Programa:

• El grupo general lineal. Subgrupo de Borel y subgrupo de Weyl. Descomposición de Bruhat.
• Grupos primitivos. Teorema de Iwasawa.
• El grupo especial lineal. Generación j. Subgrupo derivado.
• Simplicidad de los PSL(n,k).
• Propiedades comunes a las geometrías ortogonal y simplética. El teorema de Witt.
• El grupo simplético.
• Transvecciones simpléticas.
• Simplicidad de los PSp(2n,k).
• Estructura del grupo ortogonal. El teorema de Cartan-Dieudonné.

Objetivos pedagógicos:

El estudio de los grupos: general lineal, especial lineal, simplético y ortogonal y de sus correspondientes proyectivos contribuirá notablemente a completar la formación matemática recibida en las materias: Álgebra Lineal, Álgebra Multilineal y Álgebra, impartidas en la Licenciatura. La construcción y manejo de grupos concretos ayudará indudablemente al conocimiento de la teoría de grupos en general. La obtención de nuevas familias de grupos simples es un objetivo importante del programa. Paralelamente se completarán los conocimientos de Álgebra Geométrica, introduciendo las propiedades comunes a las geometrías ortogonal y simplética y demostrando el teorema de Witt de extensión de isometrías. Además, el interés de estos temas trasciende de la Licenciatura de Matemáticas, de hecho es conocida la relación de la teoría de grupos con la mecánica cuántica, como puede apreciarse en los trabajos de Wigner y Von Neumann (1950). El principio de Neumann afirma que si un sistema tiene un grupo de simetrías asociado, entonces cualquier hecho físico observable de dicho sistema, posee las mismas simetrías. Consideramos por tanto que puede ser un curso puente entre distintas Licenciaturas (Físicas-Matemáticas).

Bibliografía recomendada:

• Alperin-Bell.Groups and representation. Springer, 1995.
• Artin. Geometric Álgebra Iinterscience Pub. 1957.
• Deheuvels. Formes quadratiques et groupes classiques.Presses Universitaires de France, 1981.
• Dieudonné. Sur les groupes classiques. Herman 1958.
• Huppert. Endliche Gruppen I, Springer 1967.
• Lam- The algebraic theory of quadratic forms,Benjamin,1973
• Jacobson. Basic Álgebra I,Ii Freeman and Co. 1974.
• Rotman. The theory of groups:an introduction, Allyn and Bacon, 1973.
• Taylor. The geometry of the classical groups, Sigma Series, 1992.

Metodología:

En la primera parte del programa, se utilizarán los conocimientos de acción de grupos sobre conjuntos, que el alumno ha adquirido en Álgebra (4º curso). El grupo simétrico de grado n aparecerá concretizado en el subgrupo de Weyl de GL(n,k), formado por las matrices permutación. Las matrices elementales Pij(t), introducidas en Álgebra Lineal y utilizadas posteriormente en Álgebra Multilineal , tendrán ahora una nueva consideración ,al dar lugar a las transvecciones, que conjuntamente con las matrices diagonales regulares, generarán al GL(n,k). Para esta parte elegimos el texto de Alperin-Bell que tiene un tratamiento ágil y directo.
Uno de los temas que ha atraído los esfuerzos de un gran número de algebristas en los últimos años, ha sido la clasificación de grupos simples. El alumno conoce hasta el momento que todo grupo alternado de grado mayor o igual que 5 es simple, Es momento de ampliar dicho conocimiento . Con la introducción del teorema de Iwasawa , que es un criterio sencillo de simplicidad de grupos primitivos, probaremos que los grupos PSL(n,k) exceptuados los casos (2,2) y (2,3), son simples.
Para probar la simplicidad de los PSp(2n,k) necesitaremos ampliar los conocimientos de Álgebra Geométrica que el alumno ha adquirido en Álgebra Multilineal (2º curso). Seguiremos para ello el texto clásico de Artin. Una vez demostrado el teorema de Witt de extensión de isometrías, los textos de Huppert y Taylor nos conducirán a la obtención ,de la forma más directa posible, de la simplicidad de dichos grupos exceptuados los casos (2,2), (2,3) y (4,2).
En lo relativo al grupo ortogonal, seguiremos el tratamiento dado en el texto de Lam.
A medida que se expongan los temas, se plantearán cuestiones teóricas complementarias, así como problemas relacionados, que serán resueltos por los alumnos y expuestos por ellos mismos en la pizarra.

Criterios de evaluación:

Dado el número de alumnos que asisten habitualmente a los cursos de doctorado, es aconsejable un tipo de clase participativa, de forma que prácticamente se pueda establecer un coloquio profesor-alumno sobre los temas desarrollados y realizar así una evaluación continuada. La exposición de las cuestiones complementarias y problemas , comentada en el apartado anterior, se reflejará en la calificación.