1.El número de clientes que entra en nuestra tienda es por termino medio de 5 a la hora. Calcular la probabilidad con la que el primer cliente entrará en los primeros 12 minutos (0,2 horas) después de haber abierto Supondremos homogeneidad del tiempo respecto a la entrada de clientes durante el periodo de observación. Obviamente en un instante sólo puede entrar uno ( o ninguno). Esto supone una proceso poissoniano en el que tiempo para un hecho sigue una exponencial solució sin r : https://www.uv.es/ceaces/proble/modelos/4/8.htm

pexp(0.2,rate=5)
## [1] 0.6321206
curve(dexp(x,5),from=0, to=1.5)
lines(c(0,0),c(0,dexp(0,5)))
lines(c(0.2,0.2),c(0,dexp(0.2,5)))

 E

2,.El coeficiente intelectual de los humanos se distribuye normalmente con media 100 y desviación típica 15 .En España con 40 millones de habitantes a) ¿Cuántos normales habrá, si se denomina normal a la persona con coeficiente entre 95 y 105 ? b) ¿Cuántas personas habrá de inteligencia superior si ésta es aquella cuyo coeficiente es superior a 130 ? c) Si denominamos “idiota” a aquella persona cuyo coeficiente está comprendido entre 70 y 40 ¿Cuántos idiotas habrá en España ? d) Manteniendo la situación anterior ¿ Cuántos idiotas habrá en grupo de 60 universitarios ? Discute y comenta dicho número. solución sin r : https://www.uv.es/ceaces/tex2P/1p%20normal/1/1.htm

rm(list = ls())#borramos todos los objetos en memoria (ambiente)

### a
#CI->N(100,sigma=15)
#Prob(normal)=P(90<CI<105)
probIntelNOrmal <- pnorm(105,100,15)-pnorm(95,100,15)
probIntelNOrmal
## [1] 0.2611173
personasnormales=probIntelNOrmal*40000000
personasnormales
## [1] 10444693
### b
probIntelSuperior<-pnorm(130,100,15,lower.tail = FALSE)
# = ( 1- pnorm(130,100,15) )
IntelSuperior=probIntelSuperior*40000000
IntelSuperior
## [1] 910005.3
###c
probIdiota<-pnorm(70,100,15)-pnorm(40,100,15)
idiotas=probIdiota*40000000
idiotas
## [1] 908738.4
###d
idiouniversitarios =probIdiota*60
#pero no es razonable ya que la distribuciones de CI entre los universitarios no
#será CI->N(100,sigma=15)

3.-Si de una ratio comercial conocemos que P(R>95)=0,8413 y P(R<90)=0,0228. Calcular su media y su desviación . Supuesta normalidad .

Solución sin r: https://www.uv.es/ceaces/tex2P/1p%20normal/1/4.htm

rm(list = ls())#borramos todos los objetos en memoria (ambiente)

#el valor tipificado de 95 debe cumplir:
z1<-qnorm(0.8413,0,1,lower.tail = FALSE)
#el valor tipificado de 90 debe cumplir:
z2<-qnorm(0.0228)
#z1=(95-mu)/sigma-----> sigma*z1 + mu =95
#z2=(90-mu)/sigma-----> sigma*z2 + mu =90 
 print("obtenemos que mu =100 y sigma =5, aprox.")
## [1] "obtenemos que mu =100 y sigma =5, aprox."

4.-El peso máximo que un ascensor puede elevar es de 250 kg. Si conocemos que el peso humano se distribuye según una normal de media 70 y desviación 20 . Calcular la probabilidad de que el ascensor no aguante si suben en él tres personas. solución sin r: https://www.uv.es/ceaces/tex2P/1p%20normal/1/8.htm

rm(list = ls())#borramos todos los objetos en memoria (ambiente)
# pesototal=P1+P2+P3 
# Pi--> N(mu=70, sigma=20)
# prob.fallo= Prob(pesototal>250)
mu= 70+70+70 # media peso total
sigma2 = 20^2+20^2+20^2
sigma=sqrt(sigma2)
#pesototal--> Normal(mu,sigma)
prob.no.aguanta<-pnorm(250,mu,sigma,lower.tail = FALSE)
prob.no.aguanta
## [1] 0.1241065
curve(dnorm(x,mu,sigma),from=mu-3*sigma, to=mu+3*sigma)
lines(c(250,250),c(0,dnorm(250,mu,sigma)))

5.-Una cartera de valores está compuesta por tres acciones de la sociedad A , cuyos dividendos se distribuyen como una normal (mucho suponer) con media 1000 um y desviación típica 25 . Calcular la probabilidad con la que obtendremos más de 3100 um de dividendos por dicha cartera . solución sin r https://www.uv.es/ceaces/tex2P/1p%20normal/1/9.htm

rm(list = ls())#borramos todos los objetos en memoria (ambiente)
# dividendo por accion: Div --> N(mu=1000,sigma=25)
# renta de la cartera: rent= 3*Div : rent-->N(mu=3*1000; sigma=3*25):: N(3000,75)
prob.renta.supere.3100 =pnorm(3100,3000,75,lower.tail = FALSE)
prob.renta.supere.3100
## [1] 0.09121122
curve(dnorm(x,3000,75),from=2700, to=3300)
lines(c(3100,3100),c(0,dnorm(3100,3000,75)))

