6.1.4 Método de Gauss-Jordan

Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (a_ij=0 para cualquier $i \neq j$).

Veamos el método de Gauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el apartado anterior. Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la siguiente ecuación:

$$\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 2 ... ...ray}{r} 12 \\ 10 \\ -9 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}$$

Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a₄₄=-3; multiplicamos la cuarta ecuación por $\frac{-3}{4}$ y la restamos a la primera:

$$\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 2 ... ...rray}{r} 8 \\ 10 \\ -9 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}$$

Realizamos la misma operación con la segunda y tercera fila, obteniendo:

$$\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 2 ... ...array}{r} 8 \\ 8 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}$$

Ahora tomamos como pivote el elemento a₃₃=2, multiplicamos la tercera ecuación por $\frac{2}{2}=1$ y la restamos a la primera:

$$\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 0 ... ...rray}{r} 12 \\ 8 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}$$

Repetimos la operación con la segunda fila:

$$\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 0 ... ...ray}{r} 12 \\ 12 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}$$

Finalmente, tomamos como pivote a₂₂=-4, multiplicamos la segunda ecuación por $\frac{-2}{-4}$ y la sumamos a la primera:

$$\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & 0 & 0 &... ...rray}{r} 6 \\ 12 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}$$

El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver. Empleando la ecuación (46) obtenemos las soluciones:

$$x = \left( \begin{array}{r} 1 \\ -3 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$$