Espai afí euclidià

Introduïm a continuació el concepte d’espai afí euclidià i els sistemes de referència rectangulars.

Definició 1 (Espai afí euclidià) Un espai afí euclidià és un espai afí $(E,V,+)$ definit sobre un $\mathbb{R}$-espai vectorial euclidià $(V,\cdot)$.

Definició 2 (Sistema de referència rectangular) Donat un espai afí euclidià $(E,V,+)$, un sistema de referència afí $\mathcal{R}=(O, \mathcal{B})$ s’anomenarà sistema de referència rectangular si $\mathcal{B}$ és una base ortonormal.

Nota

Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià de dimensió $n$ i siguen $\mathcal{R}=(O, \mathcal{B})$ i $\overline{\mathcal{R}}=(\overline{O}, \overline{\mathcal{B}})$ dos sistemes de referència rectangulars. Aleshores la matriu afí de canvi de sistema de referència d’$\overline{\mathcal{R}}$ a $\mathcal{R}$, és a dir, la matriu introduïda en la definició corresponent, \[ \mathsf{P} = \left[ \begin{array}{c|c} 1&\begin{matrix}0&\cdots&0\end{matrix} \\ \hline \mathsf{B}&\mathsf{A} \end{array} \right] \qquad\mbox{amb}\quad \left\lbrace \begin{array}{ll} \mathsf{B}\in\mathrm{M}_{n1}(\mathbb{R})&\quad\mbox{coordenades d'}\overline{O}\mbox{ en }\mathcal{R},\\ \mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})&\quad\mbox{matriu canvi de base d'}\overline{\mathcal{B}}\mbox{ a }\mathcal{B}, \end{array} \right. \] és una matriu per a la qual $\mathsf{A}$ és una matriu ortogonal, d’acord amb la proposició sobre canvis de base entre bases ortonormals.

Projecció ortogonal

En aquesta secció presentem la noció de projecció ortogonal d’un punt respecte d’una varietat afí i donarem diferents caracteritzacions d’aquest punt.

Proposició 1 Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià, $P$ un punt en $E$ i $W_{Q}$ una varietat afí en $E$, aleshores existeix un únic punt $T\in E$ que satisfà

$T\in W_{Q}$;
$\overrightarrow{PT}\in W^{\perp}$.

Demostració. Considerem el vector $\overrightarrow{PQ}$ i considerem la seua projecció ortogonal a $W$, és a dir, $\mathrm{p}_{W}(\overrightarrow{PQ})$. Per la definició de projecció ortogonal, $\mathrm{p}_{W}(\overrightarrow{PQ})$ és l’únic vector en $V$ que satisfà \[ \mathrm{i.}\quad \mathrm{p}_{W}(\overrightarrow{PQ})\in W; \qquad\qquad \mathrm{ii.}\quad \overrightarrow{PQ}-\mathrm{p}_{W}(\overrightarrow{PQ})\in W^{\perp}. \]

Definim el punt $T$ com \[ T=Q-\mathrm{p}_{W}(\overrightarrow{PQ}). \]

Per construcció, obtenim que \[ \mathrm{i.}\quad T\in W_{Q}; \qquad\qquad \mathrm{ii.}\quad \overrightarrow{PT}=\overrightarrow{P(Q-\mathrm{p}_{W}(\overrightarrow{PQ}))}=\overrightarrow{PQ}-\mathrm{p}_{W}(\overrightarrow{PQ})\in W^{\perp}. \]

Només ens queda comprovar la unicitat de $T$. Suposem que existira un altre punt $T'$ satisfent que \[ \mathrm{i.}\quad T'\in W_{Q}; \qquad\qquad \mathrm{ii.}\quad \overrightarrow{PT'}\in W^{\perp}. \]

Aleshores trobem, per Chasles, que \[ \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PT'}+\overrightarrow{T'Q}. \]

En aquesta darrera expressió, $\overrightarrow{T'Q}\in W$ i $\overrightarrow{PT'}\in W^{\perp}$. Per la definició de projecció ortogonal, trobem que $\mathrm{p}_{W}(\overrightarrow{PQ})=\overrightarrow{T'Q}$. Així, \[ T'=Q-\overrightarrow{T'Q}=Q-\mathrm{p}_{W}(\overrightarrow{PQ})=T. \]

Queda així demostrada la unicitat de $T$.

Definició 3 (Projecció ortogonal d’un punt en una varietat afí) Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià, $P$ un punt en $E$ i $W_{Q}$ una varietat afí en $E$. Definim la projecció ortogonal de $P$ en $W_{Q}$ com l’únic punt $T\in E$ que satisfà

$T\in W_{Q}$;
$\overrightarrow{PT}\in W^{\perp}$.

La Proposició 1 garanteix l’existència i unicitat d’aquest punt, que denotarem també per \[\mathrm{p}_{W_{Q}}(P).\]

La següent proposició ens donarà una forma alternativa d’obtindre la projecció ortogonal d’un punt en una varietat afí. Aquest punt es pot caracteritzar com l’únic element de la intersecció entre la varietat considerada i la varietat que passa pel punt i té com a espai director l’espai perpendicular al director de la varietat donada.

