Programa:

• Introducción a los problemas generales en Topología Diferencial. Comentarios sobre problemas relacionados con la clasificación de las variedades y las aplicaciones diferenciables.
• Espacios de surtidores y multisurtidores.
• Topologías de Whitney.
• Transversalidad. Definición. Propiedades. Teorema de Morse-Sard. Teoremas de transversalidad.
• Transversalidad y surtidores: Teorema de Transversalidad de Thom. Teorema de transversalidad para multisurtidores.
• Aplicaciones:
  • Teoremas de inmersión de Whitney.
  • Técnicas básicas en Geometría Genérica.
• Introducción a la Teoría de Morse. Funciones de Morse. Niveles regulares y pegamientos de células. CW-complejos.

Objetivos pedagógicos:

Se pretende que el alumno aprenda a manejar las principales técnicas de trabajo en Topología Diferencial ( transversalidad, topologías de Whitney y espacios de surtidores de aplicaciones diferenciables) y sus relaciones con otras áreas de trabajo en Geometría y Topología. Con el objetivo de ilustrar el uso de dichas técnicas se estudian algunas aplicaciones. En particular, se estudia, a través de la Introducción a la Geometría Genérica, la posibilidad de describir mediante el uso de las técnicas típicas de la Topología diferencial, ciertas propiedades geométricas así como conclusiones de tipo global sobre subvariedades del espacio euclídeo.
Con la Introducción a la Teoría de Morse se pretende que el alumno relacione las herramientas de la Topología Diferencial con las propias de la Topología Algebraica, obteniendo así una visión más completa sobre las técnicas básicas de investigación en Topología.

Bibliografía recomendada:

• Th. Bröcker y K. Jänich, Introducción a la Topología Diferencial. Editorial AC, Madrid (1977) (Traducción de Einfuehrung in die Differentialtopologie, Springer-Verlag (1973)).
• M. Golubitsky y V. Guillemin, Stable Mappings and Their Singularities. Graduate Texts in Maths. Springer-Verlag, New York-Heildelberg-Berlín (1973).
• M. W. Hirsch, Differential Topology. Graduate Texts in Maths. Springer-Verlag, New York-Heildelberg-Berlín (1976) y (1994).
• A. A. Kosinski, Differential manifolds. Academic Press, Inc., New York (1993).
• J. Margalef Roig y E. Outerelo Domínguez, Differential Topology. North Holland Maths Studies 173. North Holland Publ. Co., Amsterdam (1992).
• J. Milnor, Morse Theory. Annals of Math. Studies 51, Princeton University Press, New Jersey (1963).
• V. Guillemin y A. Pollack, Differential Topology. Prentice Hall (1974).

Metodología:

El módulo consta de 30 horas lectivas en las que el profesor explica los conceptos, ilustrándolos con diversos ejemplos y contextualizando los principales resultados y líneas de trabajo que surgen de la Teoría estudiada. La demostración de algunos resultados (teoremas de inmersión, estabilidad, genericidad de aplicaciones, etc.) cuya elaboración requiere de la manipulación de varias de las técnicas explicadas se proponen como trabajo individual (proporcionando la bibliografía complementaria adecuada) a los alumnos, que deberán exponerlos y discutirlos a lo largo del curso.

Criterios de evaluación:

La evaluación del curso se realizará a partir de los trabajos desarrollados y expuestos por los alumnos, así como la resolución de ejercicios personalizados que requieran la utilización de las técnicas aprendidas en el curso. Se valorizará la destreza adquirida en la manipulación de los conceptos y técnicas introducidas en el curso, así como la comprensión de la relevancia de los resultados estudiados en el contexto general de la materia explicada.