Programa:

• Introducción a las superficies de Bézier: Polinomios de Bernstein, definición y propiedades de curvas y superficies de Bézier.
• Superficies de Bézier armónicas. Relación con la teoría de superficies minimales con fronteras libres.
• Representación de Weiertrass de una superficie minimal. Generación de superficies de Bézier minimales y isotermas.
• Unicidad de la superficie de Enneper.
• Extremales del funcional de Dirichlet para superficies de Bézier. Teoremas de convergencia hacia las superficies minimales.
• Comparación con la generación de superficies de Bézier mediante el uso de máscaras.
• Mejora de los extremales del funcional de Dirichlet usando el funcional que genera el operador de Laplace-Beltrami.
• Extensión de los métodos estudiados a otros tipos de operadores diferenciales: superficies biharmónicas, superficies generadas mediante la ecuación de ondas, etc.

Objetivos pedagógicos:

Las superficies de Bézier no son más que superficies polinómicas pero desde la óptica del diseño asistido por computadora. El curso pretende mostrar cómo los métodos de la geometría diferencial pueden resolver algunos de los problemas que se generan con el uso de estas superficies, como por ejemplo la determinación y la generación de superficies de área mínima fijada la frontera.
A la vez, el uso de este tipo de superficies ofrece una posibilidad de aproximación de superficies minimales, una posibilidad alternativa al uso de superficies discretas.

Bibliografía recomendada:

• A. Bobenko, U. Pinkall, “Discrete isothermic surfaces, J. Reine Angew. Math., 475:187-208, 1996
• G. Farin, “Curves and surfaces for computer aided geometric design. A practical guide”, Morgan Kaufmann, 5th. ed., (2001).
• G. Farin, J. Hoschek and M.-S. Kim, eds. “Handbook of Computer Aided Geometric Design”, Ed. North-Holland Elsevier (2002).
• J. Gallier, “Curves and surfaces in geometric modeling. Theory and algorithms”, Morgan Kaufmann Publ., (2000).
• J. C. C. Nitsche, “Lectures on minimal surfaces”, vol. 1, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1989).
• R. Osserman, “A survey of minimal surfaces”, Dover Publ., (1986).
• K. Polthier, W. Rossman, “Discrete constant mean curvature surfaces and their index”, J. Reine Angew. Math., 549, (2002) 47--77.

Metodología:

Además de la metodología típica de la enseñanza en matemáticas, cabe decir que la comprensión de los métodos de generación de superficies se mejora notablemente cuando se pueden ejercitar gracias a las facilidades de cálculo y de representación gráfica de los computadores. Por ello, además de las sesiones teóricas se programaran también unas sesiones prácticas en los laboratorios de informáticas de la facultad. La extensión en el tiempo de estas clases prácticas será como mucho de una tercera parte del total.
Cada día se plantearan a los estudiantes una colección de ejercicios relacionados con la parte ya vista y que deberán entregar en la clase siguiente. Los ejercicios serán tanto teóricos como prácticas, es decir, que algunos necesitaran resolverse utilizándolas facilidades de cálculo y de representación de superficies de paquetes como el Matemática.

Criterios de evaluación:

La evaluación de los estudiantes se realizará a partir de las soluciones de los ejercicios que ellos entreguen.