7.1 Polinomios de interpolación de Lagrange

Un polinomio de interpolación de Lagrange, p, se define en la forma:

$$p(x) = y_{0}\ell_{0}(x) + y_{1}\ell_{1}(x) + \cdots + y_{n}\ell_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n} y_{k}\ell_{k}(x)$$ (68)

en donde $\ell_{0}, \ell_{1}, \dots, \ell_{n}$ son polinomios que dependen sólo de los nodos tabulados $x_{0},x_{1},\dots,x_{n}$, pero no de las ordenadas $y_{0},y_{1},\dots,y_{n}$. La fórmula general del polinomio $\ell_{i}$ es:

$$\ell_{i}(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$$ (69)

Para el conjunto de nodos $x_{0},x_{1},\dots,x_{n}$, estos polinomios son conocidos como funciones cardinales. Utilizando estos polinomios en la ecuación (68) obtenemos la forma exacta del polinomio de interpolación de Lagrange.

Ejemplo: Suponga la siguiente tabla de datos:

x	5	-7	-6	0
y	1	-23	-54	-954

Construya las funciones cardinales para el conjunto de nodos dado y el polinomio de interpolación de Lagrange correspondiente.

Las funciones cardinales, empleando la expresión (69), resultan ser:

$$\begin{array}{ll} \ell_{0}(x) = \frac{(x+7)(x+6)x}{(5+7)(5+6... ...l_{3}(x) = \frac{(x-5)(x+7)(x+6)}{(0-5)(0+7)(0+6)} \end{array}$$

El polinomio de interpolación de Lagrange es:

$$p_{3}(x) = \ell_{0}(x) -23\ell_{1}(x) - 54\ell_{2}(x) - 954\ell_{3}(x)$$