|
|
|---|
L'objectiu d'aquesta pagina es enregistrar l'activitat del (primer quadrimestre de) curs anual geometria diferencial classica 2015/2016.
Els continguts d'aquest primer quadrimestre son
Per bibligorafia he escollit dues referencies classiques [2,6] i dues de modernes [3,7]. Les referencies [2,3,7] contenen (amb diferent notacio, organitzacio del material,i potser llevant calgun capitol) tot el material necessari. La referencia [6] per ella mateixa no serveix tota sola per preparar el curs, pero aporta un punt de vista diferent de la teoria.
Tambe hi ha excel-lents jocs d'apunts [1,4,5] de cursos anteriors, lliurement accessibles online, que poden servir per a preparar l'assignatura adequadament (de nou, amb una notacio i estructura semblant).
Per la teoria utilitzare fonamentalment el llibre de Gray [3], del qual existeix una versio en Castella [3b]. En la segona meitat del tema III, utilitzarem molt sovint el llibre de O'Neill [6], que conte explicacions molt clares del significat i calcul de les diferents versions la curvatura (normal, principal, Gaussiana i media).
Al registre de classes (veure avall) incloure la paginacio de la bibliografia utilitzada tant a [3] com la equivalent a [3b], i tambie de [6] quan siga util.
Els continguts d'aquest primer quadrimestre son
- TEORIA LOCAL DE CORBES A L'ESPAI N-DIMENSIONAL,
- SUPERFICIES A L'ESPAI 3-DIMENSIONAL, i
- GEOMETRIA LOCAL EXTRINSECA D'UNA SUPERFICIE A L'ESPAI 3-DIMENSIONAL,
Per bibligorafia he escollit dues referencies classiques [2,6] i dues de modernes [3,7]. Les referencies [2,3,7] contenen (amb diferent notacio, organitzacio del material,i potser llevant calgun capitol) tot el material necessari. La referencia [6] per ella mateixa no serveix tota sola per preparar el curs, pero aporta un punt de vista diferent de la teoria.
Tambe hi ha excel-lents jocs d'apunts [1,4,5] de cursos anteriors, lliurement accessibles online, que poden servir per a preparar l'assignatura adequadament (de nou, amb una notacio i estructura semblant).
Per la teoria utilitzare fonamentalment el llibre de Gray [3], del qual existeix una versio en Castella [3b]. En la segona meitat del tema III, utilitzarem molt sovint el llibre de O'Neill [6], que conte explicacions molt clares del significat i calcul de les diferents versions la curvatura (normal, principal, Gaussiana i media).
Al registre de classes (veure avall) incloure la paginacio de la bibliografia utilitzada tant a [3] com la equivalent a [3b], i tambie de [6] quan siga util.
| I -- TEORIA LOCAL DE CORBES A L'ESPAI N-DIMENSIONAL | |
|---|---|
| 2015/09/14 | A. Visio de conjunt del curs. Revisio d'algebra lineal: Corbes planes - corbes a l'espai - superficies - superficies abstractes - varietats diferenciables. Orientabilitat. Producte escalar. Descomposicio d'una isometria com transformacio ortogonal mes traslacio. Producte vectorial (N=3). |
| 2015/09/15 |
1. El concepte de corba. Corba parametritzada - Corba regular - Canvi de parametre - Reparametritzacio - Canvi de parametre prservant/invertint l'orientacio - Corba geometrica - Corba orientada. |
| 2015/09/16 | 2. Longitud d'una corba. Longitud d'una corba - La longitud no depend de la parametritzacio - Longitud d'arc - Corbes parametritzades per la longitud d'arc - Tota corba regular admet una reparametritzacio per la longitud d'arc. |
| 2015/09/22 | 3. Corbes planes. Curvatura amb signe. Curvatura signada d'una corba regular plana en parametritzacio arbitraria. Curvatura signada d'una corba amb velocitat unitat. Curvatura geometrica. La curvatura signada es inviariant per reparametritzacions preservant l'orientacio. Interpretacio del signe de la curvatura signada. Equacions de Frenet al pla per corbes de velocitat unitat. Revisio del concepte de curvatura. Caracteritzacio de la recta i de la circumferencia |
| 2015/09/28 |
4. Interpretacio geometrica de la curvatura Angle de rotacio ([3], pp.4-5). Curvatura com a derivada de l'angle de rotacio ([3], p.20). Equacions de Frenet al pla per corbes en parametritzacio arbitraria. |
| 2015/09/30 (P1/O2) 2015/10/02 (P2) |