Proposició 2 Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià, $P$ un punt en $E$ i $W_{Q}$ una varietat afí en $E$. Aleshores \[ W_{Q}\cap W^{\perp}_{P}=\{\mathrm{p}_{W_{Q}}(P)\}. \]

Demostració. Per simplificar la demostració, anomenem $T=\mathrm{p}_{W_{Q}}(P)$. Seguint la Definició 3, $T$ és l’únic punt en $E$ que satisfà \[ \mathrm{i.}\quad T\in W_{Q}; \qquad\qquad \mathrm{ii.}\quad \overrightarrow{PT}\in W^{\perp}. \]

Com a conseqüència de (ii) i de la caracterització de l’espai director tenim que \[ \mbox{(iii)}\quad T\in W^{\perp}_{P}. \]

Notem que $T\in W_{Q}\cap W^{\perp}_{P}$. Així, per la proposició sobre la intersecció de varietats afins i la proposició sobre el complement ortogonal, tenim que \[ W_{Q}\cap W^{\perp}_{P}=(W\cap W^{\perp})_{T}=\{0\}_{T}=\{T\}. \]

Com volíem demostrar.

Definició 4 (Varietats afins ortogonals) Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià i $W_{P}$ i $U_{Q}$ dues varietats afins en $E$. Direm que les varietats $W_{P}$ i $U_{Q}$ són perpendiculars, i ho denotarem $W_{P}\perp U_{Q}$, si es dona una de les següents inclusions \[ W\leq U^{\perp};\qquad\qquad U^{\perp}\leq W. \]

Nota

En la Definició 4 el perpendicular pot considerar-se tant sobre un subespai com sobre l’altre. Si $(E,V,+)$ és un espai afí euclidià i $W_{P}$ i $U_{Q}$ són dues varietats afins, aleshores són equivalents \[ W\leq U^{\perp}\quad\mbox{ si, i només si, }\quad U\leq W^{\perp}; \] \[ U^{\perp}\leq W\quad\mbox{ si, i només si, }\quad W^{\perp}\leq U. \]

Distàncies entre varietats afins

En aquesta secció definim les distàncies entre varietats afins i provarem de reduir-les a distàncies entre un punt i una varietat afí.

Definició 5 (Distància entre dos punts) Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià i siguen $P$ i $Q$ dos punts en $E$. Definim la distància entre $P$ i $Q$, i la denotarem per $\mathrm{d}(P,Q)$, com la norma del vector $\overrightarrow{PQ}$. Definim l’aplicació distància com \[ \begin{array}{rccl} \mathrm{d}\colon&E\times E&\longrightarrow &\mathbb{R}\\ &(P,Q)&\longmapsto &\left\lVert\overrightarrow{PQ}\right\rVert \end{array} \]

Les següents propietats són conseqüència directa de la definició de producte escalar.

Corol·lari 1 Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià i siguen $P,Q$ i $R$ tres punts en $E$, aleshores

$\mathrm{d}(P,Q)=0$ si, i només si, $P=Q$;
$\mathrm{d}(P,Q)=\mathrm{d}(Q,P)$;
$\mathrm{d}(P,Q)\leq \mathrm{d}(P,R)+\mathrm{d}(R,Q)$.

Exemple 1 Sobre l’espai afí euclidià estàndard $\mathbb{R}^{n}$, considerem dos punts $P$ i $Q$ en $\mathbb{R}^{n}$. Si considerem el sistema de referència canònic $\mathcal{R}_{\mathrm{c}}$ i anomenem

$\begin{bmatrix} p_{1}& \cdots& p_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ les coordenades de $P$ en $\mathcal{R}_{\mathrm{c}}$;
$\begin{bmatrix} q_{1}& \cdots& q_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ les coordenades de $Q$ en $\mathcal{R}_{\mathrm{c}}$,

aleshores $\overrightarrow{PQ}=(q_{1}-p_{1},\cdots, q_{n}-p_{n})$. Així, l’aplicació distància en aquest cas envia el parell $(P,Q)$ a la norma d’aquest vector, és a dir, \[ \mathrm{d}(P,Q)=\left\lVert\overrightarrow{PQ}\right\rVert= +\sqrt{(q_{1}-p_{1})^{2}+\cdots+(q_{n}-p_{n})^{2}}. \]

A continuació estenem la definició de distància entre punts a distància entre varietats afins.

Definició 6 (Distància entre dues varietats afins) Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià i siguen $W_{P}$ i $U_{Q}$ dues varietats afins. Definim la distància entre $W_{P}$ i $U_{Q}$, i la denotarem per $\mathrm{d}(W_{P},U_{Q})$, com la menor de les distàncies possibles entre els punts de $W_{P}$ i els punts d’$U_{Q}$, és a dir, \[ \mathrm{d}(W_{P},U_{Q})=\mathrm{min}\{\mathrm{d}(R,S)\in\mathbb{R}\mid R\in W_{P},\, S\in U_{Q}\}. \]

El que vorem a continuació és que les distàncies entre varietats sempre es poden reduir a distàncies entre dos punts. Primerament comprovarem que la distància d’un punt a una varietat afí és la distància entre eixe punt i la seua projecció ortogonal a la varietat afí.

