Semigroup Theory in Quantum Mechanics

It will be a streamlined and systematic introduction to strongly continuous semigroups of bounded linear operators on Banach spaces, as it is explained in [1]. Indeed, this theory provides a very efficient tool for the study of linear evolution equations arising as partial differential equations, functional differential equations, stochastic differential equations, and others. We will discuss the special case of Quantum Mechanics where autonomous evolution equations are given by strongly continuous semigroups. We will explain, in particular, the so-called Schr"odinger and Heisenberg pictures of Quantum Mechanics. See [2]

1. K. J. Engel and R. Nagel, A Short Course on Operator Semigroups, Universitext, Springer-Verlag New York, 2006
2. J. B. Bru and W. de Siqueira Pedra, Lieb-Robinson Bounds for Multi-Commutators and Applications to Response Theory, SpringerBriefs in Mathematical Physics 13 (2017) 1-110

El teorema de Müntz-Szász y algunas de sus extensiones

 El teorema de Weierstrass es un resultado clásico del Análisis Matemático y afirma la aproximación de funciones continuas mediante polinomios en intervalos cerrados y acotados. Una generalización de este teorema considera potencias cuyos exponentes satisfacen ciertas propiedades y se conoce como el resultado de aproximación de Müntz-Szász, debido a Herman Müntz (1914) y Otto Szász (1916) independientemente. En este proyecto, introducimos la teoría básica de análisis real y complejo necesaria para probar los resultados preliminares y a continuación presentaremos el teorema y la prueba dada por Szász, comparando con la demostración de Müntz. Finalmente contaremos algunas extensiones que se han obtenido de este resultado de aproximación en el último siglo.  

El laplaciano fraccionario desde distintos puntos de vista

Los operadores fraccionarios son bien conocidos desde la perspectiva del análisis funcional. No obstante, aparecen también en otras áreas de las matemáticas, como son la teoría del potencial, el análisis armónico o la probabilidad. En particular, el estudio de ecuaciones en derivadas parciales con el Laplaciano fraccionario ha experimentado recientemente un gran impulso, debido a que estas ecuaciones aparecen naturalmente en aplicaciones tales como mecánica de fluídos, difusión anómala o matemática financiera. El propósito de este taller es conocer algunas de las definiciones del operador laplaciano fraccionario que se encuentran en la literatura: mediante la transformada de Fourier; con el uso del semigrupo o fórmula de Bochner; y como un operador "Dirichlet-to-Neumann" para un problema de extensión armónica adecuado. Según los intereses de los alumnos, se incidirá en el estudio de alguna de ellas en particular, se considerarán otras definiciones, y se investigarán propiedades, aplicaciones y resultados asociados.

En busca de la linealidad en matemáticas

Hace aproximadamente una década se introdujo (ver [2-4,6]) el concepto de lineabilidad que (con el de espaciabilidad y algebrabilidad) hace referencia al "tamaño" (algebraico) de un conjunto. El resultado que motivó la aparición de este término fue el famoso Monstruo de Weierstrass. En 1872, K. Weierstrass construyó una función continua en $\mathbb{R}$ y no diferenciable en ningún punto de $\mathbb{R}$ (conocido como {\em monstruo de Weierstrass} en la literatura). Multitud de funciones que poseen esta patología han sido construidas desde entonces por una infinidad de autores. V. Gurariy (en 1966) demostró que existe un espacio vectorial infinito dimensional de funciones que, salvo por la función nula, son continuas y no diferenciables en ningún punto de $\mathbb{R}$ (de donde diremos que el conjunto de las funciones continuas y no diferenciables en ningún punto de $\mathbb{R}$, $CND(\mathbb{R})$, es lineable). En 1999 V. Fonf, V. Gurariy y V. Kade\u{c} demostraron que el espacio vectorial anterior puede construirse cerrado en $\mathcal{C}[0,1]$ (de donde se dirá que el conjunto $CND(\mathbb{R})$ es espaciable). 
La idea básica de este taller consiste en, a través del texto monográfico [1], estudiar (dado un subconjunto $M$ de un espacio vectorial topológico $X$) qué tipo de estructuras "vive n"dentro de $M \cup \{0\}$ (espacios vectoriales de dimensión finita, infinita, cerrados, completos, álgebras infinitamente generadas, etc.) 
Tras una breve introducción en la materia (mediante un "tour" rápido sobre el tema) se plantearán a los alumnos algunos teoremas y resultados seleccionados (y "sorprendentes") de este área en la última década (y que involucran a muchas áreas diferentes, como Análisis Real y Complejo, álgebra, Teoría de Operadores, Caos e Hiperciclicidad, Teoría de la Probabilidad, Teoría Axiomática de Conjuntos, etc.) 
Se trabajará con los alumnos en estos resultados seleccionados (y en sus correspondientes demostraciones), proporcionando técnicas de "lineabilización" y comentando algunos problemas que, a pesar de ser "aparententemente inofensivos" (y fácilmente comprensibles para cualquier alumno de grado en matemáticas), siguen abiertos tras los muchos intentos de resolución por parte de matemáticos actuales.

