Análisis de datos unidimensionales

MEDIDAS DE POSICIÓN : indicadores de conjunto que informan de "por dónde " se sitúan los datos. Las hay de tendencia central y medidas no centrales.

1) la media de las desviaciones de la variable respecto a la media aritmética es cero.

Dada la distribución de la variable estadística x , y dada una nueva variable y construida como:

4) la media aritmética de la agrupación de 2 o más conjuntos de datos es la media (ponderada por las observaciones) de las medias de los distintos conjuntos.

Conjunto de datos	1º	2º	3º	Global ( agregado de los tres)
Nº de observaciones	N₁	N₂	N₃	N₁+ N₂+N₃
Media

M .GEOMÉTRICA. Tiene utilidad para promediar tasas, Números índices y porcentajes. Típicamente se emplea en el calculo del tipo de interés medio (equivalente)

MEDIANA (Me) es el valor de la variable que, ordenados los datos de menor a mayor, deja a izquierda y derecha el mismo número de observaciones. El valor de la variable que tiene una frecuencia acumulada de N/2.

En el caso de una distribución "no agrupada" su determinación no presenta problemas.

En el caso de una distribución con los valores agrupados por intervalos: habrá de detectarse primero el "intervalo mediano"( aquel intervalo en el que se produzca una acumulación de frecuencia de N/2).Después obtendremos el valor "intrapolando" gráficamente, suponiendo que la distribución de frecuencias dentro del intervalo es "uniforme":

Una vez detectado el intervalo mediano, aquél en el que la frecuencia acumulada llega a sobrepasar la mitad del total de las observaciones, consideraremos como valor de la mediana la abscisa correspondiente al punto de corte del polígono acumulativo y la recta Y=N/2 .La determinación de ese valor puede resolverse fácilmente por semejanza de triángulos:

MODA (Mo). La moda es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia. (puede haber más de una)

En el caso de una distribución de valores sin agrupar su determinación no presenta problemas.

En el caso de una distribución con los valores agrupados por intervalos se requiere:

1) determinar el "intervalo modal"que es el de mayor densidad de frecuencia (mayor altura en el histograma) (sólo coincide con el de mayor frecuencia si los intervalos tienen la misma amplitud)

2) se determina el valor concreto de la moda, considerando que será un valor interno del intervalo modal que estará más cerca del intervalo vecino con mayor densidad de frecuencia y más lejos del intervalo vecino con menor densidad de frecuencia (de forma proporcional):

CUARTILES HAY 3: Qj es el valor de la variable cuya frecuencia acumulada es j N/4

DECILES HAY 9 : Dj es el valor de la variable cuya frecuencia acumulada es j N/ 10

CENTILES (PERCENTILES) HAY 99: Cj es el valor de la variable cuya frecuencia acumulada es j N/ 100

MEDIDAS DE DISPERSIÓN miden cuánto se dispersan ( en términos globales) los valores de la variable respecto de alguna medida de tendencia central.

Además de indicar la variabilidad (dispersión) de la distribución sirven para matizar la representatividad de las medidas de tendencia central).

VARIANZA ( S^²): está considerada (junto con la desviación típica) el mejor indicador de la variabilidad global de la distribución, mide la dispersión de los datos respecto a la media aritmética, de hecho, nos suministra el valor medio del cuadrado de las desviaciones de los valores respecto de la media :

Tiene el inconveniente de medirnos la dispersión en términos del cuadrado de las unidades en las que este medida la variable, por lo que muy a menudo se utiliza su raíz cuadrada: la DESVIACIÓN TÍPICA:

2ª) Dada una transformación lineal y de una variable x:

, la varianza de la nueva variable y queda como:

Lógicamente la desviación típica de la nueva variable será:

Son indicadores de la dispersión de la distribución que se han relativizado, para que no afecten las unidades de medida de la variable y para que puedan hacerse comparaciones entre las dispersiones de conjuntos de datos dispares.

Mide, en términos relativos, la dispersión alrededor de la media aritmética, es el más utilizado, aunque presenta el inconveniente que es sensible a los cambios de "origen" en los valores de la variable.

Son indicadores genéricos de una distribución.Se basan en una generalización de la idea de media, concretamente se tratará de la media aritmética de la r-sima potencia de los valores de la variable ( o de sus desviaciones respecto a la media aritmética).Es interesante el hecho de que si dos distribuciones son iguales todos sus infinitos momentos coinciden.

los momentos ordinarios se ven afectados por los cambios de origen y de escala (unidad) en los valores de la variable.

Se cumple que : m₀= 1 ; m₁= 0 ; m₂= S² ; y son interesantes los de tercer y cuarto orden .

Donde la potenciación simbólica (r) debe entenderse que afecta como subíndice a la a y como potencia a la media:

Dada una variable estadística x una nueva variable estadística y, será una transformación lineal de x cuando cada valor de y (yi) dependa de cada observación de x (xi) según una función lineal:

El comportamiento de los momentos centrales de orden r es: mr(y) = b ^{^{^r}}.mr(x)

TIPIFICACIÓN(canónica):Es la operación de realizar una transformación lineal en la variable para que la (nueva) variable transformada, tenga por media , cero , y por desviación típica, uno .

Consiste en restar a la variable la media y dividirla por la desviación típica:

La tipificación permite la comparición de valores puntuales (puntuaciones) de dos distribuciones distintas de distintas medias y varianzas.