5. Corbes a l'espai. Curvatura i torsio ([3], pp. 195-198) Curvatura k d'una corba parametritzada per la longitud d'arc a l'espai. La corba a l'espai es una recta sii k=0. El concepte de curvatura a l'espai es reduix a la curvatura geometrica per a corbes planes. Camps vectorials ([3], p.8). Referencia de Frenet {T,N,B} a l'espai (camp vectorial tangent, normal i binormal). Propietats d'ortonormalitat. Equacions de Frenet a l'espai. Definicio de torsio. |
| 2015/10/05 | 6. Interpretacio geometrica de la torsio ([3], 199-202) La corba es plana sii la torsio s'anula. Exemple: L'helix. |
| 2015/10/06 |
7. Equacions de Frenet a l'espai en parametritzacio arbitraria. ([3], 203-206) Equacions de Frenet a l'espai en parametritzacio arbitraria. Receptes pel calcul de curvatura i torsio en parametritzacio arbitraria. Exemple: La cubica retorcada. |
| 2015/10/07 |
8. Teorema Fonamental de les corbes a l'espai (Unicitat) ([3], 230-232 / [3b], 171-174) La curvatura es invariant per isometries. La torsio es invariant per isometries que preserven l'orientacio. (Unicitat) Dues corbes amb la mateixa curvatura i la torsio son identiques excepte per una isometria que preserva l'orientacio. |
| 2015/10/13 | 9. Teorema Fonamental de les corbes a l'espai (Existencia) ([3], 233 / [3b] 175) |
| 2015/10/14(P1/O1) |
Practica 2: Cubica de Tschirnhausen.Corbes en cordenades polars.Clotoides Seminari 2: Helix de Lancret. |
| 2015/10/16(P2) |
Practica 2: Cubica de Tschirnhausen.Corbes en cordenades polars.Clotoides |
| II -- SUPERFICIES A L'ESPAI 3-DIMENSIONAL | |
| 2015/10/19 |
B. Revisio de calcul vectorial, I ([3], 264-272; [3b], 192-199) Vector tangent. Espai tangent. Vectors tangents com a derivades direccionals: Receptes pel calcul. Aplicacio diferenciable. Difeomorfisme. Aplicacio tangent/Differencial d'una aplicacio: Receptes pel calcul. Jacobiana. La aplicacio tangent es injectiva sii el rang de la Jacobiana es la dimensio del espai origen. |
| 2015/10/20 |
10. Superficies parametritzades (Seleccio de [3], 288-292 / [3b], 213-218) Superficie parametritzada. Exemple de l'esfera com superficie parametritzada. Vectors de derivades parcials d'una superficie parametritzada: receptes pel calcul. Jacobiana d'una superficie parametritzada. Les derivades parcials son l.d. sii el rang de la Jacobiana es <2. Superficie parametritzada regular. Superficie parametritzada injectiva. Punt regular. Una superficie parametritzada es regular a un punt sii la aplicacio tangent es injectiva. Una superficie parametritzada regular es restriccio d'un difeomorfisme entre oberts de R^N. |
| 2015/10/21(P1/O2) |
Practica 3: Corbes esferiques: Corba de Viviani. Propietats de corbes esferiques. Seminari 1: Catenaria. Tractiu. Espiral logaritmica. |
| 2015/10/23(P2) |
Practica 3: Corbes esferiques: Corba de Viviani. Propietats de corbes esferiques. |
| 2015/10/26 |
11. Espai tangent i normal a una superficie parametritzada. ([3], pp.293-296, [3b] 219-224) Corbes coordenades. Vector tangent a una superficie parametritzada. L'espai tangent a una superficie parametritzada esta generat per les derivades parcials. Vector normal. Complement ortogonal a l'espai tangent. Una corba parametritzada dins de R^3 es regular si el producte vectorial de les derivades parcials no s'anula. Parametritzacio de Monge. Camp vectorial normal unitari. Aplicacio de Gauss local. |
| 2015/10/27 |
12. Superficies regulars I (Seleccio de [3], 297-299 / [3b], 225-227) Definicio de superficie regular. Les imatges de sup.regulars per difeomorfismes son sup. regulars. Oberts de sup. regulars son sup. regulars. |
| 2015/10/28(P1) |
Practica 3: Mes corbes esferiques. |
| 2015/10/30(P2) |
Practica 3: Mes corbes esferiques. |
| 2015/11/02 |
13. Superficies regulars II (Seleccio de [3], 299-302 / [3b], 227-228) Relacio entre sup. parametritzada regular i superficie regular: En una sup. parametritzada regular, cada punt te un entorn que es superficie regular. Parametritzacio d'una superficie regular. L'esfera com a superfice regular no admet una parametritzacio global. |
| 2015/11/03 |
