VULNERACIÓ DE LA PROPORCIONALITAT AMB EL SISTEMA DE SAINT LAGUÉ
Rafael Pla López
Departament de Matemàtica Aplicada de la Universitat de València.

La condició de proporcionalitat estricta es pot vulnerar amb el Sistema de Saint Lagué si

[n-√(n2-4n)]/2 ≤ m ≤  [n+√(n2-4n)]/2
amb un número de candidatures
r ≥ 2 + n/m

Analitzarem diferents casos. Per a construir-los, recordem que la suma de les posicions en disputa de les diferents candidatures ha de ser

Si=1:r mi = n+1

1) n=4, m=2, r=4
    En aquest cas, amb 4 sumandos, 2+1+1+1=4+1 .
    Per tant, la proporcionalitat estricta pot vulnerar-se si una candidatura obté el 50% dels vots i cadascuna de les altres tres 1/6 dels vots. Per a fixar idees, suposem que la candidatura A obté 30 vots i les candidatures B, C i D obtenen 10 vots cadascuna. Com la candidatura A obté exactament 1/2 del total de vots, hauria d'obtenir, proporcionalment, 4/2=2 llocs. Tanmateix, el segon candidat de A té una puntuació de 30/3=10, i per tant resulta empatat amb els primers candidats de les altres tres candidatures. La vulneració o no de la proporcionalitat dependrà de la forma de desempatar.
    Assenyalem que, donat el caràcter "fronterer" d'aquest cas (la vulneració de la proporcionalitat estricta solament és possible si el número n de llocs a elegir és igual o major de 4), la proporcionalitat solament pot vulnerar-se amb una distribució exacta de vots que seria, a priori, altamente improbable, però que podria ser el resultat d'una estratègia dispersió controlada de vots si hi haguera dos "bàndols" amb el mateix número de seguidors. Analitzem, tanmateix, els possibles resultats d'aquesta estratègia si d'allò que es tracta és d'ordenar una llista. Observem que l'únic que hem deduït fins ara és la possibilitat que la proporcionalitat estricta es vulnere, sense valorar la probabilitat d'allò que pot passar.
    Si s'hagueren presentat únicament 2 candidatures, A i B, i cadascuna haguera obtingut 30 vots, es produiria un empat per als llocs impars. Si l'empat es resol per sorteig, amb el raonable métode d'afavorir successivament a una i altra candidatura, una de les candidatures obtindria els llocs 1r i 4t, i altra els llocs 2n i 3r. Per tant, la candidatura B tindria una probabilitat del 50% d'obtenir el primer lloc.
    Suposem ara que els seguidors de la posició B es divideixen en 3 candidatures, B1, B2 i B3, donant 10 vots a cadascuna. Fent això, B renuncia a la possibilitat d'obtenir el 1r lloc, que es obtingut per A amb una seguretat del 100%. Per tal com el segon candidat d'A (l'anomenarem A2) resta empatat amb B1, B2 i B3, ú d'ells es quedarà sense lloc: la probabilitat que A2 no obtinga lloc és del 25%. Per tant, l'estratègia de dispersió de vots de B suposa renunciar al 50% de probabilitat d'obtenir el 1r lloc a canvi d'un 25% de probabilitat d'obtenir 3 llocs (el 2n, el 3r i el 4t), cosa que no sembla una decisió probabilísticament racional.
    Però és més: A, a més d'obtenir el 1r lloc, tindrà un 25% de probabilitat d'obtenir el 2n lloc (1/4), un 25% de probabilitat d'obtenir el 3r lloc (la tercera part del 75% restant, competint amb les 2 candidatures de B que no haguera obtingut el 2n lloc) i un 25% de probabilitat d'obtenir el 4t lloc (la meitat del 50% restant, competit amb la candidatura de B que no haguera obtingut el 2n ni el 3r lloc). Per tant, l'estratègia de dispersió de vots de B, a més de la renúncia a la seua opció al 1r lloc i que solament tinga un 25% de probabilitat de guanya un lloc en total, suposa un 50% de probabilitat de perdre també el 2n o el 3r lloc, i en particular un 25% de probabilitat de perdre també el 2n lloc (recorden que, en cas d'unir els seus vots, en el pitjor dels casos hauria obtingut el 2n i el 3r lloc). Aquesta estratègia sembla, per tant, especialment irracional, o en tot cas molt arriscada si allò del que es tracta és d'ordenar una llista.
    Altra cosa, clar, seria si l'ordre no importara, sinó únicament la distribució dels llocs. En tal cas B no podria perdre res per la seua estratègia de dispersió de vots, i tindria una probabilitat del 25% de guanyar un lloc més.