Es extraordinariamente útil para construir indicadores de comparación universal (univariantes: coeficiente de asimetría y coeficiente de curtosis;; y multivariantes : coeficientes de correlación).

A través de las medidas de posición y de dispersión, podemos hacernos una idea de por donde se sitúan los valores de la variable y cuánto se dispersan en términos globales .Pero si queremos conocer algo más de la forma en que se distribuye los valores necesitamos otros indicadores.

Los indicadores de SIMETRÍA/ ASIMETRÍA deberán informarnos de si los valores de la distribución se disponen simétricamente alrededor de la media, o bien si se decantan en mayor medida hacia la derecha (asimetría a derechas, o positiva) o hacia la izquierda (asimetría a izquierdas, o negativa), sin necesidad de representar gráficamente la distribución de frecuencias.

Como se trata de determinar si la disposición se decanta hacia un lado u otro de la media será necesario trabajar con un indicador que nos considere las diferencias de los de valores y de la media (con su signo).Por tanto habrá que considerar un momento central de orden impar. El de orden uno no es útil porque siempre se anula.

Pero si estamos interesados en encontrar un indicador la simetría/ asimetría, que no dependa de las unidades (del cubo de las unidades) y que nos permita hacer comparaciones de carácter universal, m3 no nos es útil. Por esta razón se define el coeficiente de asimetría como:

Dependiendo del número de observaciones que haya en la zona central de la distribución y del que haya en las zonas alejadas dos distribuciones con la misma varianza pueden tener dos perfiles distintos, con mayor o menor forma " de punta ".Al mayor o menor "apuntamiento" que puede tener una distribución con independencia del valor que tome su varianza se le llama CURTOSIS (o APUNTAMIENTO). [ver gráfico]

Como nos interesa comparar (ponderadamente) el número de observaciones cercanas a la media con el número de observaciones lejanas (con independencia del signo de su distancia a la media), para medir la curtosis, deberemos considerar un momento central de orden par; pero como la curtosis es el mayor o menor apuntamiento con independencia de la varianza, deberemos considerar el momento central de orden 4:

Pero si queremos disponer de una medida valida para la comparación universal, el hecho de que m₄ dependa de las unidades ( de la cuarta potencia de las unidades) es un inconveniente, por lo que deberemos considerar como indicador de la curtosis el momento de cuarto orden la variable tipificada: m₄(t)

Por último suele considerarse el coeficiente de curtosis "relativizado" para permitir la comparación del apuntamiento de la distribución con el apuntamiento "patrón" que es el que tiene (el modelo Normal) la DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD (campana de Gauss), cuyo momento de cuarto orden tipificado es tres.Por ello se define el coeficiente de curtosis como el momento central de cuarto orden de la variable tipificada menos tres unidades:

Las medidas de concentración nos informan de la concentración de la distribución , entendida en un sentido distinto al de la antinomia "dispersión/ concentración": miden lo que podríamos llamar la concentración en sentido "económico":miden el mayor o menor "grado de igualdad en el reparto de la totalidad de los valores de la variable.

De esta manera si una pequeña parte de la población (unos pocos individuos) tiene una gran parte del total de la variable (renta, salario, capital, etc.), la variable estará muy concentrada (en pocas manos).Sin embargo, si se guardan las proporciones entre individuos y parte del total que se reparten la distribución será igualitaria, homogénea, poco o nada concentrada.

la proporción del monto total que se haya acumulado en el primer intervalo es igual a la proporción sobre el total de los individuos que se lo reparten.

la proporción del monto total que se haya acumulado en el segundo intervalo es igual a la proporción sobre el total de los individuos que se lo reparten.

MÁXIMA CONCENTRACIÓN: Sólo un individuo acumula el total del monto y el resto de los individuos no tienen nada.

Una forma de representar la concentración de la distribución es a través de esta gráfica:

Suponiendo la distribución agrupada por intervalos y siendo xi la marca de clase de cada intervalo (el punto medio) el monto acumulado en el primer intervalo será: u₁ = x₁ . n₁

Los porcentajes del monto total acumulados hasta cada intervalo (cada tramo) podrán obtenerse como:

De la misma manera podemos obtener, para cada intervalo , el porcentaje (sobre el total de individuos) de los individuos que lo integran: p_i=N_i / N .100

Considerando esto, es evidente que , en el caso de máxima igualdad en el reparto, q_i y p_i deben ir creciendo exactamente en la misma medida.

Una manera de representar la concentración de la distribución será a través de un gráfico de ejes coordenados en el que se representen los pares de puntos (q_i , p_i).La curva que una esos puntos será la Curva de Lorenz , que debería coincidir con la diagonal en el caso de máxima homogeneidad.

Así pues a través de la curva de Lorenz puede representarse gráficamente la concentración de la distribución.La curva obtenida puede compararse con la que se da en los dos casos extremos para darnos una idea de la concentración de la distribución estudiada:

Un indicador numérico de la concentración es el índice de concentración de Gini, que equivale al doble del área encerrada entre la curva de Lorenz y la diagonal.El índice de Gini tomará, entonces el valor 1 en el caso de máxima concentración y el valor 0 en el caso de máxima uniformidad.El índice de Gini admite la siguiente expresión de cálculo: