7.3 Splines cúbicos  7. Interpolación  7.1 Polinomios de interpolación

7.2 Interpolación de splines

Una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido sobre un subintervalo, que se unen entre sí obedeciendo a ciertas condiciones de continuidad.

Supongamos que disponemos de n+1 puntos, a los que denominaremos nudos, tales que $t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{n}$. Supongamos además que se ha fijado un entero $k \geq 0$. Decimos entonces que una función spline de grado k con nudos en $t_{0}, t_{1},\dots, t_{n}$ es una función S que satisface las condiciones:

(i)

en cada intervalo $\left[ t_{i-1},t_{i} \right)$, S es un polinomio de grado menor o igual a k.

(ii)

S tiene una derivada de orden (k-1) continua en $\left[ t_{0},t_{n} \right]$.

Los splines de grado 0 son funciones constantes por zonas. Una forma explícita de presentar un spline de grado 0 es la siguiente: $$S(x) = \left\{\begin{array}{ll}S_{0}(x) = c_{0} & x \in \......{n-1} & x \in \left[ t_{n-1},t_{n} \right)\end{array}\right.$$

Los intervalos $\left[ t_{i-1},t_{i} \right)$ no se intersectan entre sí, por lo que no hay ambigüedad en la definición de la función en los nudos. Un spline de grado 1 se puede definir por:

$$S(x) = \left\{\begin{array}{ll}S_{0}(x) = a_{0}x+b_{0} & ......{n-1} & x \in \left[ t_{n-1},t_{n} \right)\end{array}\right.$$  

En las figuras (16) y (17) se muestran las gráficas correspondientes a los splines de grado cero y de grado 1 respectivamente.
 
 

   

Figure: Spline de grado 0 con seis puntos.

[scale=1.0]eps/spline-1

      

Figure: Spline de grado 1 con seis puntos.

[scale=1.0]eps/spline-2

  

1998-05-11