Funciones cuadrado y cálculo funcional $H^\infty$ para operadores sectoriales.

Las funciones cuadrado asociadas a generadores de semigrupos de operadores aparecen en el libro clásico de Stein [3] sobre la teoría de Littlewood-Paley para semigrupos actuando en espacios $L^p$. Stein dió algunas aplicaciones de estas funciones cuadrado al cálculo funcional y a multiplicadores para semigrupos de difusión. Más tarde Cowling [1] obtuvo extensiones de estos resultados y los usó para estudiar operadores maximales. El trabajo de Cowling, Doust, McIntosh y Yagi [2] fue fundamental en el desarrollo de esta teoría. En él se establecen conexiones entre el cálculo funcional $H^\infty$ de McIntosh y los resultados de Stein. Supongamos que $A$ es un operador sectorial sobre $L^p(\Omega)$, con $1\le p\le\infty$, y que $F$ es una funci\ ón analítica, no id\ énticamente nula, acotada en un sector $\{z\in \mathbb{C}: |Arg(z)|\le\theta\}$ que contiene al espectro de $A$ y que tiende a cero (de una forma característica) cuando $|z|\to\infty$ y $|z|\to 0$. La funci\ ón cuadrada asociada a $A$ y a $F$ se define como sigue $$ \|x\|_F:=\Bigg\|\Bigg(\int_0^\infty |F(tA)x|^2\frac{dt}{t}\Bigg)^{1/2}\Bigg\|_p,\,\,\,x\in L^p(\Omega). $$ El siguiente resultado muestra la conexión existente entre el cálculo funcional y las funciones cuadrado. Si $A$ admite un cálculo funcional $H^\infty$, se verifica $\|x\|_{L^p(\Omega)}\simeq \|x\|_F$, para cada $x\in L^p(\omega)$. Nuestro prop\ ósito es, después de estudiar los aspectos fundamentales del cálculo funcional y la funciones cuadrado, discutir sus conexiones.

1. M. Cowling, Harmonic analysis on semigroups, Ann. Math. 117 (1983), 267-283.
2. M. Cowling, I. Doust, A. McIntosh y A. Yagi, Banach space operators with a bounded $H^\infty$ functinal calculus, J.Austr.Math. Soc. (series A) 60 (1996), 51-89.
3. E.M. Stein, Topics in harmonic analysis related to the Littlewood-Pley theory, Ann. Math. Studies, Princeton University Press, 1970.

Geometría de espacios de polinomios y desigualdades polinomiales

Comenzaremos introduciendo los conceptos y resultados más relevantes de la teoría general de polinomios en espacios normados, para lo cual se seguirá la monografía de Dineen [4]. A partir de aquí, seguiremos dos líneas de trabajo:

Primero revisaremos la geometría de algunos espacios polinomiales de dimensión finita ya estudiados en el pasado. Nos centraremos en el estudio de determinados espacios polinomiales de dimensión 3, e intentaremos visualizar la esfera unidad del espacio, en busca de sus puntos extremos. Algunos problemas concretos que podrían formar parte del taller son la caracterización de los puntos extremos de ${\mathcal P}(^2\ell_p^2)$ [6] o del espacio de trinomios reales o complejos [1,7]. Se prestará especial atención al estudio de la geometría de espacios de polinomios sobre cuerpos convexos no simétricos respecto al origen, como ${\mathcal P}(^2\Delta)$, ${\mathcal P}(^2\Box)$ o ${\mathcal P}(^2D(\alpha))$ siendo $\Delta$ el simplex, $\Box=[0,1]^2$ y $D(\alpha)$ un sector circular de amplitud $\alpha$ en ${\mathbb R}^2$ (ver, por ejemplo [5]).

En segundo lugar, haremos una introducción al estudio de algunas desigualdades polinomiales destacadas en espacios normados. En concreto revisaremos desigualdades de tipo Bernstein-Markov, de tipo Bohnenblust-Hille, constantes incondicionales y cons\-tan\-tes de po\-la\-ri\-za\-ción (ver por ejemplo [2,3]. Algunos de estos problemas pueden ser resueltos en espacios concretos usando los resultados de la primera parte del taller, en combinación con el Teorema de Steintz (versión en dimensión finita del Teorema de Krein-Milman), como en [5].

