8.3 Regla de Simpson

Empleando un razonamiento similar al anterior y tomando un polinomio de grado n=2 para interpolar a f, obtenemos la conocida regla de Simpson:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \frac{b-a}{6} \left[ f(a) + 4f\left( \frac{a+b}{2} \right) + f(b) \right]$$ (77)

que es exacta para todos los polinomios de grado $\leq$ 2 y curiosamente, exacta para todos los polinomios de grado $\leq$ 3.

En los cálculos prácticos se emplea, generalmente, la regla de Simpson compuesta, en la que el intervalo de integración [a,b] se divide en un número par, n, de subintervalos. Tenemos entonces:

$$\begin{array}{cc} a_{i} = a + ih & (0 \leq i \leq n) \end{array}$$

en donde

h = (b-a)/n

Aplicando la regla de Simpson (77) en cada uno de los subintervalos se obtiene la expresión final:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_{0}) + 2\... ...(x_{2i-2}) + 4\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + f(x_{n}) \right]$$ (78)