Proposició 3 Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià, $P$ un punt en $E$ i $W_{Q}$ una varietat afí, aleshores \[ \mathrm{d}(P,W_{Q})=\mathrm{d}(P,\mathrm{p}_{W_{Q}}(P)). \]

Demostració. De la demostració feta en la Proposició 1, la projecció ortogonal de $P$ en $W_{Q}$ és el punt donat per \[ T=Q-\mathrm{p}_{W}(\overrightarrow{PQ}). \]

A més, aquest punt és l’únic que satisfà \[ \mathrm{i.}\quad T\in W_{Q}; \qquad\qquad \mathrm{ii.}\quad \overrightarrow{PT}\in W^{\perp}. \]

Així, si $S$ és un punt qualsevol en $W_{Q}$, trobem que \[ \begin{aligned} \mathrm{d}(S,P)&= \left\lVert\overrightarrow{SP}\right\rVert &&\text{(definició de distància)} \\&= \left\lVert\overrightarrow{SQ}+\overrightarrow{QP}\right\rVert &&\text{(Chasles)} \\&= \left\lVert\overrightarrow{SQ}-\overrightarrow{PQ}\right\rVert &&\text{(1)} \\&\geq \left\lVert\mathrm{p}_{W}(\overrightarrow{PQ})-\overrightarrow{PQ}\right\rVert &&\text{(2)} \\&= \left\lVert-\overrightarrow{QT}-\overrightarrow{PQ}\right\rVert &&\text{(definició de $T$)} \\&= \left\lVert\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QT}\right\rVert &&\text{(3)} \\&= \left\lVert\overrightarrow{PT}\right\rVert &&\text{(Chasles)} \\&= \mathrm{d}(T,P), &&\text{(definició de distància)} \end{aligned} \] en què, en (1), hem emprat les propietats bàsiques dels espais afins, en (2) el teorema de la millor aproximació, tenint en compte que $\overrightarrow{SQ}\in W$, i en (3) les propietats de la norma.

Per tant, $\mathrm{d}(P,W_{Q})=\mathrm{d}(P,T)$.

En el següent teorema demostrem que la distància entre varietats afins sempre es pot recuperar com la distància d’un punt a una varietat suma. Açò, juntament amb la proposició anterior, ens garanteix que la distància entre dues varietats afins sempre és la distància entre dos punts d’aquestes varietats afins.

Teorema 1 (Distància entre varietats afins) Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià i siguen $W_{P}$ i $U_{Q}$ dues varietats afins, aleshores \[ \mathrm{d}(W_{P},U_{Q})=\mathrm{d}(P,(W+U)_{Q}). \]

Demostració. Comprovarem que tota distància entre dos punts de $W_{P}$ i $U_{Q}$, respectivament, es pot recuperar com la distància entre el punt $P$ i un punt en $(W+U)_{Q}$.

Siguen $R\in W_{P}$ i $S\in U_{Q}$, aleshores existeixen vectors $w\in W$ i $u\in U$ de forma que \[ R=P+w; \qquad\qquad S=Q+u. \qquad (\triangle) \]

Aleshores es dona la següent cadena d’igualtats \[ \begin{aligned} \mathrm{d}(R,S)&= \left\lVert\overrightarrow{RS}\right\rVert &&\text{(definició de distància)} \\&= \left\lVert\overrightarrow{(P+w)(Q+u)}\right\rVert &&\text{($\triangle$)} \\&= \left\lVert\overrightarrow{PQ}+u-w\right\rVert &&\text{($(P+w)+(\overrightarrow{PQ}+u-w)=Q+u$)} \\&= \left\lVert\overrightarrow{P(Q+u-w)}\right\rVert &&\text{($P+\overrightarrow{PQ}+u-w=Q+u-w$)} \\&= \mathrm{d}(P,Q+u-w). &&\text{(definició de distància)} \end{aligned} \]

Notem que el punt $Q+u-w$ és un punt en $(W+U)_{Q}$. Per tant, \[\mathrm{d}(W_{P},U_{Q})=\mathrm{d}(P,(W+U)_{Q}).\]

En el següent exemple aprofitarem el que hem obtingut fins ara per a determinar la distància d’un punt a un hiperplà.

Exemple 2 Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià de dimensió $n$, siga $P$ un punt en $E$ i $W_{Q}$ un hiperplà. Siga $\mathcal{R}=(O,\mathcal{B})$ un sistema de referència rectangular.

Com $W_{Q}$ és un hiperplà, aleshores $\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(W)=n-1$ i, llavors, $W_{Q}$ ve determinat per una única equació cartesiana respecte de $\mathcal{R}$, és a dir, \[ W_{Q}=\left\lbrace \, R\in E \quad \middle| \quad \begin{gathered} R\mbox{ té coordenades } \begin{bmatrix} x_{1}& \cdots& x_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}} \mbox{ en }\mathcal{R} \mbox{ i}\\ a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0 \end{gathered} \right\rbrace \] \[ W=\left\lbrace \, w\in V \quad \middle| \quad \begin{gathered} w\mbox{ té coordenades } \begin{bmatrix} x_{1}& \cdots& x_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}} \mbox{ en }\mathcal{B} \mbox{ i}\\ a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0 \end{gathered} \right\rbrace. \]

Anomenem $u$ el vector de $V$ per al qual $\begin{bmatrix} a_{1}& \cdots& a_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ són les coordenades d’$u$ en $\mathcal{B}$.