1. R. M. Aron and M. Klimek, Supremum norms for quadratic polynomials, Arch. Math. (Basel) 76 (2001), no. 1, 73–80.
2. A. Defant, J. C. Díaz, D. García, and M. Maestre, Unconditional basis and Gordon-Lewis constants for spaces of polynomials, J. Funct. Anal. 181 (2001), no. 1, 119–145.
3. A. Defant, L. Frerick, J. Ortega-Cerdà, M. Ouna\"{i}es, and K. Seip, The Bohnenblust-Hille inequality for homogeneous polynomials is hypercontractive, Ann. of Math. (2) 174 (2011), no. 1, 485–497.
4. S. Dineen, Complex analysis on infinite-dimensional spaces, Springer Monographs in Mathe- matics, Springer-Verlag London, Ltd., London, 1999.
5. J. L. Gámez-Merino, G. A. Muñoz-Fernández, V. M. Sánchez, and J. B. Seoane-Sepúlveda, Inequalities for polynomials on the unit square via the Krein-Milman theorem, J. Convex Anal. 20 (2013), no. 1, 125–142.
6. B. C. Grecu, Geometry of 2-homogeneous polynomials on $l_p$ spaces, $1\le p\le \infty$, J. Math. Anal. Appl. 273 (2002), no. 2, 262–282.
7. G. A. Muñoz-Fernández and J. B. Seoane-Sepúlveda, Geometry of Banach spaces of trinomials, J. Math. Anal. Appl. 340 (2008), no. 2, 1069–1087.

Maximal averaging operators: from geometry to boundedness through duality

The course will present the general principle that boundedness of maximal averages characterizes pointwise convergence in a variety of contexts. The main focus of the course will be on understanding maximal operators through geometry and duality. The general principle that we will try to explore is that there is an equivalence between geometric covering properties of families of sets, and boundedness of corresponding maximal operators. This equivalence is established through duality and thus reduces the problem of boundedness of maximal operators to that of understanding geometric covering lemmas. The opposite implication is also very useful, namely the fact that analytic properties of operators imply geometric and combinatorial properties of families of sets.

We will begin by exploring the simplest instances of the phenomenon described above: the case of maximal averages with respect to Euclidean balls, and cubes. Here the main tools are relatively simple covering lemmas. A next step will be to understand the family of rectangles in $2$ dimensions, where the geometry and combinatorics are slightly more involved; this is reflected in the fact that the corresponding maximal operator, namely the "strong maximal function", has weaker boundedness properties. Depending on the dynamic and response of the work in the group during the school we might (or might not) touch upon another example which has a higher level of complexity, the directional maximal operator: here the family of sets is a set of parallelograms pointing in a given set of directions in the plane.

All the examples above will illustrate the general principle and exhibit the interplay between geometry, functional analysis, and analytic properties of maximal averages.

En busca de la linealidad en matemáticas

Si $\mathbb{D}$ denota el disco unitario de $\mathbb{C}$ y $\mathbb{T}$ su frontera, un resultado básico del Análisis de Fourier muestra que los espacios $H_{\infty}(\mathbb{D})$ (de funciones holomorfas y acotadas) y $H_{\infty}(\mathbb{T})$ (de funciones en $L_{\infty}(\mathbb{T})$ cuyos coeficientes de Fourier $\hat{f}(n)$ son nulos para $n \le 0$) son isométricamente isomorfos. El objetivo del taller es probar un resultado análogo para funciones en infinitas variables y llegar a \[ H_{\infty} (B_{c_{0}}) = H_{\infty}(\mathbb{T}^{\infty}) \,, \] donde $H_{\infty} (B_{c_{0}})$ es el espacio de funciones holomorfas y acotadas en $B_{c_{0}}$ (la bola unidad abierta de $c_{0}$) y $H_{\infty}(\mathbb{T}^{\infty})$ el correspondiente espacio de Hardy de funciones definidas en $\mathbb{T}^{\infty}$ (producto numerable de $\mathbb{T}$). Partiendo del análisis del caso $1$-dimensional obtendremos el resultado análogo para funciones en $n$ variables \[ H_{\infty} (\mathbb{D}^{n}) = H_{\infty} (\mathbb{T}^{n}) \,. \] A partir de este resultado daremos el ``salto'' a funciones en infinitas variables. Los aspectos fundamentales que vamos a trabajar son los siguientes:

1. Breve introducción a los espacios de Hardy en finitas e infinitas variables.
2. Breve introducción a las funciones holomorfas en finitas e infinitas variables.
3. El núcleo de Poisson en una y varias variables.
4. Herramientas que permitan obtener resultados para funciones en $B_{c_{0}}$ y $\mathbb{T}^{\infty}$ a partir de los resultados para $\mathbb{D}^{n}$ y $\mathbb{T}^{n}$.

1. B. J. Cole and T. W. Gamelin. Representing measures and Hardy spaces for the infinite polydisk algebra. Proc. London Math. Soc. (3), 53(1):112--142, 1986.
2. A. Defant, D. García, M. Maestre, and P. Sevilla-Peris. Dirichlet Series and Holomorphic Functions in High Dimensions, to appear, New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, 2019.
3. S. Dineen. Complex analysis on infinite-dimensional spaces. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag London Ltd., London, 1999.
4. J. Duoandikoetxea. Fourier analysis, volume 29, Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. Translated and revised from the 1995 Spanish original by David Cruz-Uribe.
5. W. Rudin. Function theory in polydiscs. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.