El objetivo fundamental del programa de tercer ciclo en Matemáticas consiste en iniciar a los alumnos en las técnicas básicas de la investigación matemática actual. En este sentido está dirigido, dada la actual estructura de los estudios de doctorado, hacia:

• La formación de nuevos investigadores a través de la realización de una Tesis doctoral, previa superación de los créditos de docencia e investigación requeridos.
• La adquisición de herramientas matemáticas de alto nivel para diversas aplicaciones cubriendo las expectativas de graduados en matemáticas y otras ciencias básicas.
• La complementación de la formación de profesores de enseñanza secundaria o licenciados en Ciencias mediante la realización de la fase de docencia y la obtención del DEA.

Con estos fines hemos provisto el programa, por una parte, de una serie de cursos básicos de tipo avanzado en los que se introducen diversas técnicas de trabajo fundamentales para la investigación matemática (Espacios funcionales, Teoría de Módulos, Topología Diferencial, Álgebras de Lie, Cálculo de Variaciones, Análisis Armónico, Fibrados, Integración en Variedades, etc...) y por otra, de cursos cuyos contenidos describen métodos importantes para el estudio de problemas de interés actual en las diversas aplicaciones de la Matemática (Estabilidad, Teoría de la bifurcación, Técnicas de Geometría en Informática y viceversa, etc... ).

Como resultado final de la realización del programa de Tercer Ciclo propuesto esperamos que los alumnos alcancen las siguientes metas:

• Aprendan a plantear y resolver problemas de alto nivel en matemáticas y sus aplicaciones.
• Adquieran una visión amplia del panorama actual en investigación matemática.
• Desarrollen la capacidad de moverse cómodamente entre los medios bibliográficos, bases de datos, etc... de manera que puedan localizar la literatura existente sobre un tema o aplicación de su interés.
• Aprendan a exponer sus trabajos y a comunicarse científicamente con la comunidad matemática internacional.

La cantidad de cursos presentados se ajusta a la normativa de la Universidad de Valencia, que establece un máximo de 72 créditos. En una primera clasificación podemos agrupar dichos cursos en las grandes áreas: Álgebra, Geometría y Topología, Análisis Matemático, Matemática Aplicada y Física Matemática ). Teniendo en cuenta que la complejidad de muchos de los problemas actuales, tanto en las matemáticas como en sus aplicaciones, requiere la manipulación y consiguiente familiaridad con técnicas de diversas áreas, se ha diseñado un programa en el que el estudiante tenga acceso a un buen número de técnicas de interés actual y almismo tiempo, a fin de completar el total de sus créditos docentes, tenga la necesidad de escogerlos en por lo menos dos de las grandes áreas a que nos referimos anteriormente.

Un criterio fundamental para la selección de los cursos que componen el programa ha sido el hecho de que la mayoría de ellos sean útiles al mismo tiempo para especialistas de varias áreas. Así, el conocimiento de las Álgebras de Lie interesa tanto a un algebrista, como a un geómetra o a un físico matemático. El estudio de los grupos clásicos atañe tanto al Álgebra, como a la Geometría o la Matemática Aplicada. El Cálculo de Variaciones es una herramienta importante dentro del Análisis, la Geometría, la Física Matemática y diversas aplicaciones. La teoría de la estabilidad surge de manera natural tanto en la Topología Diferencial como en los Sistemas Dinámicos y tiene fundamental importancia en muchas de las aplicaciones de las matemáticas.

No obstante lo anterior, se quiere que el programa pueda formar según los intereses propios del estudiante y así incrementar su motivación, por ello se buscan itinerarios indicativos para cada una de las áreas. Así, se ofrecen las siguientes agrupaciones:

• Álgebra: Teoría de módulos, Grupos Clásicos y Geometrías, Álgebras de Lie, Grupos topológicos, Seminario de Álgebra, Fibrados.
• Análisis: E. funcionales, A. armónico, C. Variacional, Introducción a la e. d. p. no lineales (Seminario de Análisis), T. estabilidad, T. de la bifurcación, Teoría ergódica, Integración en variedades.
• Geometría Diferencial: Grupos clásicos y geometrías, Álgebras de Lie, De la Geometría a la Informática, Topología diferencial, Integración en variedades, Fibrados, Seminario de Geometría, Cálculo de variaciones, gravitación.
• Topología Diferencial: Topología diferencial, Seminario de Geometría, Fibrados, Teoría de módulos, Álgebras de Lie, T. bifurcaciones, T. estabilidad.
• Sistemas dinámicos: Teoría de la estabilidad, T. bifurcaciones, Foliaciones (Seminario de Geometría), Topología diferencial, Teoría ergódica, Cálculo variacional, Introducción a las e. d. p. no lineales (Seminario de Análisis).
• Física matemática: Gravitación, T. Estabilidad, T. Bifurcaciones, E. Variacional, Fibrados, Integración en variedades, Introducción a las e. d. p. No lineales (Seminario de Análisis), Teoría ergódica.