Notem que, si $w$ és un vector en $W$ i anomenem $\begin{bmatrix} x_{1}& \cdots& x_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ les coordenades de $w$ en $\mathcal{B}$, aleshores, per la caracterització de $W$, es té que \[ 0=a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n} = \begin{bmatrix} a_{1}&\cdots&a_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{bmatrix} = u\cdot w. \qquad (\heartsuit) \]

Per a l’última de les anteriors igualtats només cal adonar-se que $\mathcal{B}$ és una base ortonormal i, aleshores, $\mathsf{I}_{n}$ és la matriu coordenada de $\cdot$ en $\mathcal{B}$.

L’equació en $(\heartsuit)$ ens garanteix que el vector $u$ és ortogonal a tots els vectors de $W$. Per tant, \[ W^{\perp}=\langle u\rangle. \]

Suposem que $\begin{bmatrix} p_{1}& \cdots& p_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ són les coordenades de $P$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{OP}$ en $\mathcal{B}$).

Anomenem $T$ la projecció ortogonal de $P$ en $W_{Q}$, és a dir, $T=\mathrm{p}_{W_{Q}}(P)$, i anomenem $\begin{bmatrix} t_{1}& \cdots& t_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ les coordenades de $T$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{OT}$ en $\mathcal{B}$).

Per la relació de Chasles, \[\overrightarrow{PT}= \overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OT} = -\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OT}. \]

Així, $\begin{bmatrix} t_{1}-p_{1}& \cdots& t_{n}-p_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ són les coordenades d’$\overrightarrow{PT}$ en $\mathcal{B}$.

Recordem per la Proposició 1 que $T$ és l’únic punt en $E$ que satisfà \[ \mathrm{i.}\quad T\in W_{Q}; \qquad\qquad \mathrm{ii.}\quad \overrightarrow{PT}\in W^{\perp}. \]

Aleshores, existirà un escalar $\lambda\in\mathbb{R}$ per al qual $\overrightarrow{PT}=\lambda u$. Així, prenent coordenades d’aquests vectors en la base $\mathcal{B}$, trobem la següent igualtat \[ \begin{bmatrix} t_{1}-p_{1}\\ \vdots\\ t_{n}-p_{n}\\ \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{bmatrix}. \qquad (\spadesuit) \]

Així, podem recuperar les coordenades de $T$ en el sistema de referència $\mathcal{R}$ com \[ \begin{bmatrix} t_{1}\\ \vdots\\ t_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{bmatrix} +\lambda \begin{bmatrix} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{bmatrix}. \]

Com hem dit abans, $T\in W_{Q}$. Aleshores les coordenades de $T$ en el sistema de referència afí $\mathcal{R}$ satisfan l’equació cartesiana que defineix la varietat afí $W_{Q}$, per tant \[ a_{1}\left(p_{1}+\lambda a_{1}\right) +\cdots+ a_{n}\left(p_{n}+\lambda a_{n}\right) + b =0. \]

Aquesta darrera expressió ens permet conéixer el valor de $\lambda$, \[ \lambda= \frac{ -a_{1}p_{1} -\cdots -a_{n}p_{n} -b }{ a_{1}^{2} +\cdots+ a_{n}^{2} }. \qquad (\clubsuit) \]

Aleshores trobem la següent cadena d’igualtats \[ \begin{aligned} \mathrm{d}(P, W_{Q})&= \mathrm{d}(P,T) &&\text{(1)} \\&= \left\lVert\overrightarrow{PT}\right\rVert &&\text{(definició de distància)} \\&= \left\lVert\lambda u\right\rVert &&\text{($\spadesuit$)} \\&= \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\lambda^{2}a^{2}_{i}} &&\text{($\mathcal{B}$ és base ortonormal)} \\&= \left\lvert\lambda\right\rvert \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a^{2}_{i}} &&\text{(2)} \\&= \frac{\left\lvert a_{1}p_{1} +\cdots+ a_{n}p_{n}+b \right\rvert}{ a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2} } \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a^{2}_{i}} &&\text{($\clubsuit$)} \\&= \frac{\left\lvert a_{1}p_{1} +\cdots+ a_{n}p_{n}+b \right\rvert}{ \sqrt{ a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}} }, \end{aligned} \] en què, en (1), hem emprat la Proposició 3 i en (2) les propietats de la norma.

D’aquesta forma deduïm la fórmula per a la distància d’un punt a un hiperplà.

Angles entre varietats afins

En aquesta secció introduirem els angles entre varietats afins. Aquesta definició només la presentarem per a varietats afins que van associades a un únic vector, és a dir, rectes i hiperplans. Per a aquesta secció és important recordar la definició d’angle entre vectors.

Angle entre dues rectes

Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià i siguen $W_{P}$ i $U_{Q}$ dues rectes en $E$. Així, existeixen dos vectors $w,u\in V-\{0\}$ de forma que \[ W=\langle w\rangle; \qquad\qquad U=\langle u\rangle. \]

És natural pensar que l’angle que formen aquestes dues rectes es definisca com l’angle que formen $u$ i $w$. No obstant això, caldrà vore què ocorre si haguérem agafat uns altres vectors directors. Suposem que $w'$ i $u'$ són vectors en $V-\{0\}$ de forma que \[ W=\langle w\rangle=\langle w'\rangle; \qquad\qquad U=\langle u\rangle=\langle u'\rangle. \]

Aleshores existeixen escalars $\lambda$ i $\mu$ en $\mathbb{R}$ de forma que \[ w'=\lambda w; \qquad\qquad u'=\mu u. \]

Anomenem

$\theta$ l’angle que formen els vectors $w$ i $u$, amb $\theta\in [0,\pi]$;
$\theta'$ l’angle que formen els vectors $w'$ i $u'$, amb $\theta'\in [0,\pi]$.

