Preliminars

Introduïm els conceptes necessaris per al desenvolupament dels temes que tractarem en el següents capítols.

Definició 1 (Cos) Un cos és una tupla \((\mathbb{K},+,\cdot,0,1)\) on

• \(\mathbb{K}\) és un conjunt d’elements els quals anomenarem escalars;
• \(+\) i \(\cdot\) són operacions binàries internes en \(\mathbb{K}\) que anomenarem, respectivament, suma i producte. Aquestes operacions compleixen les propietats associativa, commutativa i distributiva del producte respecte la suma;
• \(0\in \mathbb{K}\) és l’element neutre per a la suma;
• \(1\in \mathbb{K}\) és l’element neutre per al producte;
• Tot element de \(\mathbb{K}\) és invertible per a la suma. Als inversos per a la suma els anomenarem oposats;
• Tot element de \(\mathbb{K}\), a excepció del \(0\), és invertible per al producte.

Se’n dedueix de la definició que \((\mathbb{K},+,0)\) i \((\mathbb{K}-\{0\},\cdot, 1)\) són grups abelians. Quan se sobreentenguen les operacions suma i producte, així com els seus neutres, utilitzarem únicament \(\mathbb{K}\) per a referir-nos al cos \((\mathbb{K},+,\cdot, 0,1)\).

Exemple 1 Els conjunts \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}\) i \(\mathbb{C}\) de nombres racionals, reals i complexos, respectivament, amb les operacions habituals de suma i producte són cossos. Per contra, els conjunts \(\mathbb{N}\) i \(\mathbb{Z}\), de nombres naturals i enters, respectivament, amb les operacions habituals de suma i producte no són cossos.

1 Matrius sobre un cos

A continuació presentem una sèrie de definicions bàsiques sobre matrius.

Definició 2 Donats \(m,n\in\mathbb{N}\), una matriu \(\mathsf{A}\) d’\(m\) files i \(n\) columnes sobre un cos \(\mathbb{K}\)} és una aplicació de la forma \(\mathsf{A}\colon \{1,\cdots, m\}\times \{1, ..., n\}\longrightarrow \mathbb{K}\) que es representa com una taula amb \(mn\) entrades de la següent forma \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11} &\alpha_{12} &\cdots &\alpha_{1n} \\ \alpha_{21} &\alpha_{22} &\cdots &\alpha_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ \alpha_{m1} &\alpha_{m2} &\cdots &\alpha_{mn}\\ \end{bmatrix} \] on, per a tot \(1\leq i\leq m\) i \(1\leq j\leq n\), es té que l’element \(\mathsf{A}(i,j)=\alpha_{ij}\) pertany a \(\mathbb{K}\). En aquest cas direm que la matriu \(\mathsf{A}\) té tamany \(m,n\). Les matrius també solen representar-se de forma compacta com a \(\mathsf{A}=(\alpha_{ij})\), on se sobreentén el rang de variació dels índexs \(i\) i \(j\). Direm que les matrius \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{B}\) són iguals si tenen el mateix tamany i per a cada parell d’índexs \(i,j\), les entrades en la posició \((i,j)\) coincideixen.

Denotem per \(\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\) al conjunt de totes les matrius de tamany \(m,n\) sobre \(\mathbb{K}\). Si \(m=n\), direm que la matriu és quadrada i en aquest cas escriurem \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) en compte de \(\mathrm{M}_{nn}(\mathbb{K})\). Les matrius quadrades són aquelles que tenen el mateix nombre de files i columnes.

Direm que una matriu \(\mathsf{A}=(\alpha_{ij})\) es

• diagonal, si per tot parell d’índexs \(i\neq j\) es té que \(\alpha_{ij}=0\);
• triangular superior, si per a tot parell d’índexs \(i<j\) es té que \(\alpha_{ij}=0\);
• triangular inferior, si per a tot parell d’índexs \(i>j\) es té que \(\alpha_{ij}=0\).

Anomenem pivot de la fila \(i\) d’una matriu \(\mathsf{A}\) al primer element no nul d’aquesta fila.

Direm que la matriu \(\mathsf{A}\) és esglaonada per files si

1. les files nules d’\(\mathsf{A}\) estan baix del tot
2. els pivots de tota fila no nula valen \(1\) i
3. el pivot de cada fila no nula està a la dreta dels pivots de les files anteriors.

Direm que la matriu \(\mathsf{A}\) és esglaonada reduïda per files si és esglaonada per files i, a més,

4. les entrades a sobre de cada pivot són igual a \(0\).

Exemple 2 Considerem les següents matrius sobre \(\mathbb{Q}\) \[ \begin{array}{ccccccc} \mathsf{A}= \begin{bmatrix} 1 &2 &3\\ 1 &2 &3\\ 1 &2 &3\\ \end{bmatrix}, \qquad \mathsf{B}= \begin{bmatrix} 0 &1 &9 &-1 \\ 0 &0 &1 &3 \\ \end{bmatrix}, \qquad \mathsf{C}= \begin{bmatrix} 1 &0 &-1\\ 0 &1 &0\\ 0 &0 &0 \end{bmatrix}, \qquad \mathsf{D}= \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &4 \\ 0 &0 \end{bmatrix}. \end{array} \]

La matriu \(\mathsf{A}\) és una matriu quadrada, la matriu \(\mathsf{B}\) és una matriu esglaonada i triangular superior, la matriu \(\mathsf{C}\) és una matriu quadrada esglaonada reduïda i la matriu \(\mathsf{D}\) és una matriu diagonal.