14. Aplicacions diferenciables en superficies regulars. ([3], 299-301, [3b] 228-230) Si f es aplicacio diferenciable en superficie regular, (x^{-1} o f) es diferenciable. Cas en que f=y siga parametritzacio local. Els canvis de variable (x^{-1}o y) son difeomorfismes. Derivades parcials i canvi de variable. Definicio de funcion diferenciable en una superficie regular. Restriccions a M de funcions diferenciables son diferenciables. Corba diferenciable amb traza en superficie regular. |
| 2015/11/04(P1/O2) |
Practica 4: Superficies de revolucio i superficies reglades. Seminari 2: Helix de Lancret. |
| 2015/11/06(P2) |
Practica 4: Superficies de revolucio i superficies reglades. |
| 2015/11/09 |
15. Espai tangent a una superficie regular Espai tangent a la superficie regular M en un punt p. L'espai tangent a M en p es la imatge per la aplicacio tangent x_* de la parametritzacio local x de l'espai tangent a R^2 en x^{-1}(p). Espai normal a M en p. Aplicacio diferenciable entre superficies regulars. Aplicacio tangent d'una aplicacio diferenciable entre superficies regulars. El resultat de la aplicacio tangent sobre un vector no depen de la corba utilitzada per descriure el vector tangent. La aplicacio tangent es lineal ([5], pp. 83-84). |
| 2015/11/10 |
16. Superficies de nivell en R^3 Superficies de nivell M(c) en R^3 d'una funcio f corresponent a c. La superficie de nivell M(c) es regular si el gradient grad f no s'anula en cap punt. grad f es perpendicular a M(c). |
| 2015/11/11(P1/O1) | Practica 5: Pla tangent. Vector normal. Seminari 3: Superficies parametritzades regulars. |
| 2015/11/13(P2) | Practica 5: Pla tangent. Vector normal. |
| 2015/11/18(P1/O2) | Practica 6: Aplicacions diferenciables entre superficies. Seminari 3: Superficies parametritzades regulars. |
| 2015/11/20(P2) | Practica 6: Aplicacions diferenciables entre superficies. |
| 2015/11/23 |
17. Metrica Riemanniana I (Primera forma fonamental) ([3] 361-365; [3b] 283-286) Metrica Riemanniana. Coefients E,F,G, de la primera forma fonamental. Calcul de la longitud d'arc d'una corba en funcion de E,F,G. Significat de dudu, dudv i dvdv. Canvi en el coeficients de la primera forma fonamental per un canvi de parametritzacio local. |
| 2015/11/24 |
18. Metrica Riemanniana II (Primera forma fonamental) ([3], 372-374; [3b], 291-293) Angle entre dues corbes en termes de E,F,G. Element d'area en termes de E,F,G. L'area es invariant per reparametritzacions. |
| 2015/11/25(P1) | Practica 7 L'enigma florenti. |
| III -- GEOMETRIA LOCAL EXTRINSECA D'UNA SUPERFICIE A L'ESPAI 3-DIMENSIONAL | |
| 2015/11/26 (13-14:30) |
C. Revisio de calcul vectorial, II ([3] 275-277, 280-281; [3b] 200-201, 204-206, 210-211) Camps vectorial. Derivada d'un camp vectorial respecte un vector tangent. Tecniques de calcul. Relacio amb l'accio d'un vector tangent com derivada direccional. Propietats de linealitat y de derivacio (Leibnitz). Derivada d'un camp vectorial respecte un altre camp vectorial. Derivada d'un camp vectorial en la direccio d'una corba. |
| 2015/11/27(P2) | Practica 7 L'enigma Florenti. |
| 2015/11/30 |
19. Operador de forma ([3] 386-388 /[3b] 300-302) i ([6], 219-225) Operador de forma S com (menys) la derivada direccional (covariant) d'un camp vectorial normal unitari. L'operador de forma es lineal i S:TM->TM. Relacio entre operador de forma, i vectors velocitat i acceleracio d'una corba. Mapa de Gauss M--> S^2(1). Relacio entre l'operador de forma i el mapa de Gauss. Exemples: L'esfera, el pla, el torus, el paraboloide. |
| 2015/12/01 |
21. Curvatura normal ([3], pp. 389-390; [3b] pp. 303-304) i ([6] pp.226-227) Definicio de direccio en una superficie (subespai 1-dimensional del tangent). Definicio de curvatura normal en una direccio de la superficie. La curvatura normal no depen del vector tangent on s'evalua, sino de la direccio generada pel vector. Direccio asimptotica. Vector asimptotic. Corba asimptotica. Curvatures principals. Vectors principals. Direccions princpals. Corbes principals. |
| 2015/12/02(P1) | Practica 8 & 9 Aplicacio de Gauss. Operador de Weingarten. Curvatura normal. Segona forma fonamental. |
| 2015/12/03 (13-14:30) |
