Programa:

• Topología de Variedades:
  • La definición de variedad
  • Dimensión de una variedad
  • Propiedades topológicas básicas
  • Inmersiones de variedades en el espacio euclídeo
  • Teorema de separación de Jordan
  • Teorema de separación de Jordan Brower
• Foliaciones:
  • Teorema de Frobenius. Formulaciones equivalentes.
  • Interpretación geométrica de las soluciones del teorema de Frobenius.
  • Topología de las hojas.
  • Holonomia de las hojas.
  • Obstrucción topológica a la integrabilidad.
  • Teoremas de Bott y Paternack.
  • Subvariedades de las Foliaciones de Riemann. Aplicaciones

Objetivos pedagógicos:

En el primer apartado (1 crédito) se pretende introducir al alumno en el estudio de las Variedades desde el punto de vista topológico.
En el segundo apartado (2 créditos) se contempla una introducción a las principales técnicas que se utilizan en la teoría de las foliaciones (integrabilidad, teoría de subvariedades, holonomía, obstrucción topológica, etc…). Se pretende igualmente que el alumno sepa interrelacionar estas técnicas con las de otras especialidades de la Geometría Diferencial, tales como espacios fibrados y homogéneos o Geometría de Riemann. Se procurará que el alumno pueda usar indistintamente los métodos local y global. También se procurará poner de manifiesto la interrelación que existe en la teoría de las foliaciones entre la Topologia y la Geometría.

Bibliografía recomendada:

Para el apartado A:

• M. Brown, Locally flat imbeddings of topological manifolds. Ann. Of Math. 75 (1962), 331-341.
• R. J. Daverman, Decompositions of manifolds. Pure and Applied mathematics 124, Academic Press (1986).
• J. M. Montesinos Amilibia, Manifolds. Notas de curso. Departamento de Geometría y Topología. Universidad Complutense.
• A. R. Pears, Dimension Theory of General Spaces. Cambridge University Press (1975).
• T. B. Rushing, Topological embeddings,. Pure and Applied Mathematics, Vol. 52, Academic Press (1973).

Para el apartado B:

• R. Bott. Lectures on characteristic classes and foliations. Notes by Lawrence Conlon, with two appendices by J. Stasheff. Lectures on algebraic and differential topology (Second Latin American School in Math., Mexico City, 1971), pp. 1--94. Lecture Notes in Math., Vol. 279, Springer, Berlin, 1972.
• F. G. B. Brito - R. Langevin - H. Rosenberg. Integrales de courbure sur des variétés feuilletées. J. Diff. Geometry, 16, 19-50, (1981).
• S. Kobayashi - K. Nomizu. Foundations of Differtential Geometry, Intersc. Publ. N. Y. , V. I, (1963), V. II, (1969).
• P. Molino. Feuilletages riemanniens réguliers et singuliers. (French) [Regular and singular Riemannian foliations] Géométrie différentielle (Paris, 1986), 173--201, Travaux en Cours, 33, Hermann, Paris, 1988.
• A. Montesinos. Variedades diferenciables (Notas). Departamento de Geometría y Topología de la Universitat de Valencia, (2003).
• A. M. Naveira - D. L. Johnson. A topological obstruction to the geodesibility of foliations old dimension. Geometriae Dedicata, 11, 347 - 352, (1981).
• A. M. Naveira . A classification of riemannian almost product manifolds Rendiconti di Mathematica di Roma, 3, 578 - 586, (1983).
• J. S. Pasternack. Foliations and compact Lie group actions. Comment. Math. Helv. 46, 467-477, (1971).
• B. L. Reinhart. Foliated manifolds with bundle-like metrics. Ann. Of Math. 69, (119-131), (1959).
• F. W. Warner. Foundations of Differentiable manifolds and Lie Groups. Scott Foresman, London, (1970).

Metodología:

El curso consta de 30 horas lectivas en las que los profesores explican los conceptos, ilustrándolos con diversos ejemplos, procurando hacer una mención especial de los resultados principales y mostrando posibles vías de trabajo que vayan surgiendo. Una vez finalizada la explicación teórica de cada tema, se procurará ilustrar la materia con ejercicios prácticos, los cuales pueden proceder de publicaciones científicas afines. Estos ejercicios deben estar seleccionados con especial cuidado para poder mantener la homogeneidad de los contenidos. Frecuentemente, serán los propios alumnos los que expongan estos ejercicios. Se procurará en todo momento dar al alumno la bibliografía básica necesaria y enseñarle, en la medida de lo posible, el uso de bibliotecas, hemerotecas y de los diversos medios informáticos necesarios.

Criterios de evaluación:

Aparte de los trabajos expuestos por los alumnos, cuya exposición se realizará siempre fuera del horario lectivo asignado al curso, se valorará la destreza adquirida en la asimilación y manipulación de los diversos conceptos y técnicas introducidas a lo largo del curso mediante una prueba de carácter teórico-practico. Se procurará que las cuestiones propuestas permitan calificar de una manera adecuada la comprensión de los conceptos explicados y analizados a lo largo del curso.