Programa:

• Fibrados vectoriales: definición, ejemplos, operaciones con fibrados vectoriales, homomorfismos, pull-back, fibrados vectoriales complejos.
• Conexiones sobre fibrados vectoriales: definición, ejemplos, diferencial covariantes de formas con valores vectoriales, tensor de curvatura, matriz de 1-formas conexión y de 2-formas curvatura. Fibrados vectoriales hermíticos. Holonomía. Operadores estrella y codiferencial. Ecuaciones de Yang-Mills.
• Fibrados principales: Definición. Ejemplos. Fibrados asociados. Conexiones sobre fibrados principales. Relación con la conexión de un fibrado vectorial asociado.
• Clases características. Brevísimo repso de la cohomología de de Rham. Polinomios invariantes. Forma trasgresión. Clases de Chern. Propiedades functoriales. Relación con la existencia de secciones globales en fibrados vectoriales complejos. Clases de Pontrjagin. Clase de Euler. Teorema de Gauss Bonnet

Objetivos pedagógicos:

Familiarizarse con los espacio fibrados (especialmente con los fibrados vectoriales), haciendo observar al alumno como aparecen de modo natural en campos tan diveros como la Geomatría Riemanniana, la Física Matemática o la Topología diferencial. Junto a ello, que adquieran habilidades de cálculo , especialmente en lo que se refiere a la derivación covariante y al manejo de la curvatura, con sus aplicaciones al cálculo del álgebra de holonomía y de clases características en algunos ejemplos.

Bibliografía recomendada:

• Theodore Frankel, "The Geometry of Physiscs. An Introduction", Cambridge University Press, Cambridge (UK) 1997.
• Jürgen Jost, "Riemannian Geometry and Geometric Analyis", Second edition, Springer Verlag, 1998
• Walter A. Poor, "Differential Geometric Structures, McGraw-Hill, New York, London, 1981.
• Dominic D. Joyce, Compact Manifolds with Special Holonomy, Oxford university Press, 2000
• Liviu I. Nicolaescu, Lectures on the Geometry of Manifolds, World Scientific, Singapore, New Jersey, 1996.
• Soichi Kobayashi and Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry I y II, Interscience Publishers, New York, 1963 y 1969.
• John Milnor and J. D. Stashef, Characteristic Classes, Princeton University Press, Princeton,1974.
• Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry,, volumes 1, 2 and 5, Third Edition, Publish or Perish, Boston, 1999.
• Peter B. Gilkey, Invariance Theory, the Heat Equation and the Atiyah-Singer Index Theorem, Second Edition, CRC, Boca Raton, London,1994
• Dale Husemoller, Fibre Bundles, Third Edition, Springer Verlag, New York, Berlin,1994.
• Raymond O. Wells, Differential Analysis on Complex Manifolds, Second Edition, Springer Verlag, New York, Berlin, 1980.

Metodología:

Sesiones de hora y media en la que el profesor hace énfasis en los conceptos, los ejemplos, las ideas de las demostraciones y algunos puntos más sutiles en las mismas, dejando para que el alumno complete, con ayuda de la bibliografía, los detalles más rutinarios de las mismas. Las últimas sesiones (de tres a cinco, dependiendo del número de alumnos) se dedican a la exposición, por parte de los alumnos, de trabajos que se han asignado a cada uno durante el curso.

Criterios de evaluación:

El profesor puntúa, fundamentalmente, la realización de un trabajo sobre fibrados, tanto en su contenido como por el modo de exponerlo en clase. Este trabajo puede ser: sobre alguna cuestión que interesa al alumno en la que intervengan los espacios fibrados, la exposición de alguna de las cuestiones vistas en clase desde otro punto de vista, con técnicas diferentes, la compleción de detalles largos y trabajosos dejados en clase para el alumno, o, con más frecuencia, el estudio detallado de algún ejemplo concreto. La puntuación de este trabajo puede ser matizada por la intervención en clase del alumno.