Programa:

• Orientación
• Integración de formas diferenciables
• Dominios con frontera diferenciable. Teorema de Stokes
• Cohomología de De Rham y Cohomología con soporte compacto
• Dualidad de Poincaré
• Teoremas de Künneth
• Teorema de De Rham

Objetivos pedagógicos:

Se trata de ofrecer un curso que pueda resultar accesible para estudiantes que sólo conozcan las materias troncales del área de geometría y topología y que a la vez sea atractivo y útil para estudiantes que vayan a realizar su doctorado en cualquiera de las materias de matemática fundamental así como en aplicaciones a la física. La primera mitad del curso (temas 1-3) está dedicada a completar la asignatura troncal "Variedades" en un aspecto fundamental como es la teoría de integración. En la segunda, nos proponemos un estudio completo de la cohomología de De Rham que aparte del indudable interés que tiene en sí misma, procura un ejemplo de la utilidad de la teoría de integración estudiada en la primera parte.

Bibliografía recomendada:

• Matsushima, Y. Differentiable manifolds Marcel Dekker, 1972
• Greub, W., Halperin, S., Vanstone, R. Connections, curvature and cohomology, Academic Press, 1972
• Lang, S. Fundamentals of Differential Geometry , Springer Verlag, 1999

Metodología:

Aproximadamente la mitad de las clases son impartidas por el profesor y en la otra mitad son los propios estudiantes quienes exponen los trabajos que van realizando. En cuanto a la forma de explicación que es la misma en todos los casos, se aprovecha que el número de estudiantes es pequeño para que sigan el modelo de seminarios en los que la participación de los asistentes es muy activa.
Los trabajos que se proponen a los estudiantes pueden ir desde completar detalles de las demostraciones hasta preparar exposiciones sobre temas complementarios, que puedan ser de particular interés para ellos, dependiendo del dominio en el que estén comenzando su investigación, como por ejemplo: integración invariante en grupos de Lie, integración en variedades Riemannianas, espacios de Sobolev en variedades, etc.

Criterios de evaluación:

Se tienen en cuenta para la evaluación, la participación activa en las clases y tutorías y la redación y exposición de los trabajos. Para los estudiantes que no superen la materia, existiría una posibilidad de repesca en forma de examen que contendría tanto cuestiones teóricas como ejercicios.