Aleshores trobem que \[ \mathrm{cos}(\theta)= \frac{w\cdot u} {\left\lVert w\right\rVert\,\left\lVert u\right\rVert}; \qquad\qquad \mathrm{cos}(\theta')= \frac{w'\cdot u'} {\left\lVert w'\right\rVert\,\left\lVert u'\right\rVert}. \]

Pel que hem vist adés, \[ \mathrm{cos}(\theta')= \frac{w'\cdot u'} {\left\lVert w'\right\rVert\,\left\lVert u'\right\rVert} = \frac{(\lambda w)\cdot (\mu u)} {\left\lVert \lambda w\right\rVert\,\left\lVert \mu u\right\rVert} = \frac{(\lambda\mu)\,(w\cdot u)} {\left\lvert\lambda\right\rvert\,\left\lvert\mu\right\rvert\,\left\lVert w\right\rVert\,\left\lVert u\right\rVert} = \pm \mathrm{cos}(\theta). \]

Aquesta diferència de signe podem evitar-la imposant la condició que l’angle que formen les dues rectes haja d’estar comprés entre $0$ i $\frac{\pi}{2}$.

Definició 7 (Angle entre dues rectes) Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià i siguen $W_{P}$ i $U_{Q}$ dues rectes en $E$. Així, existeixen dos vectors $w,u\in V-\{0\}$ de forma que \[ W=\langle w\rangle; \qquad\qquad U=\langle u\rangle. \] Definim l’angle que formen $W_{P}$ i $U_{Q}$ com l’únic $\theta\in [0,\frac{\pi}{2}]$ tal que \[ \mathrm{cos}(\theta)=\frac{\left\lvert w\cdot u\right\rvert}{\left\lVert w\right\rVert\,\left\lVert u\right\rVert}. \]

Angle entre dos hiperplans

Emprarem el mateix criteri que hem vist abans amb les rectes per al cas dels hiperplans. En aquest cas, ens aprofitarem del fet que l’espai ortogonal a l’espai director d’un hiperplà té dimensió $1$.

Definició 8 (Angle entre dos hiperplans) Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià i siguen $W_{P}$ i $U_{Q}$ dos hiperplans en $E$. Així, existeixen dos vectors $w,u\in V-\{0\}$ de forma que \[ W^{\perp}=\langle w\rangle; \qquad\qquad U^{\perp}=\langle u\rangle. \] Definim l’angle que formen $W_{P}$ i $U_{Q}$ com l’únic $\theta\in [0,\frac{\pi}{2}]$ tal que \[ \mathrm{cos}(\theta)=\frac{\left\lvert w\cdot u\right\rvert}{\left\lVert w\right\rVert\,\left\lVert u\right\rVert}. \]

Angle entre una recta i un hiperplà

En aquest cas, ens aprofitarem del fet que l’espai ortogonal a l’espai director d’un hiperplà té dimensió $1$ i que l’espai director de la recta també té dimensió $1$. No obstant això, en aquest cas ens caldrà prendre el complementari de l’angle que formen aquests dos vectors.

Definició 9 (Angle entre una recta i un hiperplà) Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià i siguen $W_{P}$ una recta i $U_{Q}$ un hiperplà en $E$. Així, existeixen dos vectors $w,u\in V-\{0\}$ de forma que \[ W=\langle w\rangle; \qquad\qquad U^{\perp}=\langle u\rangle. \] Definim l’angle que formen $W_{P}$ i $U_{Q}$ com el complementari de l’únic $\theta\in [0,\frac{\pi}{2}]$ tal que \[ \mathrm{cos}(\theta)=\frac{\left\lvert w\cdot u\right\rvert}{\left\lVert w\right\rVert\,\left\lVert u\right\rVert}. \]

Moviments

En aquesta secció introduïm les isometries afins i els moviments. Demostrarem que dos espais afins euclidians sobre espais vectorials de la mateixa dimensió són isomorfs. Amb açò conclourem que, per a cada dimensió, l’espai afí euclidià estàndard de la dimensió donada és l’únic model d’espai afí euclidià tret d’isometria afí.

Definició 10 (Isometria afí | Moviment) Siguen $(E_{1},V_{1},+)$ i $(E_{2},V_{2},+)$ dos espais afins euclidians sobre $\mathbb{R}$. Una aplicació $f\colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$ és una isometria afí si $f$ és una afinitat i, a més, l’aplicació lineal subjacent $\overline{f}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ és una isometria.

Si $(E,V,+)$ és un espai afí euclidià, les isometries afins del tipus $f\colon E\longrightarrow E$ s’anomenen moviments.

Una caracterització immediata de la definició d’isometria és que les isometries afins són, precisament, aquelles afinitats que preserven les distàncies.

Proposició 4 Siguen $(E_{1}, V_{1}, +)$ i $(E_{2},V_{2},+)$ dos espais afins euclidians sobre $\mathbb{R}$, amb aplicacions distància $\mathrm{d}_{1}$ i $\mathrm{d}_{2}$, respectivament, i $f\colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$ una afinitat. Les següents afirmacions són equivalents.