1. R. M. Aron, L. Bernal González, D. M. Pellegrino, and J. B. Seoane Sepúlveda, Lineability: the search for linearity in mathematics, Monographs and Research Notes in Mathematics, CRC Press, Boca Raton, FL, 2016.
2. R. M. Aron, V. I. Gurariy, and J. B. Seoane Sepúlveda, Lineability and spaceability of sets of functions on R, Proc. Amer. Math. Soc. 133 (2005), no. 3, 795–803.
   
3. L. Bernal González, D. Pellegrino, and J. B. Seoane Sepúlveda, Linear subsets of nonlinear sets in topological vector spaces, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 51 (2014), no. 1, 71–130. MR3119823
4. D. Cariello and J. B. Seoane-Sepúlveda, Basic sequences and spaceability in lp spaces, J. Funct. Anal. 266 (2014), no. 6, 3797–3814.
5. P. H. Enflo, V. I. Gurariy, and J. B. Seoane-Sepu ́lveda, Some results and open questions on spaceability in function spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 366 (2014), no. 2, 611–625.
6. J. B. Seoane Sepúlveda, Chaos and lineability of pathological phenomena in analysis, ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2006. Doctoral Thesis (Ph.D.)–Kent State University, USA.

Linear dynamics: Somewhere dense orbits are everywhere dense!

This course will deal with some surprising results on the dynamics of a linear and continuous map (from now on, operator) $T:X\to X$ on a general topological vector space $X$.
We recall that the orbit of $x\in X$ under $T$ is \[ Orb (x,T)=\{ x, Tx, T^2x,\dots \} ,\] and $x$ is a hypercyclic vector for $T$ (in this case, $T$ is called a hypercyclic operator) if $Orb (x,T)$ is dense in $X$, i.e., $\overline{Orb (x,T)}=X$.
We will consider the following problems, which, a priori, do not involve linearity.

• If $T$ has a dense orbit, does then every power $T^p$ also have a dense orbit?
• Suppose that the union of a finite collection of orbits is dense. Will then at least one of these orbits be actually dense?
• If an orbit is somewhere dense, is it (everywhere) dense? We recall that a set is called somewhere dense if its closure contains a nonempty open set.

Each of these questions has a negative answer for arbitrary, nonlinear maps. It is therefore even more surprising that they all have a positive answer for (linear) operators, and that without any restrictions. The proofs depend in a crucial way on connectedness arguments.

1. S.I. Ansari, Hypercyclic and cyclic vectors, J. Funct. Anal. 128 (1995), 374–383.
2. J. Banks, Regular periodic decompositions for topologically transitive maps, Ergodic Theory Dynam. Systems 17 (1997), no. 3, 505–529.
3. F. Bayart and É. Matheron, Dynamics of linear operators. Cambridge Tracts in Mathematics, Vol. 179, Cambridge University Press, Cambridge 2009.
4. P.S. Bourdon and N.S. Feldman, Somewhere dense orbits are everywhere dense, Indiana Univ. Math. J. 52 (2003), no. 3, 811–819
5. G. Costakis, On a conjecture of D. Herrero concerning hypercyclic operators, C.R. Acad. Sci. Paris 330 (2000), 179–182.
6. K. G. Grosse-Erdmann and A. Peris Manguillot, Linear Chaos. Universitext. Springer, London, 2011. http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4471-2170-1
7. A. Peris, Multihypercyclic operators are hypercyclic, Math. Z. 236 (2001), 779–786.
8. J. Wengenroth, Hypercyclic operators on non-locally convex spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003), no. 6, 1759–1761.