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6.1.3 Eliminación gaussiana básica
Ilustraremos el método de Gauss aplicando el procedimiento a un
sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:
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(58) |
En el primer paso, multiplicamos la primera ecuación por
y la restamos a la segunda, después multiplicamos la
primera ecuación por
y la restamos a la
tercera y finalmente multiplicamos la primera ecuación por
y la restamos a la cuarta. Los números 2,
y -1 son los multiplicadores del primer paso
del proceso de eliminación. El número 6 es el elemento
pivote de este primer paso y la primera fila, que no sufre
modificación alguna, se denomina fila pivote. El sistema en
estos momentos tiene el siguiente aspecto:
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(59) |
En el siguiente paso del proceso, la segunda fila se emplea como
fila pivote y -4 como elemento pivote. Aplicamos
del nuevo el proceso: multiplicamos la segunda fila por
y la restamos de la tercera y después multiplicamos
la segunda fila por
y la restamos a la
cuarta. Los multiplicadores son en esta ocasión 3 y
y
el sistema de ecuaciones se reduce a:
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(60) |
El último paso consiste en multiplicar la tercera ecuación por
y restarla a la cuarta. El sistema resultante resulta
ser:
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(61) |
El sistema resultante es triangular superior y equivalente al sistema
original (las soluciones de ambos sistemas coinciden). Sin embargo,
este sistema es fácilmente resoluble aplicando el algoritmo de
sustitución regresiva explicado en el
apartado 6.1.1. La solución del sistema de ecuaciones
resulta ser:
Si colocamos los multiplicadores utilizados al transformar el sistema
en una matriz triangular inferior unitaria (L) ocupando cada uno de
ellos la posición del cero que contribuyó a producir, obtenemos la
siguiente matriz:
Por otra parte, la matriz triangular superior (U) formada por los
coeficientes resultantes tras aplicar el algoritmo de Gauss
(ecuación 61), es:
Estas dos matrices nos dan la factorización LU de la matriz inicial
de coeficientes, A, expresada por la ecuación (58):
Figure:
Implementación del algoritmo de eliminación gaussiana.
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En la figura (12) se muestra un algoritmo en pseudocódigo
para llevar a la práctica el proceso básico de eliminación gaussiana
que acabamos de describir. En este algoritmo se supone que todos los
elementos pivote son distintos de cero.
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Wladimiro Diaz Villanueva
1998-05-11