$f$ és isometria afí;
Per a tot parell de punts $P,Q\in E_{1}$ es té que \[ \mathrm{d}_{1}(P,Q)=\mathrm{d}_{2}(f(P),f(Q)).\]

Demostració. Suposem que $f$ és una isometria afí. Aleshores, d’acord amb la Definició 10, l’aplicació lineal subjacent a $f$, és a dir, $\overline{f}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$, és una isometria.

Siguen $P,Q\in E_{1}$, aleshores es dona la següent cadena d’igualtats \[ \begin{aligned} \mathrm{d}_{1}(P,Q)&=\left\lVert\overrightarrow{PQ}\right\rVert_{1} &&\text{(definició de distància)} \\&= \left\lVert\overline{f}\left(\overrightarrow{PQ}\right)\right\rVert_{2} &&\text{(1)} \\&= \left\lVert\overrightarrow{f(P)f(Q)}\right\rVert_{2} &&\text{($f$ és afinitat)} \\&= \mathrm{d}_{2}\left(f(P),f(Q)\right), &&\text{(definició de distància)} \end{aligned} \] en què, en (1), hem emprat que les isometries preserven les normes.

Suposem ara que, per a tot parell de punts $P,Q\in E_{1}$, es té que \[ \mathrm{d}_{1}(P,Q)=\mathrm{d}_{2}(f(P),f(Q)). \]

Així, si $v\in V_{1}$ i $P\in E_{1}$, aleshores \[ \begin{aligned} \left\lVert v\right\rVert_{1}&=\left\lVert\overrightarrow{P(P+v)}\right\rVert_{1} &&\text{(definició d'espai afí)} \\&= \mathrm{d}_{1}(P,P+v) &&\text{(definició de distància)} \\&= \mathrm{d}_{2}(f(P),f(P+v)) &&\text{(hipòtesi)} \\&= \left\lVert\overrightarrow{f(P)f(P+v)}\right\rVert_{2} &&\text{(definició de distància)} \\&= \left\lVert\overrightarrow{f(P)(f(P)+\overline{f}(v))}\right\rVert_{2} &&\text{($f$ és afinitat)} \\&= \left\lVert\overline{f}(v)\right\rVert_{2}. &&\text{(definició d'espai afí)} \end{aligned} \]

Per la caracterització de les isometries per les normes, concloem que $\overline{f}$ és una isometria. Llavors, per la Definició 10, tenim que $f$ és una isometria afí.

Exemple 3 En l’espai afí euclidià estàndard $\mathbb{R}^{2}$, l’aplicació identitat $\mathrm{id}_{\mathbb{R}^{2}}\colon\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}$, així com el gir d’angle $\frac{\pi}{4}$ i centre $(2,1)$, $\mathrm{G}_{(2,1),\frac{\pi}{4}}\colon\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}$, són moviments. En canvi, l’homotècia de centre $(1,-1)$ i raó $3$, $\mathrm{h}_{(1,-1),3}\colon\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}$, no és un moviment.

Exemple 4 Considerem els espais afins euclidians estàndard $\mathbb{R}^{2}$ i $\mathbb{R}^{3}$. La immersió d’$\mathbb{R}^{2}$ al pla $z=2$ donada per \[ \begin{array}{rccl} f\colon&\mathbb{R}^{2}&\longrightarrow&\mathbb{R}^{3}\\ &(x,y)&\longmapsto&(x,y,2) \end{array} \] és un exemple d’isometria afí que no és un moviment.

Proposició 5 Siguen $(E_{1}, V_{1}, +)$ i $(E_{2},V_{2},+)$ dos espais afins euclidians sobre $\mathbb{R}$ i $f\colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$ una afinitat.

Si $f$ és una isometria afí, aleshores $f$ és injectiva.
Si $f$ és un moviment, aleshores $f$ és bijectiva.

Demostració. Considerem el primer ítem. Com, per hipòtesi, $f$ és una isometria afí, per la Definició 10, la seua aplicació lineal subjacent $\overline{f}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ és una isometria. Per la proposició sobre la injectivitat de les isometries tenim que $\overline{f}$ és injectiva. Finalment, per la caracterització de la injectivitat de les afinitats, concloem que $f$ és injectiva.

Per al segon ítem, com $f$ és un moviment, tenim, per la Definició 10, que $(E_{1}, V_{1}, +)=(E_{2},V_{2},+)$ i que $f$ és, en particular, una isometria afí. D’acord amb l’ítem (i), $f$ és injectiva. Notem que, per la caracterització de la injectivitat de les afinitats, l’aplicació lineal subjacent $\overline{f}\colon V_{1}\longrightarrow V_{1}$ és injectiva. Per la proposició sobre imatges de bases i la caracterització de les bases per la dimensió concloem que $\overline{f}$ és un isomorfisme. Aleshores, per la caracterització de la bijectivitat de les afinitats, $f$ és bijectiva.

Proposició 6 Siguen $(E_{1}, V_{1}, +)$, $(E_{2},V_{2},+)$ i $(E_{3},V_{3},+)$ tres espais afins euclidians sobre $\mathbb{R}$ i $f\colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$ i $g\colon E_{2}\longrightarrow E_{3}$ isometries afins, aleshores la seua composició \[ g\circ f\colon E_{1}\longrightarrow E_{3} \] és una isometria afí. En particular, la composició de moviments és moviment. A més, si $(E, V, +)$ és un espai afí euclidià sobre $\mathbb{R}$ i $f\colon E\longrightarrow E$ és un moviment, aleshores la seua aplicació inversa \[ f^{-1}\colon E\longrightarrow E \] torna a ser un moviment.

