Àlgebra Lineal i Geometria

L’assignatura Àlgebra Lineal i Geometria I té un caràcter bàsic en el Grau en Matemàtiques de la Universitat de València i s’imparteix al llarg dels dos quadrimestres del primer curs. Els seus objectius principals són introduir els conceptes d’espai vectorial i aplicació lineal entre espais vectorials, amb especial èmfasi en la representació matricial, així com desenvolupar els fonaments de mètrica en espais vectorials euclidians i la seua aplicació en espais afins.

Cal destacar que l’assignatura Àlgebra Lineal i Geometria I és una matèria transversal que esdevé un referent constant en les assignatures de cursos superiors, ja siga pels seus mètodes, conceptes o raonaments. Un exemple clar és l’assignatura de segon curs Àlgebra Lineal i Geometria II, continuació natural d’aquesta, on es requerirà a l’alumnat el domini dels conceptes de representació matricial d’una aplicació lineal i d’una forma bilineal.

En aquest context, resulta especialment important insistir en l’ús de la multiplicació matricial, ja siga com a transformació de certes estructures afins o lineals, amb la seua interpretació geomètrica descrita principalment a través de vectors i valors propis, o com a representació matricial d’isometries (com girs i reflexions), translacions, homotècies o combinacions d’aquestes. D’aquesta manera, s’evitarà concebre les matrius com simples contenidors d’elements i es reafirmaran com a eines de transformació. També caldrà insistir en la llibertat d’elecció en la representació d’aquestes transformacions, destacant els avantatges de la representació diagonal.

Els coneixements adquirits en aquesta assignatura seran fonamentals per al desenvolupament de conceptes i raonaments en altres matèries del grau. Aquesta és la primera assignatura que introdueix estructures matemàtiques i els seus morfismes, tècniques clau per descriure altres categories que s’estudiaran més endavant, com la categoria d’espais topològics i aplicacions contínues o categories algebraiques amb homomorfismes associats a grups, anells i mòduls. També és la primera assignatura on es treballen els reticles algebraics de subestructures i congruències associades a una àlgebra, així com els operadors de clausura corresponents. En aquest sentit, es posarà especial èmfasi en conceptes com les subestructures, els espais quocients i els suprems i ínfims, que seran rellevants en assignatures de la branca d’àlgebra, com la teoria de Galois o la generalització d’aquests conceptes a mòduls sobre anells.

A més, nocions com la base i la combinació lineal seran essencials en el desenvolupament de conceptes afins en topologia o en espais de funcions dins de l’anàlisi i l’aproximació numèrica. Per a aquestes assignatures, així com per a les de física, les associades a l’estudi d’equacions diferencials o estadística, també seran fonamentals les nocions bàsiques d’espais vectorials euclidians, dimensió, mètrica i ortogonalitat. En geometria diferencial, les nocions de varietats afins en un espai afí euclidià, vectors directors o ortogonals i projeccions ortogonals seran especialment rellevants.

D’altra banda, la correspondència entre aplicacions lineals i la seua representació matricial constitueix el primer exemple d’equivalència categorial entre dues presentacions d’una mateixa teoria, una de caràcter abstracte i una altra més concreta. Aquestes propietats han de recalcar-se, adequant-les al nivell de l’alumnat, per fomentar una familiaritat necessària per abordar el tractament categorial de les matemàtiques modernes.

En relació amb altres contextos, especialment els algebraics, aquesta assignatura presenta exemples d’estructures associades, com grups de matrius (el grup lineal o el grup ortogonal) i anells (com l’anell de matrius, de polinomis i d’aplicacions lineals). Tot i que molts conceptes es desenvolupen sobre un cos arbitrari, es donarà especial atenció als casos real i complex, tot obrint la porta a discussions sobre cossos finits i les seues característiques. Així mateix, cal destacar l’ús de nocions com la llibertat d’un espai vectorial i la determinació única d’una aplicació lineal mitjançant la imatge d’una base, la qual cosa il·lustra la propietat universal d’un espai vectorial. Aquest concepte servirà d’analogia per a altres estructures algebraiques lliures, com anells o grups.

Finalment, cal remarcar l’enorme varietat d’aplicacions de l’àlgebra lineal en contextos molt diversos i transversals al llarg del grau. Des d’aquesta assignatura es poden treballar conceptes com cadenes de Markov, anàlisi de grafs, coeficients de correlació, criptografia, interpolació, prediccions a llarg termini, sistemes d’equacions diferencials lineals, anàlisi de xarxes, mínims quadrats, models poblacionals, mètodes per aproximar el valor propi dominant, programació lineal, gràfics per ordinador, teoria de codis, descomposició espectral, anàlisi de components principals, teoria de camps vectorials, sistemes dinàmics discrets i continus, tractament d’imatges, flux de trànsit, entre altres.

Coneixements previs

És essencial considerar els coneixements previs de l’alumnat sobre sistemes d’equacions lineals i manipulació matricial adquirits durant els últims cursos de batxillerat, ja que aquests proporcionen una base sòlida per avançar en l’assignatura. La comprensió dels conceptes de solució d’un sistema d’equacions lineals, els mètodes de resolució i la interpretació geomètrica de les solucions com a varietats afins, juntament amb la seua representació matricial, són aspectes clau per al progrés d’aquesta matèria. També són valuoses les nocions bàsiques de trigonometria i l’ús de determinants que l’alumnat haja pogut assimilar en aquesta etapa formativa.

Més enllà d’aquests coneixements, resulta especialment rellevant que l’alumnat haja desenvolupat prèviament una capacitat de raonament sistemàtic i crític, enfocat en la resolució de problemes i la discussió de situacions concretes, que connecte amb la naturalesa pròpia de l’activitat matemàtica.

Bibliografia

• Axler, S. (2015). Linear algebra done right. Springer. Url
• Castellet, M., & Llerena, I. (2020). Àlgebra lineal i Geometria. Universitat Autònoma de Barcelona, Servei de Publicacions.
• Merino González, L. M., & Santos Aláez, E. (2006). Álgebra Lineal con métodos elementales. Ediciones Paraninfo, SA.
• Nicholson, W. K. (2021). Linear algebra with applications. Version 2021A. Lyryx Learning Inc. Url