Programa:

1. Repaso de los conceptos básicos sobre sistemas dinámicos
2. Introducción al concepto de estabilidad.
3. Funciones de Liapunov. Definición. Condiciones necesarias y suficientes de estabilidad. Aplicaciones. Funciones de Liapunov globales. Sistemas de tipo gradiente. Teorema de Conley.
4. Teorema de la variedad estable. Espacios estables de sistemas lineales. Puntos hiperbólicos. Teorema de la variedad estable para aplicaciones. Teorema de la variedad estable para flujos. Variedades estables de las órbitas periódicas. Criterio de estabilidad para órbitas periódicas de sistemas en el plano.
5. Sistema dinámicos hiperbólicos. Ejemplos. El shift de Bernouilli. Sistemas conjugados a un subshift.
6. Sistemas hamiltonianos y aplicaciones twist. Clasificación de los puntos de equilibrio y propiedades elementales de estabilidad. Introducción a la teoría de oscilaciones. Teorema KAM. Teorema twist de Moser. Esquema de su prueba para el caso analítico. Aplicación del Teorema KAM: el problema restringido plano de tres cuerpos. Difusión de Arnold.
7. Puntos no hiperbólicos. Conjuntos normalmente hiperbólicos. Variedades centro. Aplicaciones. Expansión (Blow-up) de puntos de equilibrio no hiperbólicos. Aplicaciones a la Mecánica Celeste.
8. Estabilidad estructural. Concepto. Origen histórico. Genericidad y transversalidad. Propiedades básicas. Estabilidad estructural de los sistemas sobre la circunferencia. Sistemas Morse-Smale. Caso dos dimensional. No densidad de los sistemas estructuralmente estables. Teorema de Hayashi.
9. Prácticas en el aula de informática.

Objetivos pedagógicos:

Los objetivos del presente curso son esencialmente cuatro:
1.- Introducción a los conceptos básicos de estabilidad.
2.- Extensiones a casos no genéricos pero importantes.
3.- Introducción al estudio de la estabilidad de los sistemas.
4.- Enlace con otras asignaturas del programa (topología diferencial) , introduciendo la estabilidad de funciones.

Se espera conseguir que con todo esto el estudiante adquiera una visión panorámica de la teoría de la estabilidad.
El primer objetivo se consigue a partir de los temas I a V. Muchos de los conceptos que se desarrollan ya los posee el estudiante por haber entrado en contacto con ellos en los anteriores ciclos. No obstante se da por supuesto que el estudiante responde a un abanico amplio y que posiblemente desconozca esta parte básica. Por ello se explica y se motiva con cierto detalle.
Los temas V , VI y VII se dedican a los casos no genéricos. Los dos primeros temas forman un bloque en el que contrasta un tema con el otro. En uno nos centramos en la parte de propiedades no caóticas (Teorema KAM); mientras que junto en el siguiente se da una introducción matemática a conceptos ampliamente difundidos incluso fuera del mundo no universitario come es el caso de los fenómenos caóticos.
La evolución científica lleva a pasar del estudio de entorno de órbitas de un sistema al estudio de un entorno de un sistema particular considerando sus perturbaciones. Esto conduce al concepto de estabilidad estructural que se desarrolla en el Tema V. Se hace hincapié en las implicaciones de este concepto tanto desde las aplicaciones como de las limitaciones que supone para el estudio cualitativo de ecuaciones la no densidad de los sistemas estructuralmente estables.
El curso de teoría de estabilidad se complementa asimismo con otro curso del programa: Teoría de la bifurcación. Justo cuando se pierde la estabilidad estructural de un sistema se puede producir una bifurcación. El estudiante reforzará así sus conocimientos sobre sistemas dinámicos.

Bibliografía recomendada:

• Arnold.- Geometric Methods in The Theory of Ordinary Differential Equations. Springer-Verlag. 1983.
• Chillingword, D.- Differential Topology with a View to Applications. Pitman. 1976.
• Devaney.- Chaotic Dynamical Systems. Addison-Wesley. 1989.
• Guckenheimer, Holmes.- Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of vector-fields. Springer-Verlag. 1983.
• Hirsch.- The dynamical systems approach to differential equations. Bull. AMS, 11. 1-64, 1984.
• Katok, Hasselblatt.- Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge U. P. 1995.
• Moser, J. Stable and Random Motions in Dynamical Systems. Princeton.1973.
• Palis, Melo. Geometric theory of dynamical systems. Springer-Verlag. 1982.
• Robinson.- Dynamical Systems. CRC Press. 1998.
• Siegel, Mose.- Lecture Notes on Celestial Mechanics. Springer-Verlag. 1971.
• Takens.- Introduction to global analysis. Communications of the math. Inst. Rijksuniversiteit. 1973.

Metodología:

El temario del curso se desarrolla a una media de 3 o 4 horas dedicados a cada tema. Depende de la formación e intereses de los estudiantes el que se profundice más o menos en un determinado tema.
De una parte se intenta un incremento de la formación básica del estudiante lo que lleva a centrarse bastante en la comprensión de conceptos y el desarrollo de bastantes demostraciones y ejemplos en la parte básica. De otra parte no se quiere dejar de lado el que el estudiante tenga una visión panorámica del tema de estabilidad. Por ello en la segunda parte más avanzada del tema de muchos de los teoremas solamente se ofrece una idea del método de demostración.
El curso consiste en los desarrollos teóricos expuestos en clase y en una serie de ejercicios que se les va proponiendo a los estudiantes a lo largo del mismo. Estos ejercicios dependen de los intereses propios de cada alumno. El hecho de ser muchas las aplicaciones hace posible esta particularización. De este modo se consigue que se interesen en los desarrollos de las clases ya que se verán obligados a aplicarlos a los ejercicios individualizados que se les proponen. Por otra parte se les proponen unos pocos ejercicios para que se resuelvan en subgrupos. La idea es obligarles a hablar, a comunicarse al respecto de los conceptos que se van introduciendo.
El curso se desarrolla mediante una sola clase semanal. Esto hace que se prolongue durante bastante tiempo y permita trabajar correctamente los ejercicios propuestos.
Asimismo se dedica unas horas del curso a que utilicen un programa que permita simular numéricamente los fenómenos dinámicos que se explican y se pueda reforzar su capacidad de analizar problemas concretos. Se suele utilizar el Phaser, el Mathematica o un paquete con el MuPad que he desarrollado para el estudio de sistemas discretos o continuos.

Criterios de evaluación:

La nota final se obtiene a partir de cuatro notas parciales:

• La de un examen convencional con un temario teórico muy reducido respecto a lo que se ha desarrollado en el curso y que comprende lo más importante.
• La nota obtenida a base de la calificación de los ejercicios individuales propuestos.
• Los ejercicios del subgrupo del que el estudiante forme parte.
• El trabajo desarrollado con cálculos numéricos u otros trabajos adicionales que elabore el estudiante como temas concretos, frecuentemente asociados a los ejercicios que va resolviendo.

Los dos primeros apartados son los de mayor peso, aproximadamente un 40% de la nota cada uno, dejando el resto para los dos últimos items.