Demostració. Per la proposició sobre la composició d’afinitats, la composició d’afinitats torna a ser una afinitat. A més, si $\overline{f}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ és l’aplicació lineal subjacent a $f$ i $\overline{g}\colon V_{2}\longrightarrow V_{3}$ és l’aplicació lineal subjacent a $g$, trobem que $g\circ f$ és afinitat amb aplicació lineal subjacent \[ \overline{g}\circ \overline{f}\colon V_{1}\longrightarrow V_{3}. \]

Com $f$ i $g$ són isometries afins trobem, per la Definició 10, que $\overline{f}$ i $\overline{g}$ són isometries. Pel corol·lari sobre la composició d’isometries, tenim que la composició $\overline{g}\circ \overline{f}$ torna a ser isometria. Concloem, d’acord amb la Definició 10, que $g\circ f$ és una isometria afí.

En particular, la composició de moviments torna a ser moviment.

Suposem ara que $f\colon E\longrightarrow E$ és un moviment. D’acord amb la Proposició 5, $f$ és bijectiva. Aleshores, si $\overline{f}\colon V\longrightarrow V$ és l’aplicació lineal subjacent a $f$, per la caracterització de la bijectivitat de les afinitats, $\overline{f}$ també és bijectiva. Podem considerar l’aplicació inversa \[ f^{-1}\colon E\longrightarrow E. \]

Recordem, per la proposició sobre la inversa d’un isomorfisme afí, que $f^{-1}$ és un isomorfisme afí amb aplicació lineal subjacent l’isomorfisme $\overline{f}^{-1}\colon V\longrightarrow V$. Notem que $\overline{f}^{-1}$ és un isomorfisme d’acord amb la proposició sobre la inversa d’un isomorfisme i una isometria pel corol·lari sobre la composició d’isometries. Concloem, d’acord amb la Definició 10, que $f^{-1}$ és un moviment.

Definició 11 (Grup euclidià) Siga $(E,V,+)$ un espai afí euclidià sobre $\mathbb{R}$, aleshores \[ \mathrm{GE}(E)=\{f\colon E\longrightarrow E\mid f\mbox{ és moviment}\} \] admet una estructura de grup per a la composició habitual d’aplicacions. Aquest grup rep el nom de grup euclidià per a $E$.

Definició 12 (Espais afins euclidians isomorfs) Siguen $(E_{1}, V_{1}, +)$ i $(E_{2},V_{2},+)$ dos espais afins euclidians sobre $\mathbb{R}$. Direm que $E_{1}$ i $E_{2}$ són isomorfs si podem trobar una isometria afí bijectiva entre ells.

Proposició 7 Siguen $(E_{1}, V_{1}, +)$ i $(E_{2},V_{2},+)$ dos espais afins euclidians sobre $\mathbb{R}$. Les següents afirmacions són equivalents

$E_{1}$ i $E_{2}$ són isomorfs;
$\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V_{1})=\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V_{2})$.

Demostració. Si $E_{1}$ i $E_{2}$ són isomorfs, per la Definició 12, existeix una isometria afí bijectiva $f\colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$. Siga $\overline{f}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ l’aplicació lineal subjacent a $f$. Com $f$ és bijectiva, per la caracterització de la bijectivitat de les afinitats, tenim que $\overline{f}$ és bijectiva. Aleshores, d’acord amb la definició d’espais vectorials isomorfs, $V_{1}$ i $V_{2}$ són isomorfs. Així, pel corol·lari de caracterització dels isomorfismes per la dimensió, $\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V_{1})=\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V_{2})$.

Suposem ara que $\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V_{1})=\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V_{2})=n$, per a algun natural $n\in \mathbb{N}$. Siguen $\mathcal{B}_{1}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ i $\mathcal{B}_{2}=\{d_{1},\cdots, d_{n}\}$ dues bases de $V_{1}$ i $V_{2}$, respectivament. Pel mètode de Gram-Schmidt, podem suposar que $\mathcal{B}_{1}$ i $\mathcal{B}_{2}$ són bases ortonormals. Considerem l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} h\colon& \mathcal{B}_{1}&\longrightarrow &V_{2}\\ &e_{i}&\longmapsto&d_{i} \end{array} \]

Pel teorema d’extensió, podem estendre $h$ a una aplicació lineal $h^{\sharp}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ que satisfà $h^{\sharp}\circ\mathrm{in}_{\mathcal{B}_{1}}=h$. Notem que \[ h^{\sharp}[\mathcal{B}_{1}]=\mathcal{B}_{2}. \] És a dir, $h^{\sharp}$ transforma una base ortonormal en una base ortonormal. Per la caracterització de les isometries sobre una base, $h^{\sharp}$ és una isometria de $V_{1}$ a $V_{2}$. Per la proposició sobre imatges de bases, tenim que $h^{\sharp}$ és bijectiva.

Siga $P$ un punt en $E_{1}$ i $Q$ un punt en $E_{2}$. Per la proposició de determinació d’una afinitat, existeix una única afinitat $f\colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$ tal que $f(P)=Q$ i $\overline{f}=h^{\sharp}$. Com $h^{\sharp}$ és una isometria bijectiva tenim, per la Definició 10, que $f$ és una isometria afí bijectiva. Finalment, per la Definició 12, $E_{1}$ i $E_{2}$ són isomorfs.

