sistema.
Ejercicio 4.6: definir una acción correspondiente a cada uno de esos niveles para la supervivencia de la humanidad.

Actividad 4.9. Segun Miller (1978), los Sistemas Vivientes de diferentes niveles (células, órganos, organismos, grupos, organizaciones, sociedades y Sistemas Supranacionales) poseen un Suprasistema en su caso y 19 Subsistemas críticos que transfieren Materia, Energía e Información (reproductor, frontera), Materia y Energía (ingestor, distribuidor, conversor, productor, almacén, expulsor, sostén, motor) o Información (transductor de entrada, transductor de salida, transductor interior, canal y red, decodificador, asociador, memoria, decisor, codificador), y sufren un proceso a través del cuál nacen, se mantienen integrados persiguiendo sus objetivos a través de interacciones con su entorno, sufren "patologías" con desajustes entre sus Subsistemas, eventualmente se reproducen y finalmente entran en decadencia y terminan cuando no pueden ajustar sus variables esenciales o no pueden mantener la cohesión entre sus subsistemas.
Ejercicio 4.7: definir un Sistema Social (un Sistema Viviente de alguno de los 4 niveles superiores) en el cuál se puedan identificar los 19 Subsistemas críticos.

Actividad 4.10. Cuando se dispone de insuficiente información para establecer relaciones funcionales entre las distintas variables de un Sistema, puede utilizarse el método de Impactos Cruzados para estimar la eventual influencia positiva o negativa de cada variable sobre las demás.
Ejercicio 4.8: construir una matriz de Impactos Cruzados con los factores de los Ejercicios 4.3 y 4.4 que pueden influir en la extiención de una especie.

Actividad 4.11. Un árbol de decisión consiste en una bifurcación entre varias decisiones posibles, a raíz de cada una de las cuáles pueden producirse distintos eventos con determinadas probabilidades (o posibilidades), en respuesta a los cuáles pueden a su vez tomarse distintas decisiones, y así sucesivamente, como se indica en las figuras adjuntas. Al final de cada rama hay que evaluar su probabilidad (o posibilidad) así como los resultados obtenidos en relación a los objetivos previamente definidos, a fin de determinar una estrategia racional de decisiones sucesivas.
Ejercicio 4.9: determinar la estrategia óptima de acuerdo con el árbol de decisión superior adjunto, donde los cuadrados indican bifurcación entre decisiones, se indica la probabilidad de cada evento, y al final de cada rama se indica el correspondiente resultado o probabilidad de satisfacción. Evaluar la expectativa de probabilidad de satisfacción después de cada decisión. Imaginar una posible aplicación de dicho arbol de decisión, o bien elaborar otro árbol de decisión para algún problema.
NOTA: recordad que las probabilidades condicionales se multiplican, y las probabilidades de opciones alternativas se suman.
 árbol de decisión


Tema 5 - Programación de ordenadores:

Actividad 5.1. Los ordenadores son especialmente útiles para la realización de cálculos repetitivos. Para ello se dispone de diversos lenguajes de programación con sintaxis precisas para la ejecución de una serie de instrucciones. Dichos lenguajes tratan con objetos de diferentes tipos (numéricos o literales), que pueden ser constantes o variables (las cuales apuntan a direcciones de memoria cuyo contenido puede cambiar), y disponen de un conjunto de operadores para su transformación. Un lenguaje de programación debe también poder regular el modo en que se ejecutan las instrucciones, y para ello debe contener instrucciones condicionales, que se ejecutan o no según si se cumplen o no determinadas condiciones, y bucles, que permiten la ejecución repetida de determinadas instrucciones mientras se cumplan determinadas condiciones. En la tabla siguiente presentamos de forma simplificada y comparativa ejemplos de la sintaxis utilizada por varios lenguajes:

