2.4.4 Ondas de Choque

$\Longrightarrow$ En el estado definido por laonda simple$J_{-}$de compresión los valores de la presión y la velocidadpermanecen constantes a lo largo de las características${\cal C}_{+}$ $\rightarrow$ En los puntos en que las características se cruzan la solución es discontinua $\rightarrow$ CHOQUE

$\Longrightarrow$ Flujo unidimensional, ecuaciones en forma conservativa:


\begin{displaymath}
\displaystyle{
\frac{\partial \rho}{\partial t}
+ \frac{\partial \rho v}{\partial x}   =    0
}
\end{displaymath} (33)


\begin{displaymath}
\displaystyle{
\frac{\partial \rho v}{\partial t}
+ \frac{\partial (\rho v^{2} + p)}{\partial x}   =    0
}
\end{displaymath} (34)


\begin{displaymath}
\displaystyle{
\frac{\partial \rho (\frac{1}{2} v^{2} + \eps...
...frac{1}{2} \rho v^{2} + \rho h) v}{\partial x}
   =    0
}
\end{displaymath} (35)

\fbox{\parbox[b]{3.5in}{
{\bf Sistema de leyes de conservaci\'on:}
\begin{displa...
...l t}
+ \frac{\partial {\bf F(U)}}{\partial x}    =   0
}
\end{displaymath}}}
Figure 2: Onda simple $J_{-}$ de compresión y onda de choque
\begin{figure}\centerline{\psfig{figure=../iac-figs/Shock.eps,width=8cm}}\end{figure}

$\Longrightarrow$ Si el campo vectorial${\bf F(U)}$se anula en el infinito:


\begin{displaymath}
\displaystyle{\frac{d}{d t}  \int_{-\infty}^{+\infty} {\bf ...
...
-   \left[{\bf F}\right]_{-\infty}^{+\infty}
  =   0
}
\end{displaymath} (36)

$\Longrightarrow$ Sea $x = \zeta (t)$ la trayectoria de la discontinuidad:


\begin{displaymath}
\displaystyle{
\frac{d}{d t}  \int_{-\infty}^{+\infty} {\bf...
...d}{d t}
 \int_{\zeta (t)}^{+\infty} {\bf U} dx
  =   
}
\end{displaymath} (37)


\begin{displaymath}
  =   
\displaystyle{
 \int_{-\infty}^{\zeta (t)}
\fra...
...l t} dx -
\frac{d\zeta}{d t} {\bf U} (\zeta_{+})
  =   
}
\end{displaymath} (38)


\begin{displaymath}
  =   
\displaystyle{
-   \int_{-\infty}^{\zeta (t)}
...
...bf U} (\zeta_{-}) -
{\bf U} (\zeta_{+}) \right)
  =   
}
\end{displaymath} (39)


\begin{displaymath}
  =   
\displaystyle{
-   {\bf F}_{-}
+   {\bf F}_{+}
+ \frac{d\zeta}{d t} ({\bf U}_{-} -
{\bf U}_{+})
}
\end{displaymath} (40)

\fbox{\parbox[b]{4.5in}{
{\bf Condiciones de salto:}
\begin{displaymath}
\displa...
...  \Longrightarrow   
[{\bf F}]
  =   
v_s [{\bf U}]
\end{displaymath}}}

$\Longrightarrow$ $[X] \equiv X_{+} - X_{-}$ es el salto a través de la discontinuidad

$\Longrightarrow$ $v_s \equiv \displaystyle{\frac{d\zeta}{d t}}$ es la velocidad de propagación de la discontinuidad

\fbox{\parbox[b]{4.0in}{
{\bf Relaciones de Rankine-Hugoniot:}
\begin{displaymat...
...,
v_s [\rho (\displaystyle{\frac{1}{2} v^{2} + \epsilon)]}
\end{displaymath}}}

$\Longrightarrow$ Sistema de referencia ligado a la discontinuidad $\rightarrow$ $u = v - v_s$ es la velocidad relativa del fluido

\fbox{\parbox[b]{6.0in}{
\begin{displaymath}[\rho u]  =    0   
\Longright...
..._1 }
  =   
\displaystyle{\frac{1}{2} u_2^{2} + h_2 }
\end{displaymath}}}

$\Longrightarrow$ El estado con subíndice $1 (2)$ es el delantero (trasero) o prechoque (postchoque).