Corol·lari 2 L’espai afí euclidià estàndard $\mathbb{R}^{n}$ és l’únic model d’espai afí euclidià de dimensió $n$ tret d’isomorfisme.

Moviments en $\mathbb{R}^{2}$ i $\mathbb{R}^{3}$

En aquesta secció farem una xicoteta introducció als diferents moviments que podem construir en els espais afins euclidians estàndard $\mathbb{R}^{2}$ i $\mathbb{R}^{3}$.

En la següent argumentació recordarem la caracterització dels punts fixos per al cas general $\mathbb{R}^{n}$. Considerem l’espai afí euclidià estàndard $\mathbb{R}^{n}$ i siga $f\colon \mathbb{R}^{n}\longrightarrow \mathbb{R}^{n}$ una afinitat. Considerem un sistema de referència afí $\mathcal{R}=(O, \mathcal{B})$ per a $\mathbb{R}^{n}$ i anomenem

$\mathsf{A}$ la matriu coordenada d’$\overline{f}$ en $\mathcal{B}$;
$\mathsf{B}$ les coordenades d’$f(O)$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{Of(O)}$ en $\mathcal{B}$).

Aleshores trobem que, si $P$ és un punt en $\mathbb{R}^{n}$ i anomenem

$\mathsf{X}$ les coordenades de $P$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{OP}$ en $\mathcal{B}$);
$\mathsf{Y}$ les coordenades d’$f(P)$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{Of(P)}$ en $\mathcal{B}$),

trobem l’expressió coordenada d’$f$ en $\mathcal{R}$ donada per \[ \mathsf{Y}=\mathsf{B}+\mathsf{AX}. \]

Recordem, per la proposició sobre punts fixos, que $f$ tindrà un punt fixe si, i només si, el sistema d’equacions \[ (\mathsf{A}-\mathsf{I}_{n})\mathsf{X}=-\mathsf{B} \] té solució o, el que és el mateix, pel teorema de Rouché-Frobenius, \[ \mathrm{rang}(\mathsf{A}-\mathsf{I}_{n})=\mathrm{rang}(\mathsf{A}-\mathsf{I}_{n}\mid -\mathsf{B}). \]

Seguint aquesta caracterització descriurem els possibles moviments d’$\mathbb{R}^{2}$ d’acord amb les opcions per als rangs de la matriu de coeficients $\mathsf{A}-\mathsf{I}_{2}$ i la matriu ampliada $[\mathsf{A}-\mathsf{I}_{2}\mid -\mathsf{B}]$. Notem que, en el cas d’$\mathbb{R}^{2}$, les possibilitats per al rang d’$\mathsf{A}-\mathsf{I}_{2}$ van des de $0$ fins a $2$ i que el rang de la matriu ampliada satisfà la desigualtat \[ \mathrm{rang}(\mathsf{A}-\mathsf{I}_{2})\leq \mathrm{rang}(\mathsf{A}-\mathsf{I}_{2}\mid -\mathsf{B})\leq \mathrm{min}(\mathrm{rang}(\mathsf{A}-\mathsf{I}_{2})+1, 2). \]

Així, els possibles moviments d’$\mathbb{R}^{2}$ són els següents.

Moviment	$\mathrm{rang}(\mathsf{A}-\mathsf{I}_{2})$	$\mathrm{rang}(\mathsf{A}-\mathsf{I}_{2}\mid -\mathsf{B})$	Punts fixos
Identitat	$0$	$0$	Tots
Translació	$0$	$1$	Cap
Simetria axial	$1$	$1$	Recta
Simetria axial amb lliscament	$1$	$2$	Cap
Gir	$2$	$2$	Centre de gir

Descriurem ara els possibles moviments d’$\mathbb{R}^{3}$ d’acord amb les opcions per als rangs de la matriu de coeficients $\mathsf{A}-\mathsf{I}_{3}$ i la matriu ampliada $[\mathsf{A}-\mathsf{I}_{3}\mid -\mathsf{B}]$. Notem que, en el cas d’$\mathbb{R}^{3}$, les possibilitats per al rang d’$\mathsf{A}-\mathsf{I}_{3}$ van des de $0$ fins a $3$ i que el rang de la matriu ampliada satisfà la desigualtat \[ \mathrm{rang}(\mathsf{A}-\mathsf{I}_{3})\leq \mathrm{rang}(\mathsf{A}-\mathsf{I}_{3}\mid -\mathsf{B})\leq \mathrm{min}(\mathrm{rang}(\mathsf{A}-\mathsf{I}_{3})+1, 3). \]

Així, els possibles moviments d’$\mathbb{R}^{3}$ són els següents.

Moviment	$\mathrm{rang}(\mathsf{A}-\mathsf{I}_{3})$	$\mathrm{rang}(\mathsf{A}-\mathsf{I}_{3}\mid -\mathsf{B})$	Punts fixos
Identitat	$0$	$0$	Tots
Translació	$0$	$1$	Cap
Simetria planar	$1$	$1$	Pla
Simetria planar amb lliscament	$1$	$2$	Cap
Gir respecte d’un eix	$2$	$2$	Recta
Gir i translació (moviment helicoidal)	$2$	$3$	Cap
Gir i simetria	$3$	$3$	Centre de gir

Torna a dalt