 BASIC C octave/MatLab
matrices x(3), y(2)(3) x[3], y[2][3], {3,5,7,9} x(3), y(2,3), [3,5,7,9], [3;5;7;9], 3:2:9
suma x+y x+y x+y
resta x-2 x-2 x-2
producto x*y x*y x*y, x.*y
cociente x/y x/y x/y, x./y
potencia 2^3 pow(2.,3.) 2^3, 2.^3
raíz cuadrada SQR(9) sqrt(9.) sqrt(9)
asignación de un valor x=3 x=3; x=3; x=3
condición de igualdad x=y x==y x==y
desigualdades x>y, y>=2, x<y, x<>y x>y, y>=2, x<y, x!=y x>y, y>=2, x<y, x~=y
negación NOT p !p ~p
conjunción p AND q p && q p & q
disyunción p OR q p || q p | q
condicional
if p then
              ...
else
              ...
end if
 if(p)
       {...}
else
       {...}		 if p
       ...
else
       ...
end
bucle for i=0 to 10 step 2
      ....
next i		 for(i=0;i<=10;i+=2)
       {...}		 for i=0:2:10
      ...
end
mostrar un valor print "x=";x;
print "x=";x		 printf("x=%f",x);
printf("x=%f\n",x);		 fprintf('x=%f',x);    x
fprintf('x=%f\n',x);    x
introducir un dato Input "x=",x
x=InputBox("x=")		 printf("x="); scanf("%f",&x); x=input('x=');
Ejercicio 5.1: confeccionar un trozo de programa en cualquier lenguaje de programación para calcular la suma de los cuadrados de los 100 primeros números naturales.

Actividad 5.2. Antes de redactar un programa en un lenguaje de programación determinado conviene confeccionar un diagrama de flujos en el que se indique el orden de ejecución de las distintas instrucciones. Para ello cada instrucción se representa dentro de un rectángulo, excepto los condicionales que se representan dentro de un rombo, como se indica en la figura adjunta, y se indica con flechas el orden de ejecución. El inicio del programa se indica con un círculo, y su final con un rectángulo ovalado. Los bucles aparecerán como un circuito cerrado con una condición de salida.
Ejercicio 5.2: confeccionar un diagrama de flujos para el programa correspondiente al Ejercicio 5.1.

Actividad 5.3. Existen diversos programas de ordenador (Vensim, Stella, Ithink, Sigem...) que permiten construir y ejecutar modelos sin redactarlos en un lenguaje de programación específico, introduciendo directamente una lista de variables y las relaciones entre ellas. En el Aula de Informática trabajaremos con Sigem (Sistema Generador de Modelos), un programa de utilización libre elaborado por Antonio Caselles Moncho. Como tarea preliminar, realizaremos el siguiente ejercicio:
Ejercicio 5.3: redactar un posible diálogo con un programa de ordenador para la construcción de un modelo.

 
Tema 6 - Experimentación usando simuladores en computadora:

Actividad 6.1. Llamamos escenario (s) a un conjunto de valores a lo largo del tiempo de las variables no controlables, y estrategia (e) a un conjunto de valores a lo largo del tiempo de las variables de control.
Si podemos estimar la probabilidad de una variable objetivo (y) condicionada al escenario y la estrategia, P(y|s,e), así como la probabilidad de los distintos escenarios, P(s), supuestos independientes de las estrategias, aplicando el Teorema de Bayes obtendremos
P(y|e) = ∑s P(y|s,e)P(s) ,
lo cuál nos permitirà evaluar qué estrategia tiene la máxima probabilidad de satisfacer el objetivo.
Ejercicio 6.1: encontrar la mejor estrategia para el siglo XXI entre (1) mantener el actual consumo energético, (2) reducir
moderadamente el consumo energético y (3) reducir drásticamente el consumo energético, en relación a los siguientes escenarios: (a) fuentes de energía actualmente existentes, (b) descubrimiento de una fuente de energía radicalmente nueva y (c) posibilidad de trasladarse a otro planeta virgen con abundancia de recursos, suponiendo que las probabilidades de los escenarios son P(a)=0'6, P(b)=0'3, P(c)=0'1 y que las probabilidades condicionales de conseguir el objetivo de que la humanidad viva satisfactoriamente vienen dadas por la tabla adjunta.
P(y|s,e)
 e
1
 2
 3
s
 a
 0
 0'3
 0'6
b
 0'5
 0'6
 0'6
c
 1
 0'8
 0'6