20. Interpretacio geometrica de la curvatura normal. ([6], 228-230) i ([3], 390-391 / [3b], 304-306) Curvatura normal de una superficie M en la direccion dada por una curva a, en relacion a la curvatura de la curva en el espacio. Teorema de Meusnier. El factor de proporcionalidad es el coseno del angulo entre el campo vectorial U normal a la superficie y la normal (de Frenet) N de la curva. Definicion de seccion normal. La curvatura normal de M y la curvatura de a coinciden (en valor absoluto) si la curva es seccion normal. Interpretacion del signo relativo entre curvatura normal y curvatura, en funcion del signo de U. |
| 2015/12/04(P2) | Practica 8 & 9 Aplicacio de Gauss. Operador de Weingarten. Curvatura normal. Segona forma fonamental. |
| 2015/12/09 |
21. Autovalors de l'operador de forma: Curvatures principals.([6], 231-233), alternativament ([3],396-397 / [3b], 311-312) L'operador de forma d'una sup. regular es simetric. Si les curvatures principals son diferents k1=/=k2, hi ha exactament dues direccions principals, son ortogonals i a mes a mes, son les direccions definides pels autovectors de l'operador de forma.Les curvatures principals son els autovalors de l'operador de forma. Formula d'Eulero. Punts umbilics. L'operador de forma en un punt umbilic es un multiple de l'identitat. |
| 2015/12/09(O2) | Seminari 4 & 5 Mes superficies parametritzades regulars & Aplicacio de Weingarten. Segona forma fonamental. |
| 2015/12/11 |
22. Determinante i traza del operador de forma: Curvatura Gaussiana i curvatura media. ([6], pp. 234-237) Curvatura Gaussiana K=det(S). Curvatura media H=tr(S)/2. Expresio de les curvatures gaussiana i media en funcio de les curvatures principals. Observacio: La curvatura gaussiana no canvia el signe al invertir l'orientacio de la superficie. Interpretacio del signe de la curvatura gaussiana: punts elliptics K(p)>0(esfera), hiperbolics K(p)<0 (hiperboloide),parabolics K(p)=0,H(p)=/=0(cilindre) i plans K(p)=H(p)=0 (pla). Superficies umbiliques, minimals H=0 i planesK=0. Comentaris: (1) Tots els punts del cilindre son parabolics, pero la superficie es plana. (2) En una superficie minimal la curvatura gaussiana es no positiva. (3) Esfera com a superficies de curvatura gaussiana constant. Calcul de K,H, usant productes vectorials. Expresio de les curvatures principals en termes de K,H. |
| 2015/12/14 |
23. Tecniques per al calcul de les curvatures ([6], pp. 237-245) Segona forma fonamental II(u,v)=(S(u),v). Coeficients l,m,n de la segona forma fonamental (en la base de les derivades parcials de la parametritzacio local). L'operador de forma actuant en els vectors tangents de les corbes cordenades es menys la derivada parcial del camp vectorial unitari. Demostracio (postergada) de la simetria de l'operador de forma. Coeficients l,m,n en termes de les derivades segones de la parametritzacio local i del camp vectorial normal unitari. Expresio de les curvatures gaussiana i media en funcio dels coefcients de E,F,G,l,m,n de les formes fonamentals primera i segona. Exemple: L'Helicoide. Equacions de Weingarten (operador de forma en termes de l,m,n,E,F,G.) |
| 2015/12/15 |
24. Corbes especials en una superficie ([6], 257-261) Corbes principals. Criteri per determinar si una corba a es principal: U' i a' son colineals. Curvatura al llarg d'una corba principal. La corba en que un pla talla a una superficie es principal si l'angle de tall es constant damunt de la corba. Existencia i numero de direccions assimptotiques: cap en punts elliptics, 2 en punts hiperbolics (i angle que formen amb les direccions principals). Totes les direccions en punts plans, i una direccio en els punts parabolics (que a mes a mes es direccio principal). Criteri per determinar si una corba es assimptotica: < U,a'' >=0 . Corba geodesica: U i a'' son collineals. |
| 2015/11/13(P1/O1) | Exemples La cadira del mico. L'esfera. El torus. Superficies de revolucio. L'hiperboloide d'una fulla. La catenaria. Seminari 4 & 5 Mes superficies parametritzades regulars & Aplicacio de Weingarten. Segona forma fonamental. |
| 2015/12/18(P2) | Exemples La cadira del mico. L'esfera. El torus. Superficies de revolucio. L'hiperboloide d'una fulla. La catenaria. |
| 2016/01/20 | PRIMER EXAMEN PARCIAL |
| 2016/06/06 | PRIMER PARCIAL - PRIMERA CONVOCATORIA |