Introducción

• Consideremos la ley de conservación escalar en una dimensión espacial dada por
  

  $$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0$$ (120)

  
  
  con la condición inicial $u(x,t=0) = u_0(x)$.

  Si la ecuación es no lineal (i.e., $\partial f/\partial u \neq 0$), pueden generarse soluciones discontinuas en un tiempo finito a partir de un dato inicial continuo.

• Discretización espacio-temporal: En códigos hidrodinámicos basados en diferencias o volúmenes finitos, la ecuación (126) se resuelve sobre una malla numérica discreta $(x_j,t^n)$ con
  

  $$x_j = (j - 1/2) \Delta x, j=1,2,\ldots ,$$ (121)

  
  
  y
  

  $$t^n = n \Delta t, n=0,1,2,\ldots ,$$ (122)

  
  
  donde $\Delta t$ and $\Delta x$ representan el paso de tiempo y el tamaño de la celda numérica, respectivamente.
  

• Un esquema en diferencias finitas es un procedimiento por el que se obtiene una aproximación a la solución en un tiempo posterior, $u_j^{n+1}$, a partir de aproximaciones en instantes anteriores.

• La cantidad $u_j^n$ es una aproximación a $u(x_j,t^n)$. En el caso de leyes de conservación es preferible considerarla como una aproximación al valor medio de $u(x,t)$ en la celda $[x_{j-1/2},x_{j+1/2}]$, donde $x_{j \pm 1/2} = (x_j + x_{j \pm 1})/2$:
  

  $$\bar{u}_j^n = \frac{1}{\Delta x} \int_{x_{j-1/2}}^{x_{j+1/2}} u(x,t^n) dx.$$ (123)

  
  

• La convergencia de la solución numérica a la analítica al refinar la malla numérica implica que el error global, $\vert\vert E_{\Delta x}\vert\vert$, definido según
  

  $$\vert\vert E_{\Delta x}\vert\vert = \Delta x \sum_j \vert\bar{u}_j^n-u_j^n\vert,$$ (124)

  
  
  tienda a cero conforme $\Delta x \rightarrow 0$.

  En general, en un método es de orden $p$, $\vert\vert E_{\Delta x}\vert\vert \propto \Delta x^p$.

• Métodos en forma conservativa: garantizan la convergencia (en caso de que ésta exista) a una de las soluciones discontinuas admisibles del sistema original de ecuaciones (teorema de Lax-Wendroff). Forma conservativa significa que el algoritmo puede escribirse en la forma
  

  $$u_j^{n+1} = u_j^n - \frac{\Delta t}{\Delta x} \left(\hat{... ...\hat{f}(u_{j-r-1}^n,u_{j-r}^n,\ldots,u_{j+q-1}^n) \right)$$ (125)

  
  
  donde $q$ y $r$ son enteros positivos, y $\hat{f}$ es una función flujo numérico consistente (i.e., $\hat{f} (u, u, \ldots, u) = f(u)$).

• Ejemplos de métodos en diferencias finitas conservativos:

  Nombre	Algoritmo	Orden
  Lax-Friedrichs	$${u_j^{n+1} =\frac{1}{2}(u_{j-1}^n + u_{j+1}^n) - \frac{\Delta t}{2\Delta x} (f(u_{j+1}^n) - f(u_{j-1}^n))}$$	1
  Godunov	$${u_j^{n+1} = u_{j}^n - \frac{\Delta t}{\Delta x}(f(u(0;u_j^n,u_{j+1}^n) ) - f(u(0;u_{j-1}^n,u_{j}^n) ))}$$	1
  Two-step Lax-Wendroff	$${u_{j+1/2}^{n+1/2} =\frac{1}{2}(u_{j}^n + u_{j+1}^n) - \frac{\Delta t}{2\Delta x} (f(u_{j+1}^n) - f(u_{j}^n))}$$
  	$${u_j^{n+1} = u_{j}^n - \frac{\Delta t}{\Delta x}(f(u_{j+1/2}^{n+1/2}) - f(u_{j-1/2}^{n+1/2}))}$$	2
  MacCormack	$${u_j^{*} = u_{j}^n - \frac{\Delta t}{\Delta x}(f(u_{j+1}^n) - f(u_{j}^n))}$$
  	$${u_j^{n+1} = \frac{1}{2}(u_{j}^n + u_{j}^*) - \frac{\Delta t}{2\Delta x}(f(u_{j}^*) - f(u_{j-1}^*))}$$	2

  Los métodos de primer orden son estables (suponiendo que se satisface la condición de Courant: $\left\vert \frac{d f}{d u} \right\vert \frac{\Delta t}{\Delta x} (\equiv {\rm CFL}) \leq 1$) y, por tanto convergentes, aunque excesivamente difusivos.

  Los métodos de segundo orden son menos disipativos pero oscilatorios en las proximidades de discontinuidades (y, por tanto, no convergentes).

• Referencias:

  R.J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhäuser, 1992. Parte II