CONCEPTOS PREVIOS
EXPERIMENTO
RESULTADO
ESPACIO DE RESULTADOS , W
ÁLGEBRA DE SUCESOS
SUCESO
PROBABILIDAD (AXIOMÁTICA)
PROPIEDADES Y TEOREMAS DERIVADOS DE LOS AXIOMAS
PROBABILIDAD CONDICIONADA
TEOREMA DEL PRODUCTO (DE LA INTERSECCIÓN)
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
TEOREMA DE BAYES
INDEPENDENCIA ESTOCÁSTICA DE SUCESOS
EXPERIMENTO aleatorio :Cualquier operación /
acción / observación cuyos efectos no son predecibles con exactitud.
RESULTADO :cada uno de los
efectos simples a los que puede dar lugar un experimento
ESPACIO DE RESULTADOS ,
W : El conjunto formado por todos los resultados.
ÁLGEBRA DE SUCESOS, A = P (W) :
El conjunto de las partes de W .
SUCESO : Cualquier
elemento del Algebra de sucesos.Cualquier conjunto formado por la unión de
resultados (simples), además del conjunto vacio y de los propios
resultados.
Ej .: Experimento :
Lanzar un dado con puntos:
A = P (W) ={f ,
{1},{2},{3},{4},{5},{6},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},
{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}, {1,2,3},
{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6},…, W}
Sobre el álgebra de sucesos pueden definirse
las operaciones conjuntistas habituales (U ,n,? ) que cumplirán las
propiedades conocidas (conmutatividad, asociatividad, distributividad, Elemento
Neutro, Elemento Simétrico y leyes de de Morgan).
PROBABILIDAD (de un suceso): una medida numérica de la "factibilidad" de un
suceso que verifique la siguiente axiomática (Kolmogorov):
Ax .1.- "AÎ P (W): P(A) ³ 0 La probabilidad (de cualquier suceso) es no negativa
Ax . 2 . - P ( W ) = 1 La probabilidad del suceso
cierto es 1.
Ax . 3 . - Dada una familia de
numerable de sucesos: {Ai} con i= 1,2,...tal que
Ai Ç Aj =f "
i ¹ j se cumple que:
La probabilidad de la unión de sucesos disjuntos es la suma de las
probabilidades.
P.1.Dado un suceso , A ,
la probabilidad de su complementario es 1 menos la probabilidad de A. P(A)= 1-P(A)
P.2.La probabilidad de cualquier suceso está
comprendida entre cero y uno , ambos inclusive: 0 £ P(A) £ 1
P.3.Dados dos sucesos A, B tales que A Í B se cumple que: P(A) £ P(B)
P.4.Dados dos sucesos cualesquiera se cumple :
P (A U B ) = P(A)+ P(B) - P(A Ç B)
Dados dos sucesos A y C, con P(C) >0, la
probabilidad de A condicionada a la ocurrencia de C, P(A/C) supone una nueva
asignación de probabilidad al suceso A , considerando
que damos por ciertos el suceso C.
Ej . En el lanzamiento de un dado con puntos P(salga
un 2)= 1/6.
pero si damos por cierto que el resultado obtenido ha sido un
número par: P(salga un 2 / ha salido par) = 1/3.
Condicionar las probabilidades a un suceso C, supone , por tanto, rediseñar el espacio de resultados, que
originariamente era W , y ahora pasa a ser C. De esta forma cualquier suceso A
pasa a ser en el espacio de resultados condicionado A n C:
Espacio
de resultados original |
--> |
Espacio
de resultados condicionado |
|
W |
|
W Ç C =
C |
|
cualquier
suceso AÎ P (W ) |
|
A Ç C |
|
Gráficamente |
|||
Teniendo en cuenta esto la asignación de
probabilidades condicionadas, deber seguir verificando la axiom tica
en el marco de la nueva álgebra de sucesos, y, para que esto ocurra la
probabilidad condicionada deber definirse como:
P( A Ç B) =
P(A/B).P(B) o bien P(AÇB)= P(B/A).P(A)
y para una intersección de sucesos generalizada:
dada la situación del gráfico:
Es decir una familia de sucesos {
Ai} que constituyen una partición, y un suceso B con P(B)
> 0 y siendo P( Ai) y P (B/ Ai) conocidas para todo
valor de i; se cumple que:
P( B) =S P(B/Ai).P(Ai)
En las mismas condiciones que en el caso anterior
se cumple que:
Dos sucesos A y B son estoc sticamente
independientes cuando la información sobre la ocurrencia de uno de ellos no
modifica la probabilidad de que ocurra el otro.Esto es:
P(A/B) = P(A) o equivalentemente P(B/A) = P(B)
A y B son independientes Û P(AÇB) = P(A).P(C)
1.-Si A y B son
independientes el complementario de A y el suceso B también lo son.
2.- Si A y B son independientes los complentarios
también lo son.
3.- Si A implica B ( A Í B) ,
A y B NO SON INDEPENDIENTES
4.-Si dos sucesos son incompatibles (mutuamente
excluyentes)( de intersección vacía) NO SON
INDEPENDIENTES.