Actividad 6.2. Los algoritmos genéticos permiten simular la selección natural para escoger la mejor opción. Para ello se dan valores aleatorios a las variables de entrada, tanto las no controlables como las de control, modificando en cada paso las probabilidades de los valores de las variables de control en función de los resultados obtenidos. Ello puede hacerse de diversas formas. Por ejemplo, podría tomarse en cada caso una probabilidad igual a la de la satisfacción obtenida. Y podría seleccionarse en cada paso un determinado porcentaje de los valores que han generado los mejores resultados.
Ejercicio 6.2: aplicar un algoritmo genético en las condiciones del Ejercicio 6.1, partiendo de 100 casos con estrategia 1, 100 casos con estrategia 2 y 100 casos con estrategia 3, y seleccionando en cada caso el 50% (o su parte entera) con mejores resultados (probabilidad de conseguir el objetivo). Para determinar de cada estrategia cuántos se encuentran en cada escenario, tomar la parte proporcional aproximando si es necesario con la parte entera y el resto mayor, o al azar en caso de restos iguales. En caso de empates con resultados seleccionables, tomar para cada estrategia la parte proporcional, aproximando del mismo modo si es necesario. ¿Cuántos habrán sobrevivido de cada estrategia después de 4 pasos?

Actividad 6.3. Para obtener por muestreo una solución que esté entre los 100p% mejores con una probabilidad del 100α%, deberemos calcular cual es la probabilidad de que entre n casos no haya ninguno que esté entre los 100p% mejores. Dado que la probabilidad de que un caso no esté entre los 100p% mejores es 1-p, y que los distintos casos deben considerarse independientes, la probabilidad de que entre n casos no haya ninguno que esté entre los 100p% mejores será (1-p)n. Por lo tanto, la probabilidad de que entre n casos haya alguno que esté entre los 100p% mejores será α=1-(1-p)n.
Ejercicio 6.3: ¿de qué tamaño deberá ser la muestra (con reemplazamiento) para garantizar con una probabilidad del 90% que el mejor resultado de la muestra esté entre el 5% de los mejores?

Actividad 6.4. En un proceso determinista iterativo, xt+1=f(xt) dentro de un determinado conjunto de valores V, las condiciones iniciales x0 determinan unívocamente su evolución, xt=ft(x0). No obstante, en el estudio de procesos reales, frecuentemente no podemos conocer con total exactitud las condiciones iniciales. Ahora bien, en muchos procesos, una pequeña variación de las condiciones iniciales supone una variación también pequeña de los resultados finales
(con una medida definida sobre V,
para todo δ>0 existe ε>0 tal que si |x0-z0|<ε, entonces para todo número natural t, |ft(x0)-ft(z0)|<δ ),
de manera que si queremos predecir los resultados finales con una precisión dada, simplemente deberemos fijar las condiciones iniciales con una cierta precisión. Ahora bien, pueden existir también determinadas condiciones iniciales x0 en las que ello no se cumple, es decir en las que una pequeña variación de tales condiciones iniciales puede suponer una gran variación de los resultados finales. En tal caso, diremos que hay sensibilidad a las condiciones iniciales, y los resultados finales serán impredecibles ante pequeñas variaciones de las mismas a partir de x0
(existe δ>0 tal que para todo ε>0 existen un número natural t y z0cV tales que |x0-z0|<ε y |ft(x0)-ft(z0)|>δ ).
Ejercicio 6.4: dado el proceso xt=(x0)t+1, estudiar su sensibilidad a las condiciones iniciales.

Actividad 6.5. Diremos que un sistema determinista es caótico si presenta sensibilidad generalizada a las condiciones iniciales y además presenta mezcla, de modo que desde cualquier condición inicial se llega tan cerca como se quiera de cualquier punto del conjunto de sus valores
( para todo δ>0, ε>0, x,zcV, existen x0cV y un número natural t  tal que |x0-x|<ε y |ft(x0)-z|<δ ).
Puede demostrarse que hay sensibilidad generalizada a las condiciones iniciales si el sistema presenta mezcla y además el conjunto de puntos periódicos es denso en el conjunto de sus valores
( para todo ε>0, zcV, existen x0cV y un par de números naturales t'>t tales que |z-x0|<ε y ft'(x0)=ft(x0) )
o bien la función de iteración f(x) es continua.
Ejercicio 6.5: definimos el operador Shift mediante S(x)=2x si 0≤x<0'5, S(x)=2x-1 si 0'5≤x<1, según se muestra en la figura adjunta. En la figura inferior se indica la generación gráfica de los sucesivos valores de xt. Si representamos x en sistema binario (con 0s y 1s), para obtener S(x) deberemos simplemente desplazar los bits (0s y 1s) un lugar a la izquierda y descartar la parte entera si aparece. ¿Que valores de x generarían una sucesión periódica? Comprobar que el operador Shift cumple las propiedades de:
a) Sensibilidad a las condiciones iniciales (para δ=0'01 en sistema binario).
b) Densidad de puntos periódicos.
c) Mezcla.
A tal efecto dividiremos la clase en dos grupos,
uno de los cuáles impondrá los valores de partida, y el otro comprobará que se cumple cada propiedad para algún:
a) ε, x0.
 z0, t
b) ε, z
 x0, t, t'
c) δ, ε, x,  z x0, t
(los grupos pueden turnarse para distintas propiedades; todas las cantidades deben darse en sistema binario). 		Shift
generación de Shift