2) n=5, m=3, r=4
    En aquest cas, amb 4 sumandos, 3+1+1+1=5+1 .
    Per tant, la proporcionalitat estricta es vulnerarà si una candidatura obté 3/5 dels vots (el 60%) i cadascula de les altres tres obtenen una proporció de 2/15 dels vots. Per a fixar idees, suposem que la candidatura A obté 45 vots i cadascuna de les candidatures B1, B2 i B3 obté 10 vots. Com la candidatura A té 45/75=3/5 dels vots, proporcionalment li correspondrien 3 dels 5 llocs. Però el tercer candidat de A tindria una puntuació de 45/5=9, superada pel primers candidats de B1, B2 i B3, que obtindrien així 3 llocs sumant únicament 2/5 dels llocs.
    Ara bé, si es tractara d'ordenar una llista, en cas que B presentara una candidatura unida amb 10+10+10=30 vots guanyaria el 2n lloc (30>45/3) i el 4t lloc (30/3>45/5), deixant a la candidatura A els llocs 1r, 3r i 5é.
    En canvi, amb l'estratègia de dispersió de vots entre B1, B2 i B3 (10 cadascú) la candidatura A obtindria el 1r lloc (45>10) i el 2n lloc (45/3>10), i les candidatures B1, B2 i B3, empatades a 10>45/5, es sortejarien els llocs 3r, 4t i 5é. Per tant, l'estratègia de dispersió de vots suposa cedir el 2n a canvi de guanyar el 3r i el 5é.
    Si amb les mateixes proporcions, A disposara de 90 vots i B de 60, es podrien evitar els empats si es donen 21 vots a B1, 20 a B2 i 19 a B3, que obtindrien així respectivament els llocs 3r, 4t i 5é (19>90/5=18).

3) n=5, m=2, r=5
    En aquest cas, amb 5 sumandos, 2+1+1+1+1=5+1
    La proporcionalitat estricta es vulnerarà si una candidatura obté 2/5 dels vots (el 40%) i cadascuna de les altres quatre obtenen una proporció de 3/20 dels vots (el 15%). Per a fixar idees, suposem que la candidatura A obté 120 vots i cadascuna de les candidatures B1, B2, B3 i B4 obté 45 vots. Com la candidatura A té 120/300=2/5 dels vots, proporcionalment li correspondrien 2 dels 5 llocs. Però el segon candidat de A tindrà una puntuació de 120/3=40, superada pels primers candidats de B1, B2, B3 i B4, que obtindrien així 4 llocs sumant únicament 3/5 dels llocs.
    Ara bé, si es tractara d'ordenar una llista, en cas que B presentara una candidatura unida amb 4x45=180 vots guanyaria el 1r lloc (180>120) el 3r lloc (180/3>120/3) i el 5é lloc (180/5>120/5), deixant a la candidatura A els llocs 2n (120>180/3) i 4t (120/3>180/5).
    En canvi, amb l'estratègia de dispersió de vots entre B1, B2, B3 i B4 (45 cadascú) la candidatura A obtindria el 1r lloc (120>45), i les candidatures B1, B2, B3 i B4, empatades a 45>120/3, es sortejarien els llocs 2n, 3r, 4t i 5é. Per tant, l'estratègia de dispersió de vots suposa cedir el 1r a canvi de guanyar 2n i el 4t.
    Es podrien evitar els empats si, per exemple, es donen 47 vots a B1, 46 a B2, 44 a B3 i 43 a B4 (sumant 180), que obtindrien així respectivament els llocs 2n, 3r, 4t i 5é.

Si n=6, es pot vulnerar la proporcionalitat estricta amb m=2, 3, 4 . Examinarem el cas :

4) n=6, m=3, r=4
    En aquest cas, amb 4 sumandos, 3+2+1+1=6+1
    Així, la proporcionalitat estricta es pot vulnerar si una candidatura obté el 5/10 dels vots, altra obté 3/10 dels vots i cadascuna de les altres dos obté 1/10 dels vots. Per a fixar idees, suposarem que la candidatura A obté 30 vots, la candidatura B1 obté 18 vots i les candidatures B2 i B3 obtenen 6 vots cadascuna. Com la candidatura A obté exactament 1/2 del total de vots, hauria d'obtenir, proporcionalment, 6/2=3 llocs. Tanmateix, el tercer candidat de A té una puntuació de 30/5=6 , el segon candidat de B1 té una puntuació de 18/3=6 i els primers candidats de B2 i B3 tenen una puntuació de 6 , i per tant tots quatre resulten empatats per als 3 darrers llocs. La vulneració o no de la proporcionalitat dependrà de la forma de desempatar.
    De nou, si B haguera unit 18+6+6=30 vots en una candidatura, hauria tingut el 50% de probabilitat d'obtenir el 1r lloc, i en el pitjor dels casos haguera obtingut el 2n, el 3r i el 6é. Tanmateix, amb la dispersió indicada dels seus vots renuncia al 1r  i al 3r lloc, que obté A amb una seguretat del 100%, i té també una probabilitat del 25% d'obtenir en total 4 dels 6 llocs. A més, A té una probabilitat del 25% d'obtenir a més el 4t lloc, és a dir, tres dels quatre primers.
    Aquesta estratègia sembla per tant també especialment irracional, o en tot cas molt arriscada si allò del que es tracta és d'ordenar una llista.

En general, les estratègies de dispersió controlada de vots amb el sistema de Saint Lagué únicament poden guanyar llocs en la cua a costa de perdre-l`s en la capçalera. Això fa poc racionals aquestes estratègies que vulnerarien la proporcionalitat estricta en el conjunt de la llista, i permet utilitzar el sistema de Saint Lagué per a ordenar llistes.

Tanmateix, el sistema de Saint Lagué no és recomanable si es tracta únicament de distribuir llocs, per tal com una estratègia de dispersió de vots permet guanyar llocs amb poc de risc.