|
|
|---|
El objetivo de esta pagina es registrar la actividad del curso de Master Fundamentos de Matematica Avanzada, en lo relativo al bloque dedicado a Superficies de Riemann 2018-2019.
El objetivo de esta parte del curso es el estudio introductorio de las superficies de Riemann compactas consideradas desde el punto de vista diferenciable.
Historicamente la teoria de las superficies de Riemann representa la culminacion de gran parte del calculo, y tiene profundas conexiones con la geometria y la aritmetica. Por esta razon, ocupa un puesto muy especial en la Matematica.
Ademas, es una parte extremadamente util de la Matematica y conocimiento necesario para especialistas en muchas otras areas incluyendo Topologia Diferencial, Analisis Global, Geometria Algebraica, Geometria Riemanniana e incluso Fisica Matematica.
El desarrollo de la geometria compleja en varias dimensiones en el siglo XX ha introducido una cantidad importante de tecnicas con aplicacion en areas muy dispares. Estas potentes tecnicas pueden estudiarse en un contexto sencillo al restringirse a las superficies de Riemann (es decir, en dimension compleja 1). Asi, aparte de introducir al estudiante a las superficies de Riemann por su interes intrinseco es nuestra intencion presentar algunas de estas tecnicas avanzadas en el caso de una unica variable, donde los resultados son mas simples y mas completos.
Desarrollaremos los conceptos necesarios (variedades, haces, o cohomologia) ab initio es decir, sin presuponer ningun conocimiento previo, y solo se desarrollan en la extension en que sean imprescindibles dentro del caso que nos ocupa.
El objetivo de esta parte del curso es el estudio introductorio de las superficies de Riemann compactas consideradas desde el punto de vista diferenciable.
Historicamente la teoria de las superficies de Riemann representa la culminacion de gran parte del calculo, y tiene profundas conexiones con la geometria y la aritmetica. Por esta razon, ocupa un puesto muy especial en la Matematica.
Ademas, es una parte extremadamente util de la Matematica y conocimiento necesario para especialistas en muchas otras areas incluyendo Topologia Diferencial, Analisis Global, Geometria Algebraica, Geometria Riemanniana e incluso Fisica Matematica.
El desarrollo de la geometria compleja en varias dimensiones en el siglo XX ha introducido una cantidad importante de tecnicas con aplicacion en areas muy dispares. Estas potentes tecnicas pueden estudiarse en un contexto sencillo al restringirse a las superficies de Riemann (es decir, en dimension compleja 1). Asi, aparte de introducir al estudiante a las superficies de Riemann por su interes intrinseco es nuestra intencion presentar algunas de estas tecnicas avanzadas en el caso de una unica variable, donde los resultados son mas simples y mas completos.
Desarrollaremos los conceptos necesarios (variedades, haces, o cohomologia) ab initio es decir, sin presuponer ningun conocimiento previo, y solo se desarrollan en la extension en que sean imprescindibles dentro del caso que nos ocupa.
| 18.09 |
Introduccion a las superficies de Riemann compactas.[[Apuntes incompletos]] Definiciones basicas. Estructura compleja. Funciones holomorfas en C. Ejemplos de superficies de Riemann compactas I: La esfera de Riemann. |
| 27.09 |
Introduccion a las superficies de Riemann compactas, II.
[[Apuntes incompletos]] Ejemplos de superficies de Riemann compactas II: La linea proyectiva compleja. Funciones holomorfas sobre superficies de Riemann. Funciones meromorfas. Ceros y polos de funciones meromorfas. |
| 04.10 |
Introduccion a las superficies de Riemann compactas, III. Ejemplos de funciones holomorfas, y meromorfas sobre la esfera de Riemann. Polinomios homogeneos. Funciones meromorfas sobre la linea proyectiva compleja. Aplicaciones holomorfas. Funciones meromorfas, y aplicaciones holomorfas en la linea proyectiva compleja. |
| 11.10 |
Teoria de haces.[[Apuntes incompletos]] Prehaces de grupos abelianos. Prehaces completos: Haces. Limites directos. |
| 18.10 |
Teoria de haces, II. Limites directos. Tallos de un haz. Espacio etale de un haz. |
| 25.10 |
Cohomologia Valorada en Haces. Cohomologia de un recubrimiento. |
| 08.11 |
Cohomologia Valorada en Haces, II. Refinamientos de un recubrimiento. Cohomologia de un espacio. |
| 22.11 |
Teoria de Haces, III. Restricciones, subhaces y cocientes. Homomorfismos de haces. Secuencias exactas. |
| 29.11 |
Cohomologia Valorada en Haces, III. Secuencia exacta larga de cohomologia. Haces finos. Cohomologia valorada en haces finos. Resolucion fina de un haz. Teorema de Dolbeaut. Teorema de Leray. |
| 13.12 |
(expected) Divisores y Fibrados de Linea. |
| 20.12 |
(expected) Dualidad de Serre. |