Nuevas perspectivas en las desigualdades de Sobolev

Las desigualdades de Sobolev constituyen una parte importante del análisis funcional moderno con un amplio abanico de aplicaciones remarcables en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales, cálculo variacional, geometría y física matemática. A un nivel elemental, las desigualdades de Sobolev expresan las propiedades de integrabilidad y/o suavidad de una función $f$ en términos de alguna propiedad de integrabilidad para las derivadas de $f$.

Una de las bellezas de las desigualdades de Sobolev es que establecen conexiones entre diferentes áreas de investigación, las cuales originalmente fueron desarrolladas desde perspectivas distintas. Nuestro objetivo central es estudiar algunas de estas conexiones. A continuación, describiremos de forma algo más precisa el esquema del programa a seguir.

En la primera parte del programa, nos centraremos en la revisión de la prueba original dada por Sobolev [8], la cual está basada en sofisticadas fórmulas de representación integrales. Veremos cómo esta prueba se puede simplificar considerablemente empleando la teoría de interpolación de espacios de Banach (ver [7] y [1]). La relación entre las desigualdades de Sobolev y las desigualdades geométricas (a saber, la célebre desigualdad isoperimétrica) se llevará a cabo a través del método de truncación de Maz'ya [4,5] (ver también [6]) junto con la propiedad de automejora. En este contexto, la estrecha relación entre el perfil isoperimétrico del espacio de medida subyacente y las desigualdades de Sobolev logarítmicas juega un papel fundamental [3].

En segundo lugar, discutiremos recientes conexiones [2] entre las desigualdades de Sobolev y las desigualdades de Ulyanov-Kolyada. Estas últimas ocupan un lugar central en la teoría de aproximación. Haremos especial hincapié en el conjunto de nuevas herramientas empleada para establecer este nuevo puente entre desigualdades de Sobolev y la teoría de aproximación, a saber, técnicas de interpolación límite junto con teoremas de extrapolación inversos en el espíritu del dado por Tao [9].

1. Cwikel, M., Pustylnik, E.: Sobolev type embeddings in the limiting case. J. Fourier Anal. Appl. 4, 433--446 (1998).
2. Domínguez, O., Tikhonov, S.: Embeddings of smoothn function spaces, extrapolations, and related inequalities. ArXiv: 1909.12818
3. Martín, J., Milman, M.: Pointwise symmetrization inequalities for Sobolev functions and applications. Adv. Math. 225, 121--199 (2010)
4. Maz'ya, V.: Classes of regions and imbedding theorems for function spaces. Dokl. Akad. Nauk SSSR 133, 527--530 (1960) (in Russian); English translation in Soviet Math. Dokl. 1}, 882--885 (1960)
5. Maz'ya, V.: On $p$-conductivity and theorems on embedding certain functional spaces into a $C$-space. Dokl. Akad. Nauk SSSR 140, 299--302 (1961) (in Russian)
6. Maz'ya, V.: Sobolev Spaces with Applications to Elliptic Partial Differential Equations, Second, revised and augmented edition. Springer, Heidelberg, 2011
7. Peetre, J.: Espaces d'interpolation et théorème de Soboleff. Ann. Inst. Fourier 16, 279--317 (1966)
8. Sobolev, S.L.: On a theorem of functional analysis. Mat. Sbornik 4, 471--497 (1938) (in Russian); English translation in Amer. Math. Soc. Transl. 34, 39--68 (1963)
9. Tao, T.: A converse extrapolation theorem for translation-invariant operators. J. Funct. Anal. 180, 1--10 (2001)

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Sucesiones en espacios de Banach y clases de operadores

Consideraremos cuatro clases de sucesiones en espacios de Banach: acotadas, débilmente de Cauchy, débilmente convergentes y convergentes. A partir de estas clases de sucesiones, definiremos varias clases de operadores acotados entre espacios de Banach y estudiaremos sus propiedades y las relaciones entre ellas. Las clases más conocidas son las generadas mediante las sucesiones acotadas y las convergentes. Su comportamiento servirá de modelo para estudiar las otras clases.

Prerrequisitos:Análisis funcional: espacios de Banach, operadores acotados, espacio dual, espacios reflexivos, operador conjugado, convergencia débil de sucesiones y teoremas fundamentales: Hahn-Banach, acotación uniforme, aplicación abierta y grafo cerrado [6, Capítulos II y IV]

Herramientas:

Sucesiones básicas en espacios de Banach \cite{James:90} o [1, Chapter 1].

