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(1) |
Conservación de la masa
Flujo incompresible
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(2) |
es la fuerza que ejerce
el fluido que rodea cada elemento de volumen sobre dicho elemento de volumen
es la fuerza total que ejerce el fluido sobre el volumen V
Ecuación del movimiento (de un elemento de volumen del fluido)
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(3) |
siendo
un campo de fuerzas (por unidad de masa) exterior.
Campo gravitatorio:
con
solución de la ecuación de Poisson.
Ecuación de continuidad
i) Multiplicando escalarmente por un vector fijo , ii) integrando en el volumen
,
y iii) aplicando el teorema de la divergencia:
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(4) |
La cantidad
es el flujo,
a través de la frontera,
,
de la componente de la densidad de momento en la dirección
Sean
las
contribuciones a la energia cinética e interna de un elemento de volumen del fluido
(
= energia interna específica).
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(5) |
i) Desarrollando la derivada total, ii) aplicando el teorema de la divergencia en la
integral de supericie, y iii) agrupando términos bajo la divergencia
La igualdad anterior debe verificarse para todo volumen:
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(6) |
La cantidad
es el flujo de energía a través de la frontera.
donde u es el vector de variables conservadas,
son los flujos en cada dirección
,
s(u) son las fuentes, y
son los términos fuentes en las ecuaciones, respectivamente,
de la densidad de momento y de energía, debidos al acoplamiento materia-radiación
(en el supuesto de considerar fenómenos de transporte).
Una ecuación de estado
cierra el sistema.
Flujo isoentrópico:
La entropía se conserva en espacio y tiempo
,
Flujo adiabático:
La entropía se conserva a lo largo de las
trayectorias
Ecuación de la energía (fluido perfecto) y estacionario
Fluido perfecto, estacionario, en un campo de fuerzas externo conservativo,
es la entalpía específica
es constante a lo largo de las trayectorias
Flujo isoentrópico:
,
constante a lo largo de las trayectorias
constante a lo largo de
las líneas de vorticidad
constante en espacio
(si el flujo es irrotacional)
Flujo incompresible:
,
Si
El flujo de un fluido perfecto incompresible e irrotacional permanece irrotacional
Flujo potencial
& estacionario
Campo gravitatorio:
, con
solución de la ecuación de Poisson:
Aplicando el operador divergencia a ambos lados de (7)
Simetría esférica (coordenadas esféricas):
Integrando una vez (en la variable
) y
dado que:
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(8) |
Condiciones de contorno:
A) Centro :
Superficie:
B) Mixtas :
Variable independiente
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(9) |
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(10) |
Versión relativista (TOV):
![]() |
(11) |
Energía Gravitacional:
Ecuación de Euler (descripción lagrangiana):
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(12) |
Aplicamos el operador:
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||
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![]() |
||
![]() |
![]() |
||
![]() |
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(13) |
i) Estático, ii)
I. Polvo: p= 0
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(14) |
(constante en
)
(constante en
)
Dado que:
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|||
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||
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![]() |
||
![]() |
![]() |
||
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Tiempo característico hidrodinámico,
Haciendo
en la expresión anterior:
Para el Sol, haciendo
II. Colapso homólogo de polítropos:
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![]() |
||
![]() |
![]() |
||
![]() |
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Homólogo:
En es:
En es:
De las dos anteriores expresiones
es constante en
Sustituyendo en (15) y sacando factor común el
término
Valor crítico de
III. Masa de Jeans:
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(16) |
![]() |
(17) |
![]() |
(18) |
Linealizando:
(para:
=
)
Suponiendo:
,
Eliminando
y
es el cuadrado de la velocidad local del sonido
(
, para gas ideal).
Ensayando una solución tipo ondas planas:
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(19) |
se obtiene la relación de dispersión:
Valor crítico:
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![]() |
||
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
Inestabilidad (perturbaciones crecen exponencialmente en el tiempo)
Estimaciones:
(gas ideal).
Componente caliente y tenue:
Componente fría y densa:
Propiedades | Glóbulos | Nubes | ||
Pequeños | Grandes | Intermedias | Grandes | |
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![]() |
3 | 800 | 1.8 ![]() |
R (pc) | 0.03 | 0.25 | 4 | 20 |
n (![]() |
![]() ![]() ![]() |
1.6 ![]() |
100 | 20 |