Tema 7 - La Teoría Matemática o Abstracta de Sistemas:

Actividad 7.1. Llamaremos Sistema de conexiones a un Sistema con una relación estructural binaria, R ≤ EXE, de modo que (a,b)cR si y sólo si a depende directamente de b, b→a. Diremos de un Sistema de conexiones que es jerárquico si en él no pueden encontrarse bucles, de manera que un elemento no pueda depender directa ni indirectamente de sí mismo. En tal caso, si el número de elementos es finito, habrá necesariamente un subconjunto de elementos que no dependan de ningún otro, a los cuáles llamaremos elementos de nivel 1 o de entrada. Asimismo, diremos que un elemento es de nivel n>1 si y sólo si depende de algún elemento de nivel n-1 y en todo caso de elementos de nivel inferior. Llamaremos elementos de salida a aquéllos de los que no depende ningún otro.
Para establecer una clasificación en niveles comenzaremos extrayendo sus elementos de entrada (nivel 1). A continuación prescindiremos de ellos y buscaremos cuáles serían de entrada entre los restantes (nivel 2), y así sucesivamente. El Sistema será jerárquico si y sólo si a través de este proceso podemos llegar a clasificar en niveles todos sus elementos. El Sistema será conexo si no tiene elementos aislados, es decir si todos sus elementos tienen una relación de dependencia con algún otro.
Ejercicio 7.1: estudiar si es jerárquico el siguiente Sistema de conexiones, clasificando en niveles sus elementos:
Sistema jerárquico
Estudiar en qué casos cambiando el sentido de una única flecha el Sistema deja de ser jerárquico.

Actividad 7.2. Llamaremos Sistema Normal a un Sistema S={E,c,f}, tal que E es un conjunto de variables, c≤ EXE es una relación estructural de conexión jerárquica y f ≤ XicE Vi  es una relación de comportamiento.
Poner ejemplos de Sistemas Normales, especificando E, {Vi}icE, c y f .
Analizar en qué casos la relación estructural c podría inferirse de la relación de comportamiento f :
Ejercicio 7.2: dada la relación de comportamiento definida por u=x2+y2 , v=y2-z2, w=u2+v2, siendo x, y, u, v, w números reales, inferir de ella una relación estructural para definir un Sistema Normal.

Actividad 7.3. Llamaremos Sistema Temporal a un sistema con alguna relación de comportamiento que involucra alguna variable temporal X cuyo conjunto de valores es  VX  ≤ DXT = {x / x:T→DX}, es decir, un conjunto de aplicaciones de T en un dominio DX, siendo T un intervalo temporal.
Analizar cuáles de los Sistemas considerados en la Actividad 4.1 son Temporales.

Actividad 7.4. Llamaremos Sistemas Dinámicos a aquellos Sistemas Temporales cuyas relaciones de comportamiento pueden describirse clasificando sus variables en variables de entrada X, variables de salida Y y variables de estado U, de modo que:
    a) La evolución en el tiempo de las variables de salida Y a partir de un instante tcT depende del valor de las variables de estado U en el instante t y de la evolución en el tiempo de las variables de entrada X a partir de dicho instante t.
    b) El valor de las variables de estado U en un instante tcT depende del valor de las mismas en cualquier instante t'≤t y de la evolución en el tiempo de las variables de entrada X entre los instantes t' y t, de modo que se cumplan las propiedades de
       b1) Identidad: si t'=t, el valor de las variables de estado U en los instantes t' y t debe coincidir.
       b2) Transitividad: si t"≤t'≤t, para una determinada evolución en el tiempo de las variables de entrada X entre los instantes t" y t, la dependencia del valor de las variables de estado U en el instante t a partir de su valor en el instante t" debe ser equivalente a la que se derivaría del valor de dichas variables en el instante t' dependientes de su valor en el instante t.