Resultados básicos sobre las topologías débil y $*$-débil en espacios de Banach [1]

1. F. Albiac and N. Kalton. Topics in Banach space theory. Springer, New York, 2006.
2. M. González, A. Martínez-Abejón. Tauberian operators. Operator Theory: Advances and applications~194. Birkhauser, 2010.
3. M. González, V.M. Onieva. Characterizations of tauberian operators and other semigroups of operators. Proc. Amer. Math. Soc. 108 (1990), 399--405.
4. R.C. James. Bases in Banach spaces. Amer. Math. Monthly 89 (1982), 625--640.
5. N. Kalton, A. Wilansky. Tauberian operators on Banach spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 57 (1976), 251--255.
6. A. Vera y P. Alegría. Un curso de análisis funcional. AVL, 1997.

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Teorema de Markov-Kakutani y algunas aplicaciones

Ciertos teoremas de punto fijo pueden ser generalizados para familias de aplicaciones que conmutan, obteniendo así un punto fijo común a todas ellas. Sin embargo, este no es el caso del teorema de punto fijo de Brouwer: Se puede dar un par de funciones $f,g:[0,1]\to [0,1]$ continuas, con $f\circ g=g\circ f$ y tales que no existe ningún punto fijo común para $f$ y $g$. Si añadimos la hipótesis de que las aplicaciones sean afines, el Teorema de Markov-Kakutani afirma que, en el marco de un espacio vectorial topológico, toda familia conmutativa de aplicaciones afines y continuas que dejen invariante a un subconjunto convexo y compacto, tiene un punto fijo común.

Dicho teorema tiene múltiples aplicaciones en diferentes áreas del Análisis Funcional. Por ejemplo, permite encontrar medidas invariantes en semigrupos (genera\-lización de límites de Banach). La medida de Haar puede ser encontrada como punto fijo común en el caso de un grupo topológico compacto conmutativo. Además, puede darse una prueba alternativa del Teorema de extensión de Hahn-Banach y otros teoremas clásicos del Análisis Funcional usando el Teorema de Markov-Kakutani.

El objetivo de la charla será exponer el Teorema de Markov-Kakutani y alguna de las aplicaciones anteriores.

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Regularidad Maximal a través de multiplicadores de Fourier

El estudio de la regularidad maximal se entiende como el análisis de la existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales. Supone una herramienta fundamental para reducir un problema no autónomo o no lineal a través de un argumento de punto fijo a un problema autónomo o lineal, respectivamente o para aplicar un teorema de función implícita. Este estudio puede llevarse a cabo mediante diversas técnicas. Una de ellas corresponde al uso de multiplicadores o símbolos de Fourier.

El objetivo de este taller será en primer lugar hacer una breve introducción a los conceptos de multiplicadores de Fourier, sus propiedades y otras nociones como el $R$-acotamiento de operadores necesarios para llevar a cabo el estudio de la regularidad maximal de ciertas ecuaciones. Para ello seguiremos la referencia [4]. A continuación, repasaremos los teoremas clásicos de Arendt y Bu [1] que relacionan los conceptos de multiplicadores de Fourier en ciertos espacios de funciones y la propiedad de $R$-acotamiento. Finalmente, obtendremos una caracterización de la regularidad maximal en espacios Lebesgue-Bochner $L^p([0,2\pi],X)$ con $X$ un espacio de Banach de funciones para una ecuación de tercer order temporal degenerada siguiendo los trabajos [2] y [3].

1. W. Arendt and S. Bu, The operator-valued Marcinkiewicz multiplier theorem and maximal regularity, Math. Z. 240 (2002), 311--343.
2. S. Bu and G. Cai, Periodic solutions of third-order degenerate differential equations in vector-valued functional spaces, Israel J. Math. 212 (2016), 163--188.
3. J.A. Conejero, C. Lizama, M. Murillo Arcila and J.B. Seoane-Sepúlveda, Well-posedness for degenerate third order equations with delay and applications to inverse problems, Israel J. Math. 229 (2019), 219--254.
4. R. Denk, M. Hieber and J.Pruss, R-boundedness, Fourier multipliers and problems of elliptic and parabolic type, Memoirs of the American Mathematical Society 166 (2003).

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