Programa:

• Espacios y grupos topológicos.
• Grupos profinitos y complecciones.
• El grupo de Galois de una extensión no finita: grupos profinitos como grupos de Galois.
• Estructura aritmética de los grupos profinitos: teoría de Sylow.
• Subnormalidad y permutabilidad en grupos profinitos

Objetivos pedagógicos:

Como objetivo general, el curso pretende ser una introducción elemental y rigorosa a los grupos profinitos. Lógicamente, el conocimiento de los grupos topológicos es esencial para el manejo de los grupos profinitos y sus propiedades básicas, primero de los objetivos particulares. Se pretende, asimismo, que el alumno maneje grupos de Galois de extensiones no finitas y sepa caracterizarlos como grupos profinitos.
La segunda parte del curso persigue como objetivo principal el conocimiento de la estructura de los grupos profinitos a través de herramientas aritméticas como la teoría de Sylow y las propiedades de inmersión como la permutabilidad y subnormalidad.

Bibliografía recomendada:

• J. R. Bastida, Field extensions and Galois Theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Addison-Wesley Publ. Co., 1984.
• N. Bourbaki, Elements of mathematics. Algebra, Chapters 4-7. Springer-Verlag, Berlin, 1990.
• P. Hall, A characteristic property of soluble groups. J. London Math. Soc. 12, (1937), 198-200.
• P. J. Higgins, Introduction to topological groups. London Math. Soc. Lecture Note Series 15. Cambridge University Press, 1974.
• L. Ribes, Introduction to profinite groups and Galois cohomology. Queen’s papers in Pure and Applied Mathematics, 24. Queen’s University, Kingston Ontario, 1970.
• J. S. Wilson, Profinite groups, London Math. Soc. Monographs, Oxford Science Publications, Clarendon Press, Oxford, 1998.

Metodología:

El curso consta de 30 horas lectivas en las que el profesor explica los conceptos y resultados más relevantes de cada lección. Los ejemplos y la motivación son el punto de arranque en cada una de ellas. Posteriormente, se insiste en el trabajo personal del alumno como complemento a lo explicado en pizarra bien a través de ejercicios, bien a través de trabajos y exposición oral de los mismos.

Criterios de evaluación:

La evaluación del curso se realizará a partir de los trabajos y ejercicios realizados y expuestos por los alumnos. Se valorarán los conocimientos adquiridos y la habilidad en su manejo. La capacidad de generar nuevos problemas es un aspecto que tendrá una influencia notable en la evaluación del trabajo del alumno.