Programa:

• Teorema de Riesz. (Se dan los preliminares básicos para probar el teorema de dualidad entre el espacio de las funciones continuas sobre un compacto y las medidas de Borel regulares).
• Funciones armónicas y medidas. Una breve introducción a las funciones armónicas. Cálculo de convoluciones de medidas y funciones. Estudio de coeficientes de Fourier de medidas. Teoremas de representación (vía convolución con el núcleo de Poisson) de funciones ármonicas en el disco en términos de sus valores frontera.
• Teoremas de interpolación. Teorema de Riesz-Thorin, probando previamente el teorema de las tres líneas. Acotación débil de operadores sublineales. Teorema de interpolación de Marcinkiewicz. Algunas aplicaciones de la interpolación.
• Función conjugada. Se presenta la introducción a la función conjugada, vía la armónica conjugada.
  Demostración del teorema de Riesz sobre la acotación del operador “función conjugada” en espacios de Lebesgue. Aplicaciones a la convergencia en norma de la serie de Fourier.
• Funciones maximales. Maximal de Hardy-Littlewood. Maximal de Poisson.
  Teorema de diferenciación de Lebesgue. Aplicaciones a la convergencia puntual (radial y no tangencial) en la frontera del disco de las funciones armónicas.
• Oscilación media acotada. El espacio BMO. Conexión con la función conjugada. El espacio de Hardy H1. La dualidad entre H1 y BMO.

Objetivos pedagógicos:

Se pretende que el alumno complete su conocimiento sobre Análisis de Fourier, y aprenda varias de las técnicas modernas en Análisis Armónico como son el uso de las funciones maximales, integrales singulares, así como las primeras propiedades de los espacios clásicos de Hardy y BMO.

Bibliografía recomendada:

• C. Bennet, R, Sharpley . Interpolation of operators. Academic Press, Orlando, 1988.
• P. Duren. Theory of $H-p$-spaces. Academic Press, New York, 1970.
• J. García-Cuerva, J.L. Rubio de Francia. Weighted norm inequalities and related topics. North-Holland Math. Stud. 116, North-Holland, Amsterdam, New York, 1985.
• J.B. Garnett. Bounded analytic functions. Academic Press, NewYork, 1981.
• Y. Katnetzson. An introduction to Harmonic Analysis. John Wiley and Son, New York, 1968.

Metodología:

Son clases convencionales, que, debido al número reducido de alumnos, se completan con la participación de los mismos en la exposición de alguno de los temas presentados, donde el alumno debe de enfrentarse a un material nuevo (normalmente en inglés), entenderlo y explicar una parte ante el resto de los compañeros.

Criterios de evaluación:

Exposición oral de una parte de un tema del curso, presentando el tema también por escrito para su calificación final.