DISTRIBUCIÓN NORMAL MULTIVARIANTE (DERIVADAS
DE LA NORMAL )
DISTRIBUCIÓN NORMAL MULTIVARIANTE (DERIVADAS
DE LA NORMAL )
INTRODUCCIÓN
PROPIEDADES
LINEALIDAD
DISTRIBUCIONES DERIVADAS DE LA NORMAL
c
2
DE PEARSON
t
DE STUDENT
F
DE SNEDECOR
DISTRIBUCIÓN NORMAL MULTIVARIANTE
Un vector aleatorio X= ,sigue una distribución normal k-variante o k-dimensional
de vector de medias ,M =
y de matriz de varianzas,V=
;
lo que se expresa como: X~ Nk(M;V) si su función de densidad conjunta obedece a la expresión:
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL MULTIVARIANTE:
1.-Si un vector aleatorio sigue una distribución normal multivariante, puede demostrarse que todas las distribuciones marginales son normales, de forma que cada xi ~ N(m i ; si). Igualmente el resultado recíproco se cumple también: dadas k variables aleatorias normales, su distribución conjunta es una normal k-dimensional.
2.- Puede demostrarse que las distribuciones condicionadas de cualquier dimensión son también normales y que, en particular, las de dimensión uno son normales unidimensionales que tienen por media el valor esperado por la regresión lineal, y por varianza la varianza residual, de esa regresión.
3.- Un caso importante de distribución normal k-dimensional es aquél, en el que todas las variables son independientes.En este caso todas las covarianzas serán nulas y la matriz de varianzas será diagonal:
V=
4.- Un resultado aún más importante es que en el caso de que tengamos un conjunto de variables normales la incorrelación implica independencia estocástica, cosa, que recordemos que, en general, no es cierta, pero sí en el caso de normalidad de las variables.
TRANSFORMACIONES LINEALES DE NORMALES MULTIVARIANTES:
Dado un vector aleatorio X tal que, X ® Nn[M,V]
y dada la matriz de transformación: A =
el nuevo vector aleatorio k-dimensional Y = A X será tal que : Y ® Nk[AM , AVA']
DISTRIBUCIONES DERIVADAS DE LA DISTRIBUCIÓN. NORMAL:
DISTRIBUCIÓN 
de
PEARSON
Esta distribución , junto con la t de Student y la F de Snedercor (además de la normal) son de fundamental importancia para el desarrolo de la inferencia estadística . Como las otras dos , es la distribución de una cierta característica de los datos obtenidos aleatoriamente a partir de una distribución normal . En consecuencia puede hacerse derivar de un proceso experimental de seleción aleatoria, aunque tambien puede ponerse en relación con las distribuciones Eulerianas.
Se define la con n grados de libertad , como la distribución que sigue la variable
suma de los cuadrados de n variables
normales
(tipificadas) [0;1] independientes.
Así , dadas n
variables
aleatorias independientes 
tales que :
las variables 
seguirá una 
con n grados de libertad.
Dado que la 
es la suma de n normales tipificadas al cuadrado podemos afirmar , por
el motivo de ser precisamente cuadrados ,que el campo de actuación-variación de la
variable así distribuída será siempre positivo .La forma de la función de densidad y
distribución variarán según los grados de libertad , siendo su forma habitual la
campaniforme, así
El cálculo de las diversas probabilidades para los diferentes valores de la variable X , se explicita normalmente en tablas desarrolladas para los diversos valores de grados de libertad ; nosotros planteamos un script (programa) para su cálculo directo . (Ir a script de la chi2)
Como hemos dicho ,la representacíón grafíca
de la distribución ( su forma) varía según los valores que tome su parámetro n
(grados de libertad); así y como puede observarse en el gráfico animado , para grados de
libertad bajos ( sobre todo para un g.l.) el conjunto de la probabilidad queda muy
próxima al valor cero de la variable ; de esta característica surge , para algunos tipos
de contrastes que utilizan la Chi2 , la
corrección
de Yates
La función de densidad de la vendrá dada por :
:
siendo 
una
distribución gamma de
Euler de parémetro 
y
siendo n ( número de grados de libertad) el único párametro de la
distribución
La función generatriz de momentos vendrá dada por
partiendo de
ella podemos establecer por aplicación del teorema de los momentos que la media vendrá
dada por 
siendo la
varianza 
La distribución JHI-2 (chi 2) cumple el teorema de adición para su parámetro n (grados de libertad) , así la suma de dos chi2 con n y m grados de libertad respectivamente , no será otra cosa que una chi2 con (n+m) grados de libertad . Es lógico pensar que si una chi2 con n grados de libertad es la suma de n normales tipificadas(independientes) al cuadrado ; y que una chi2 con m grados de libertad es la suma de m normales tipificadas(independientes) al cuadrado , la suma de ambas será , obviamente, la suma de (m+n) normales tipificadas (independientes) al cuadrado : es decir, una chi2 con (n+m) grados de libertad.
DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT
ir a distribuciones derivadas de la normal
La distribución t de student (desarrollada por Gosset ) es , con la chi2 , la F de Snedecor, y , por supuesto, la normal , transcendental para aplicaciones inferenciales , en especial para aquellas en las que se desconoce la varianza ; dado que no depende de las varianzas de las variables que la integran.
Su expresión formal parte de dos variables X e Y tales que :
e 
de manera que
siendo t una nueva distribución conocida como t de
student con n grados de libertad.
La distribución t de student . admite , tambien , una definición alternativa , tomada como la distribución marginal de la primera variable de una distribución "normal-gamma" ; en este sentido la expresión de su función de densidad vendría dada por :
siendo n los
grados de libertad que actuan de parámetro y
la función gamma de Euler
La distribución t de student con n grados de libertad tiene siempre
como media el valor "0" , sea cuales fueren los grados de libertad ; es
simétrica ,asitóticamente tiende a
,de forma campaniforme , al igual que la
distribución normal, teniendo como varianza el valor 
Los valores de la función de probabilidad para los diversos 
están tabulados atendiando
al único parámetro de la distribución , es decir , el número de grados de libertad ;
evidentemente , es más recomendable para su cálculo la utilización del programa que presentamos.
En otro orden de cosas la distribucción t de student con n grados de libertad congerge en ley a una normal tipificada (estandarizada ) cuando el número de grados de libertad tiende a infinito
3) DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR.
Diremos que una variable aleatoria F tiene una distribución F de Snedecor con m grados de libertad en el numerador y n grados de libertad en el denominador
( F ® Fm,n ) cuando la variable aleatoria F sea:
donde U y V son dos variables aleatorias independientes que tienen por distribución: U ®c 2m y W ® c 2n respectivamente
La determinación de probabilidades y valores críticos resulta sencilla mediante la Tabla de la F de Snedecor