Programa:

1. Tensores simétricos en el espacio- tiempo:
   • Bases del espacio de Minkowski. Clasificación causal de subespacios.
   • Formas de Jordan en dimensión cuatro. Notación de Weiler- Segré.
   • Tensores simétricos. Clasificación de Churchill- Plebanski.
   • Formas canónicas en base isótropa real.
   • Tensor energía- momento. Descomposición relativa a un observador.
   • Las condiciones de energía de Plebanski.
2. Congruencias de observadores. Magnitudes relativas:
   • Observador local. Tiempo propio y espacio propio.
   • Proyector ortogonal.
   • Descomposición de un tensor relativa a un observador.
   • Magnitudes cinemáticas: aceleración, rotación, distorsión y expansión de una congruencia temporal.
3. Tensores antisimétricos en el espacio- tiempo:
   • Notación y definiciones previas.
   • Autovalores y autovectores de una 2- forma. Clasificación algebraica.
   • La 2- forma campo electromagnético. Ecuaciones de Maxwell.
   • El tensor de energía de Minkowski. Rotaciones de dualidad.
   • Estructura 2 + 2 asociada a un campo electromagnético regular. Ecuaciones de Maxwell- Rainich.
   • Campos electromagnéticos de radiación pura. Teorema de Mariot- Robinson.
4. Curvatura y tensor de Weyl:
   • Propiedades de las doble 2- formas.
   • Descomposición algebraica del tensor de curvatura. Tensor de Weyl.
   • Tensor de Cotton. Identidades de Bianchi.
   • Identidades de Ricci. Evolución de l'expansión y la distorsión.
5. Conformidades. Espacio- tiempos conformemente planos:
   • Métricas conformes. Conformidades y magnitudes cinemáticas.
   • Tensores de curvatura de dos métricas conformes.
   • Espacios conformemente planos. Teorema de caracterización.
   • Espacios de curvatura constante.
6. Isometrías. Campos de Killing:
   • Derivada de Lie. Propiedades.
   • Generadores de isometrias: campos de Killing.
   • Álgebra de Lie de los campos de Killing.
   • Simetría maximal y curvatura constante. Álgebra de de Sitter.
   • Condiciones de integrabilidad de les ecuaciones de Killing.
   • Métricas de Robertson- Walker. Caracterizaciones.
   • Espacio- tiempos con simetría esférica.
7. Clasificación algebraica del tensor de Weyl:
   • El Weyl, endomorfismo del espacio de las 2- formes autoduales.
   • Clasificación de Petrov- Bel.
   • Algoritmo de determinación del tipo algebraico.
   • Las direcciones de Debever. Ecuaciones de Debever- Sachs.
   • Formas canónicas y direcciones principales del campo gravitatorio.
   • Aplicaciones de la clasificación de Petrov- Bel.
   • Espacio- tiempos algebraicamente especiales. Teorema de Golberg- Sachs.

Objetivos pedagógicos:

Que el estudiante de doctorado de Matemáticas amplíe y aplique los conceptos de Álgebra, Análisis y Geometría Diferencial, que seguramente conoce, al estudio de la Gravitación y del Electromagnetismo en el contexto de la Relatividad General.

Bibliografía recomendada:

• L. P. Eisenhart, Riemannian Geometry (Princenton U.P., Princenton, 1949)
• R. M. Wald, General Relativity (The University of Chicago Press, Chicago, 1984)
• N. Straumann, General Relativity and Relativistic Astrophysics (Springer-Verlag, Berlin, 1984)
• A. L. Besse, Einstein Manifolds (Springer-Verlag, Berlin, 1987)
• H. Stephani, General Relativity, (Cambridge University Press, Cambridge, 1982).
• F. de Felice, C. J. S. Clarke, Relativity on Curved Manifolds (Cambridge U.P., Cambridge, 1990)
• H. Stephani, D. Kramer, M. Maccallum, C. Hoenselaers, and E. Herlt, E. Exact Solutions to Einstein's Field Equations, (Cambridge University Press, Cambridge, 2003). Segunda edición.

Metodología:

Se sigue fundamentalmente el sistema de clases magistrales exponiendo los resultados (sin demostración) mediante transparencias. La mayor parte del tiempo se dedica a la motivación (física
y matemática) de los mismos y a su relación con las diversas disciplinas y entre sí. Se reparten
apuntes con las demostraciones, con más o menos detalle, según el criterio que marca la marcha del
curso y que conviene a su desarrollo por parte del alumno.

Criterios de evaluación:

A lo largo del curso se reparten varias hojas con enunciados de ejercicios. Se trata de aplicar el contenido de los diversos temas a cuestiones concretas. El objetivo es que sean resueltos por los alumnos en grupos reducidos y calificados por el profesor a lo largo del curso. Para cualquier consulta sobre los ejercicios se sigue el sistema tradicional de tutorías (con horario completamente libre) a iniciativa del estudiante si lo requiere.