4.2 Método de las  4. Cálculo de raíces  4. Cálculo de raíces

   
4.1 Método de la bisección

Es el método más elemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Está basado directamente en el teorema de Bolzano explicado con anterioridad. Consiste en partir de un intervalo [x₀,x₁]tal que f(x₀)f(x₁) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear.
 
    

Figure: Diagrama de flujo correspondiente a la implementación del método de la bisección.

[scale=0.9]eps/bisecc

  

El algoritmo empleado se esquematiza en la figura (3). Inicialmente, es necesario suministrar al programa el número máximo de iteraciones MaxIter, la tolerancia $\delta$, que representa las cifras significativas con las que queremos obtener la solución y dos valores de la variable independiente, x₀ y x₁, tales que cumplan la relación f(x₀)f(x₁) < 0. Una vez que se comprueba que el intervalo de partida es adecuado, lo dividimos en dos subintervalos tales que $[x_{0}, \frac{x_{0} + x_{1}}{2}]$ y $[\frac{x_{0} + x_{1}}{2}, x_{1}]$ y determinamos en qué subintervalo se encuentra la raíz (comprobando de nuevo el producto de las funciones). Repetimos el proceso hasta alcanzar la convergencia (hasta que $\Delta \leq \delta$) o bien hasta que se excede el número de iteraciones permitidas (Iter > MaxIter), en cuyo caso es necesario imprimir un mensaje de error indicando que el método no converge.

Dos operaciones representadas en el esquema de la figura (3) requieren una explicación adicional:

• El punto medio del intervalo se calcula como $x_{m} = x_{0} +\frac{(x_{1}-x_{0})}{2}$ en lugar de emplear $x_{m} =\frac{x_{0}+x_{1}}{2}$. Se sigue de este modo una estrategia general al efectuar cálculos numéricos que indica que es mejor calcular una cantidad añadiendo un pequeño término de corrección a una aproximación obtenida previamente. Por ejemplo, en un computador de precisión limitada, existen valores de x₀ y x₁ para los cuales x_m calculado mediante $\frac{x_{0}+x_{1}}{2}$ se sale del intervalo [x₀,x₁].
• La convergencia ($\Delta$) se calcula mediante la expresión $\Delta = \mathrm{ABS}((x_{1}-x_{0})/x_{1})$. De este modo, el término $\Delta$, representa el número de cifras significativas con las que obtenemos el resultado.

1998-05-11