6.-En una fábrica el número de piezas defectuosas que fabrica cierta máquina sigue una distribución de Poisson de media 3 diarias . Determinar la probabilidad que en 200 días el número de defectuosas esté comprendido entre 600 y 690 .

solución sin r : https://www.uv.es/ceaces/proble/teceele/1/1.htm

rm(list = ls())#borramos todos los objetos en memoria (ambiente)
#defectos.dia --> Poisson(lambda=3)
#por el Teorema de Adición (poisson):
#defectos.en.200.dias-->Poisson(3+3+3...+3):: Poisson(lambda=600)

# estrictamente la probabilidad pedida será:
solucion1<-ppois(690,lambda = 600)-ppois(600,lambda = 600)
# aplicando la convergencia Poisson-normal (aprox.normal) sin corrección por continuidad
solucion2<-pnorm(690,600,sqrt(600))-pnorm(600,600,sqrt(600))
#con corrección por continuidad
solucion3<-pnorm(690.5,600,sqrt(600))-pnorm(599.5,600,sqrt(600))
solucion1
## [1] 0.4889936
solucion2
## [1] 0.4998807
solucion3
## [1] 0.5080327

7.-La probabilidad de fabricar una pieza defectuosa y rechazable por el cliente es 0,005 . Un lote de 500 piezas es aceptable cuando ninguna pieza es defectuosa . En estas condiciones , si proveemos un pedido de 200 lotes , calcular la probabilidad de que , al menos , el 10% de éstos sean aceptados

solución sin r : https://www.uv.es/ceaces/proble/teceele/1/2.htm

rm(list = ls())#borramos todos los objetos en memoria (ambiente)
# x=númerode defectos(rechazables)en un lote de 500:
# x--> Binomial(500, 0.005) 
# aproximable por Poisson y por normal 
# lambda de aproximacion sería 2,5 


# p=prob de aceptar un lote P(x=0| x->B(500,0.005))
p<-dbinom(0,500,0.005)
p
## [1] 0.08157186
p.aprox.Pois<-dpois(0,2.5)
p.aprox.Pois
## [1] 0.082085
###############
#en un pedido de 200 el numero de lotes aceptados sería:
# y=lotes aceptados en 200 -->N(200,p)
# sin aproximar: 
sol1<-pbinom(19,200,p,lower.tail = FALSE)# 19 para incluir el 20 en la "cola"
#aproximando por MOIVRE:
sol2<-pnorm(19.5,200*p,sqrt(200*p*(1-p)),lower.tail=FALSE )
sol1#exacto
## [1] 0.2017572
sol2#aprox. Moivre
## [1] 0.2052608

8.-Las ventas diarias de una empresa siguen una distribución uniforme entre 10000 y 100.000 pts. Suponiendo independientes las ventas de los distintos días del año. ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen de ventas anual supere la cifra de 18 millones de pesetas si en la empresa se trabaja 300 días al año. ? solución sin r : https://www.uv.es/ceaces/proble/teceele/1/3.htm

rm(list = ls())#borramos todos los objetos en memoria (ambiente)
#venstas.diarias-->Unif(10000,100000)
a=10000;b=100000
ventamediadiaria=(b+a)/2
varianzaventadiaria=((b-a)^2)/12

#ventas en un año V= v1+v2+v3+...+v300
#por TCL V -> Normal(MEDIA,DES) 
MEDIA= 300*ventamediadiaria #con MEDIA=Suma medias
DES=sqrt(300*varianzaventadiaria ) # CON VARIANZA =SUMA DE VARIANZA)

SOL<-pnorm(18000000,MEDIA,DES,lower.tail = FALSE)
SOL #prácticamente cero
## [1] 0.0004290603

9.-Se conoce que los errores de impresión de un libro siguen una ley de Poisson de intensidad media 0,8 errores por página. Calcular la probabilidad de que a)En una página haya algún error b)En un capítulo de diez páginas haya más de 10 errores c)En las 500 páginas de un libro haya menos de 350 errores
solución sin r https://www.uv.es/ceaces/proble/teceele/1/10.htm

rm(list = ls())#borramos todos los objetos en memoria (ambiente)
#errores.una.pagina-->Poisson(0.8)
prob.algun.error.una.pagina<-1-dpois(0,0.8)
prob.algun.error.una.pagina
## [1] 0.550671
#errores.capitulo=e1+e2+..+e10 cada ei--> Poisson(0.8), todos indepep.
# por Teorema de adicion errores.capitulo-->Poisson(lambda=0.8+0.8+...0.8=8)
prob.mas.de.10.errores.en.capitulo<-ppois(10,8,lower.tail = FALSE)
prob.mas.de.10.errores.en.capitulo
## [1] 0.1841142
#errores en 500 pag-->poisson(lambda=500*0.8)
#puede aproximarse por normal(lambda,Raiz(lambda))
lambda=500*0.8
prob.menos.de.350.errores.en.libro<-pnorm(349.5,lambda,sqrt(lambda))