       b3) Consistencia: para una determinada evolución en el tiempo de las variables de entrada X a partir de un instante t', la dependencia respecto al valor de las variables de estado U en dicho instante t' de la evolución en el tiempo de las variables de salida Y a partir de un instante t≥t' debe ser equivalente a su dependencia respecto al valor de los variables de estado U en dicho instante t derivadas de su valor en el instante t'.
Consistencia
Si todas las relaciones de dependencia en cuestión son deterministas, diremos que el Sistema Dinámico es Determinista. Si algunas o todas las relaciones son probabilísticas, y el resto deterministas, diremos que el Sistema es Estocástico. Si alguna relación no podemos definirla de modo determinista ni probabilística, tenemos la opción de intentar estimar la "posibilidad", entre 0 y 1, de los correspondientes valores de las variables de salida Y o de estado U; en tal caso, diremos que trabajamos con un Sistema Borroso.
Poner ejemplos de Sistemas Dinámicos Deterministas, Estocásticos y Borrosos e intentar definir sus relaciones.

Actividad 7.5. Un Sistema Dinámico no anticipatorio será aquél en que los valores de las variables de salida Y no dependan de valores posteriores de las variables de entrada X. Una forma sencilla de Sistemas Dinámicos Deterministas no anticipatorios con intervalo temporal discreto son los Sistemas Secuenciales, cuyas relaciones de comportamiento vienen dadas por
       y(t) = F(x(t),u(t))
       u(t+1)=G(x(t),u(t))
donde x, u, y pueden representar tuplas de variables de entrada, estado y salida, respectivamente. Es decir, y(t)=(y1(t),y2(t),y3(t)...), etc.
Ejercicio 7.3: dado un Sistema Secuencial definido por y(t)=u(t)·x(t), u(t+1)=u(t)+x(t), expresar y(5) como función del estado inicial u(0) y de la secuencia de valores de entrada (x(0),x(1),x(2),x(3),x(4),x(5)).
Tomando como elementos los valores de x(t), u(t), y(t) para t=0,1,2,3,4,5, analizar si su Sistema de conexiones es jerárquico, clasificando en niveles dichos elementos.
Llamaremos retroacción a la situación que se da cuando el valor de una variable depende directa o indirectamente de valores anteriores de la misma ¿En un Sistema Secuencial se produce retroacción? ¿Hay bucles en su sistema de conexiones?

Actividad 7.6. Norbert Wiener (1948) definió la Cibernética como la ciencia de la comunicación y el control en el hombre, el animal y la máquina. Aquí "comunicación" hace referencia al intercambio de información entre un Sistema y su entorno, y "control" hace referencia a la realización de las acciones necesarias para obtener los resultados deseados: llamaremos Sistema Cibernético (y también "Sistema con objetivo" o "con Aprendizaje") a un Sistema capaz de modificar sus respuestas a partir de la información recibida a fin de alcanzar un objetivo:

El "lazo de retorno", "feed-back" o retroalimentación de la información, tanto sobre sobre el grado de consecución o la distancia al objetivo como sobre las condiciones externas en que ello se produce, es esencial para que un Sistema Cibernético pueda conseguir su objetivo. Este proceso puede permitir que un Sistema sea relativamente "autónomo" en tanto que pueda alcanzar su objetivo con una relativa independencia de las condiciones externas. Señalemos que los Sistemas Cibernéticos pueden acoplarse, de modo que el Objetivo de un Sistema Cibernético puede estar determinado por la acción de control de otro Sistema Cibernético, como ocurre en el Sistema Ultra-estable de Ashby.
Ejercicio 7.4: poner ejemplos de Sistemas Cibernéticos, identificando el objetivo, la información y la acción de control.
Ejercicio 7.5: dividir la clase en dos grupos; el primero, que actuará como Sistema Cibernético, definirá su objetivo; el segundo, que actuará como Sistema Controlado, definirá públicamente un conjunto de acciones a realizar o evitar para su consecución, y establecerá secretamente una relación de comportamiento entre dichas acciones, determinadas condiciones externas y el objetivo. A partir de ello, el segundo grupo anunciará las condiciones externas, el primer grupo anunciará sus acciones, y el segundo informará del consiguiente grado de consecución del objetivo. El proceso se repetirá hasta que el primer grupo consiga una suficiente estabilidad de su objetivo.