CONTRASTE DE INCORRELACIÓN

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Dadas dos poblaciones normales sobre las que se realiza un muestreo conjunto de tamaño n puede demostrarse con relativa sencillez que, bajo la hipótesis

H₀ ; r =0 es decir, bajo la hipótesis de que ambas poblaciones están incorrelacionadas y por tanto que los coeficientes de regresión de las dos regresiones entre las poblaciones
[Y/X: Y= a + b X ; X/Y: X= a '+b 'Y] , b y b ' son

nulos ; la distribución del estadístico:

(Sigue una distribución F de Snedecor con 1 g.l. en el numerador y n - 2 g.l. en el denominador.)

Donde r es el coeficiente de correlación muestral y n el tamaño muestral
De otra forma el estadístico puede plantearse :

(sigue una distribución t de Student con n-2 g.l.partiendo de estos argumentos planteamos el contraste bilateral de manera que:

para un determinado nivel de significación a : diseñaremos el contraste de la siguiente manera :
En el caso de utilización de la F de Snedecor sería:

   si No rechazaríamos la hipótesis nula , por tanto la incorrelación.

    si rechazaríamos H₀ por lo que aceptaríamos que están correladas.

en el caso de utilizar la t de Student sería:

     si no rechazaríamos incorrelación

     si
                   rechazaríamos incorrelación , aceptando que están correladas

También podemos plantearnos la realización de un contraste de una cola, en el que es conveniente la utilización del estadístico relacionado con la T de student dado que plantea, por la simetría de la distribución, la posibilidad de trabajar con positivos y negativos , cuestión más acorde con el problema de la correlación que así lo exige. Tendremos ,por tanto , dos posibles opciones:

Cuando el coeficiente de correlación muestral sea positivo

el contraste supondrá establecer la hipótesis de incorrelación ante la alternativa de que el coeficiente de correlación poblacional es positivo. Así:

estableciendo que si T < ta aceptaremos la H₀

y si T > ta rechazaremos la H₀ ; aceptando correlación negativa

Cuando el coeficiente de correlación muestral sea negativo

el contraste supondrá establecer la hipótesis de incorrelación ante la alternativa de que el coeficiente de correlación poblacional es negativo. Así:

estableciendo que si T > ta aceptaremos la H₀

y si T < ta rechazaremos la H₀ ; aceptando correlación positiva

ejemplo 8

Contrastar la existencia de correlación positiva entre la renta y el consumo de un país, con un nivel de significación del 5 % , si de los datos de diez años se desprende que el coeficiente de correlación de dichos años fue de r=0.87634

Nos planteamos el contraste de la hipótesis de incorrelación frente a la alternativa de que exista correlación positiva:

Si T < t a aceptaremos que existe incorrelación (o que podría ser, incluso, negativa)
Si T > t a rechazamos la incorrelación ,el dato muestral es significativo, aceptamos la correlación positiva.

Según la información que poseemos , tendremos que :

dado que el valor de ta con 8 grados de libertad y para alfa 0.05 es 1.86 por tanto el estadístico es mayor. Aceptaremos que existe correlación positiva dado que rechazamos la hipótesis nula de incorrelación. (ir a tabla de la t de student)