Programa:

1. Introducción a la ecuaciones en derivadas parciales no lineales: Ecuaciones en derivadas parciales no lineales: Ejemplos. Representación de soluciones. Método de separación de variables. Ejemplos. Soluciones autosemejantes. Ejemplos. Ondas viajeras: La ecuación de Korteweg-de-Vries. El método de las características: Ejemplos. Condiciones de compatibilidad sobre los datos frontera. Datos frontera no característicos. Teorema de existencia local.
2. Ecuaciones de Hamilton-Jacobi: Introducción a las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. Cálculo de variaciones: La ecuación de Euler-Lagrange. La transformada de Legendre. La fórmula de Hopf-Lax. Semiconcavidad: Unicidad. Soluciones de viscosidad: Motivación formal y definición de solución de viscosidad. Consistencia de la definición. Ecuaciones de Hamilton-Jacobi-Bellman.

Objetivos pedagógicos:

Las ecuaciones en derivadas parciales no lineales es uno de los temas más activos de la investigación matemática en las dos últimas décadas, debido sobre todo a sus importantes aplicaciones a problemas de muchas partes de la Ciencia. Después de un larga etapa donde, por falta de nuevos métodos, se estudiaron extensamente las ecuaciones en derivadas parciales lineales, en las últimas décadas se han desarrollado nuevas técnicas matemáticas que han permitido abordar con éxito el estudio de diversas ecuaciones en derivadas parciales no lineales que aparecen de forma natural en la modelización de numerosos problemas. El objetivo de este curso es introducir al alumno en este campo del Análisis Matemático.

Bibliografía recomendada:

• L.C. Evans, Partial Differential Equations. Gradute Studies in Math. Vol 19,
• A. Bressan, Hyperbolic System of Conservation Laws. The One Dimensional Cauchy Problem. Oxford University Press, 2000.
• M. Bardi and I. Capuzzo-Dolceta, Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations. Birhauser, 1977.
• P.L. Lions, Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations. Pitman, 1982.

Metodología:

Clases expositivas del profesor. Algunos de los temas se completaran con la exposición por parte de los alumnos

Criterios de evaluación:

La evaluación se realizará mediante la resolución por el estudiante de una colección de ejercicios y la exposición de un tema relacionado con el curso.