$\Longrightarrow$ La cantidad$j$ es el flujo de masaa través de la discontinuidad.

$\Longrightarrow$ Las relaciones de salto no determinan completamente el sistema (condición de entropía).

$\Longrightarrow$ Definiendo $\tau \equiv 1/\rho$ (volumen específico), las condiciones de salto se pueden reescribir:

\fbox{\parbox[b]{6.5in}{
\begin{displaymath}
u_1 = j \tau_1     ,     u...
... = \displaystyle{\frac{1}{2} (p_1 + p_2) (\tau_1 - \tau_2) }
\end{displaymath}}}

$\Longrightarrow$ La (2.4.4) es definida positiva $\rightarrow$ A través de la onda de choque, en principio son válidas las dos combinaciones de relaciones siguientes: a) $p_2 > p_1$ , $\tau_1 > \tau_2$, b) $p_2 < p_1$ , $\tau_1 < \tau_2$ $\rightarrow$ La condición de entropía selecciona la a) $\rightarrow$ De (2.4.4) $\epsilon_2 - \epsilon_1 >0$.

$\Longrightarrow$ La (2.4.4) es la adiabática de Hugoniot.

$\Longrightarrow$ La adiabática de Hugoniot (2.4.4) relaciona las variables termodinámicas a ambos lados de la onda de choque. Junto con la ecuación de estado $(p=p(\rho,\epsilon))$, y fijado el estado $1$, la (2.4.4) admite una representación en el plano $\tau - p$: lugar geométrico de todos los estados 2 que pueden ser conectados con el 1 a través de una onda de choque , la cual tiene al estado 1 como prechoque.

Figure 3: Diagrama $\tau - p$ donde se han representado la adiabática de Hugoniot ($H$) y la adiabática ($A$) que pasa por el estado $\tau _1 - p_1$
\begin{figure}\centerline{\psfig{figure=../iac-figs/Hugoniot.eps,width=12cm}}\end{figure}

Algunas consecuencias de las condiciones de salto(2.4.4),(2.4.4) y (2.4.4):

$\Longrightarrow$ $\displaystyle{\frac{dp_{H}}{d\tau} \mid_{\tau_1}
   =   
\frac{dp_{A}}{d\tau} \mid_{\tau_1}
}$

$\Longrightarrow$ $\displaystyle{p_{H} > p_{A}    \forall \tau < \tau_1
}$

$\Longrightarrow$ En la adiabática de Hugoniot, sean los estados $(\tau_1, p_1)$ y $(\tau_2, p_2)$:

$\displaystyle{\mid \frac{p_2 - p_1}{\tau_2 - \tau_1}\mid >
\mid \frac{dp_A}{d\tau} (\tau_1) \mid
}$ $\rightarrow$ De (2.4.4): $\displaystyle{j^{2}    >   
\frac{c_{s_1}^2}{\tau_1^{2}}
}$ $\rightarrow$

$\rightarrow$ De (2.4.4): $\mid u_1 \mid > c_{s_1}$ $\rightarrow$ El estado prechoque, en el s.d.r. de la onda de choque, es supersónico.

$\Longrightarrow$ De las (2.4.4) y (2.4.4): $\displaystyle{u_1 - u_2  =  \sqrt{(p_2 -p_1)(\tau_1 - \tau_2)}}$

Discontinuidad de contacto: No hay flujo de masa

\fbox{\parbox[b]{5.0in}{
{\bf Condiciones de salto :}
\begin{displaymath}[v]  ...
... ,    [p]   =   0   ,   
[\rho]   arbitrario
\end{displaymath}}}