3.3 Aritmética de punto  3.2 Números en punto  3.2.1 Notación científica normalizada

3.2.2 Representación de los números en punto flotante

En un ordenador típico los números en punto flotante se representan de la manera descrita en el apartado anterior, pero con ciertas restricciones sobre el número de dígitos de q y m impuestas por la longitud de palabra disponible (es decir, el número de bits que se van a emplear para almacenar un número). Para ilustrar este punto, consideraremos un ordenador hipotético que denominaremos MARC-32 y que dispone de una longitud de palabra de 32 bits (muy similar a la de muchos ordenadores actuales). Para representar un número en punto flotante en el MARC-32, los bits se acomodan del siguiente modo: 

Signo del número real x:	1 bit
Signo del exponente m:	1 bit
Exponente (entero |m|):	7 bits
Mantisa (número real |q|):	23 bits

 En la mayoría de los cálculos en punto flotante las mantisas se normalizan, es decir, se toman de forma que el bit más significativo (el primer bit) sea siempre '1'. Por lo tanto, la mantisa q cumple siempre la ecuación (19).

Dado que la mantisa siempre se representa normalizada, el primer bit en q es siempre 1, por lo que no es necesario almacenarlo proporcionando un bit significativo adicional. Esta forma de almacenar un número en punto flotante se conoce con el nombre de técnica del 'bit fantasma'.

Se dice que un número real expresado como aparece en la ecuación (18) y que satisface la ecuación (19) tiene la forma de punto flotante normalizado. Si además puede representarse exactamente con |m| ocupando 7 bits y |q| ocupando 24 bits, entonces es un número de máquina en el MARC-32³

La restricción de que |m| no requiera más de 7 bits significa que:

$$\vert m\vert \leq (1111111)_{2} = 2^7 - 1 = 127$$  

Ya que $2^{127} \approx 10^{38}$, la MARC-32 puede manejar números tan pequeños como 10^-38 y tan grandes como 10³⁸. Este no es un intervalo de valores suficientemente generoso, por lo que en muchos casos debemos recurrir a programas escritos en aritmética de doble precisión e incluso de precisión extendida.

Como q debe representarse empleando no más de 24 bits significa que nuestros números de máquina tienen una precisión limitada cercana a las siete cifras decimales, ya que el bit menos significativo de la mantisa representa unidades de $2^{-24} \approx 10^{-7}$. Por tanto, los números expresados mediante más de siete dígitos decimales serán objeto de aproximación cuando se almacenen en el ordenador.

Por ejemplo: 0.5 representado en punto flotante en el MARC-32 (longitud de palabra de 32 bits) se almacena en la memoria del siguiente modo:

$$\frac{1}{2} = \overbrace{0}^{\mathrm{Signo~\mathit{\vert m\ve......00000000000000000}_{\mathrm{\mathit{\vert q\vert},~1+23~bits}}$$  

Ejemplo 5: Suponga un ordenador cuya notación de punto fijo consiste en palabras de longitud 32 bits repartidas del siguiente modo: 1 bit para el signo, 15 bits para la parte entera y 16 bits para la parte fraccionaria. Represente los números 26.32, $1.234 \cdot 10^{-4}$ y 12542.29301 en base 2 empleando esta notación de punto fijo y notación de punto flotante MARC-32 con 32 bits. Calcule el error de almacenamiento cometido en cada caso.

Solución: El número 26.32 en binario se escribe del siguiente modo:

$$26.32_{10} = {11010.\overline{01010001111010111000}}_{2}$$

Empleando las representaciones comentadas, obtenemos:

$$\begin{array}{lll}26.32_{10} = & \mathrm{Punto~fijo:} &\m...... &\mbox{\small0 10000101 10100101000111101011100}\end{array}$$

Si expresamos el error como la diferencia entre el valor y el número realmente almacenado en el ordenador, obtenemos:

$$\begin{array}{llllll}\varepsilon_{a}(\mathrm{fix}) & = & 8 ......arepsilon_{r}(\mathrm{flt}) & = & 1.2 \cdot 10^{-8}\end{array}$$

En cuanto a los otros dos números, obtenemos:

$$\begin{array}{lll}1.234 \cdot 10^{-6} = & \mbox{\small0 000...... &\varepsilon_{r}(\mathrm{flt}) = 3 \cdot 10^{-9}\end{array}$$  

Antes de entrar con detalle en la aritmética de los números en punto flotante, es interesante notar una propiedad de estos números de especial importancia en los cálculos numéricos y que hace referencia a su densidad en la línea real. Supongamos que p, el número de bits de la mantisa, sea 24. En el intervalo $\left[\frac{1}{2},1\right)$ (exponente f = 0) es posible representar 2²⁴ números igualmente espaciados y separados por una distancia 1/2²⁴. De modo análogo, en cualquier intervalo $\left[2^{f},2^{f+1}\right)$ hay 2²⁴ números equiespaciados, pero su densidad en este caso es 2^f/2²⁴. Por ejemplo, entre 2²⁰ = 1048576 y 2²¹ = 2097152 hay 2²⁴ = 16777216 números, pero el espaciado entre dos números sucesivos es de sólo $\frac{1}{16}$. De este hecho se deriva inmediatamente una regla práctica: cuando es necesario comparar dos números en punto flotante relativamente grandes, es siempre preferible comparar la diferencia relativa a la magnitud de los números. En la figura (1) se representa gráficamente la separación entre dos números consecutivos en función del exponente f en el rango f = [20,30].
 
 

  

Figure: Evolución de la separación entre dos números consecutivos en función del exponente, f, de la representación en punto flotante de un número real.

[bb=55 60 455 410, clip=true, scale=0.7]eps/expon

  

1998-05-11