8.1 Integración vía interpolación polinomial

Una estrategia muy útil para calcular el valor numérico de la integral dada por la ecuación (74) consiste en reemplazar fpor otra función g, fácil de integrar, que aproxima a f de forma adecuada. Si $f \approx g$, se deduce que

$$\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \int_{a}^{b} g(x)dx$$

Los polinomios son buenos candidatos para el papel de g. De hecho, g puede ser un polinomio que interpola a f en cierto conjunto de nodos⁵.

Supongamos que deseamos calcular la integral (74). Podemos elegir una serie de nudos, $x_{0},x_{1},\dots,x_{n}$ en el intervalo [a,b] e iniciar un proceso de interpolación de Lagrange (ver apartado 7.1 para una descripción de los polinomios de interpolación de Lagrange). El polinomio de grado menor o igual a n que interpola a f en los nudos es:

$$p(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})\ell_{i}(x)$$ (75)

La integral (74) se puede escribir entonces como:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \int_{a}^{b} p(x)dx = \sum_{i=0}^{n} \int_{a}^{b} \ell_{i}(x)dx$$

Es decir, tenemos una fórmula general que se puede emplear para cualquier f y que tiene la forma:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \sum_{i=0}^{n} A_{i}f(x_{i})$$ (76)

en donde

$$A_{i} = \int_{a}^{b} \ell_{i}(x)dx$$