Espai afí

En aquest capítol introduïm la noció d’espai afí i presentem les seues propietats fonamentals.

Definició 1 (Espai afí) Siga \(V\) un \(\mathbb{K}\)-espai vectorial. Un espai afí associat a l’espai vectorial \(V\) és una terna \((A,V,+)\) en què

• \(A\) és un conjunt no buit d’elements que anomenarem punts;
• \(+\) és una operació del tipus \[ \begin{array}{rccl} +\colon&A\times V &\longrightarrow &A\\ &(P,v)&\longmapsto &P+v \end{array} \] satisfent les següents condicions

1. Per a tot parell de punts \(P,Q\in A\) existeix un únic vector \(v\in V\) tal que \[P+v=Q.\] Aquest vector s’anomenarà el vector que va de \(P\) a \(Q\) i el denotarem per \(\overrightarrow{PQ}\).
2. Per a tot punt \(P\in A\) i tot parell de vectors \(v,w\in V\) es té que \[ (P+v)+w=P+(v+w). \]

Anomenarem dimensió de l’espai afí \((A,V,+)\) la dimensió de l’espai vectorial subjacent \(V\).

Exemple 1 Donat un cos \(\mathbb{K}\) i \(n\in\mathbb{N}\), podem considerar \(A=\mathbb{K}^{n}\), \(V=\mathbb{K}^{n}\) i \(+\) la suma habitual en \(\mathbb{K}^{n}\), és a dir, \[ \begin{array}{rccl} +\colon&\mathbb{K}^{n}\times\mathbb{K}^{n} &\longrightarrow &\mathbb{K}^{n} \\ &(P,v)&\longmapsto &P+v \end{array} \]

Aleshores \((\mathbb{K}^{n},\mathbb{K}^{n},+)\) forma un espai afí, que anomenarem espai afí estàndard sobre \(\mathbb{K}\) de dimensió \(n\).

Proposició 1 Siga \((A,V,+)\) un espai afí. Aleshores, per a qualssevol \(P,Q,R,S\in A\) es té que

1. \(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}\) (relació de Chasles);
2. \(\overrightarrow{PQ}=0\) si, i només si, \(P=Q\);
3. \(\overrightarrow{QP}=-\overrightarrow{PQ}\);
4. Si \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{RS}\), aleshores \(\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{QS}\) (regla del paral·lelogram).

Demostració. Per al primer ítem notem que \[ P+(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR})= (P+\overrightarrow{PQ})+\overrightarrow{QR}= Q+\overrightarrow{QR}= R. \] Com que \(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}\) és un vector tal que, en sumar-lo a \(P\), ens permet arribar a \(R\) aleshores, per la unicitat d’aquest tipus de vector en un espai afí, concloem que \(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}\).

Per al segon ítem, siguen \(P,Q\) punts qualssevol en \(A\), aleshores per la relació de Chasles \[ \overrightarrow{PP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ}. \] Per tant, concloem que \(\overrightarrow{PP}=0\).

Així, si \(P=Q\), trobem que \(\overrightarrow{PQ}=0\). Per altra banda, si \(\overrightarrow{PQ}=0\), aleshores trobem que \[ P=P+\overrightarrow{PP}= P+0=P+\overrightarrow{PQ}=Q. \]

Per al tercer ítem, siguen \(P,Q\) punts qualssevol en \(A\), aleshores per la relació de Chasles \[ \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{PP}=0. \] Per tant, \(\overrightarrow{QP}=-\overrightarrow{PQ}\).

Finalment, siguen \(P,Q,R,S\) punts en \(A\). Així, per la relació de Chasles trobem que \[ \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QS}=\overrightarrow{PS} =\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RS}. \] Aleshores trobem que, si \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{RS}\), necessàriament \(\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{QS}\).

Proposició 2 Si \((A,V,+)\) és un espai afí i \(P\) és un punt en \(A\), aleshores l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} \varphi_{P}\colon&A&\longrightarrow &V \\ &Q&\longmapsto &\overrightarrow{PQ} \end{array} \] és a dir, l’aplicació que a cada punt \(Q\) de l’espai li associa el vector que va de \(P\) a \(Q\), és una aplicació bijectiva. En particular, \(A\) i \(V\) tenen el mateix cardinal.

Demostració. Siguen \(Q,R\) punts en \(A\) de forma que \(\varphi_{P}(Q)=\varphi_{P}(R)\), és a dir, tals que \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PR}\), aleshores trobem que \[ Q=P+\overrightarrow{PQ}=P+\overrightarrow{PR}=R. \] Així, \(\varphi_{P}\) és injectiva.

Per contra, siga \(v\) un vector qualsevol en \(V\), aleshores per al punt \(Q=P+v\) trobem que \(\overrightarrow{PQ}=v\). Per tant, \[ \varphi_{P}(Q)=v. \] Així, \(\varphi_{P}\) és sobrejectiva.

Sistemes de referència afí

A continuació introduïm els sistemes de referència afí i deduïm les equacions del canvi de sistema de referència afí.

Definició 2 (Sistema de referència afí) Si \((A,V,+)\) és un espai afí de dimensió finita, aleshores un sistema de referència afí és un parell ordenat de la forma \[\mathcal{R}=(O,\mathcal{B})\] en què \(O\) és un punt en \(A\) que anomenarem origen i \(\mathcal{B}\) és una base de \(V\). Si \(P\) és un punt en \(A\), anomenarem coordenades de \(P\) en \(\mathcal{R}\) les coordenades del vector \(\overrightarrow{OP}\) en \(\mathcal{B}\).

Proposició 3 Siga \((A,V,+)\) un espai afí de dimensió finita, \(\mathcal{R}=(O,\mathcal{B})\) un sistema de referència afí i siguen \(P,Q\) punts en \(A\). Anomenem

• \(\mathsf{X}\) les coordenades de \(P\) en \(\mathcal{R}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{OP}\) en \(\mathcal{B}\));
• \(\mathsf{Y}\) les coordenades de \(Q\) en \(\mathcal{R}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{OQ}\) en \(\mathcal{B}\)).

Aleshores \(\mathsf{Y}-\mathsf{X}\) són les coordenades del vector \(\overrightarrow{PQ}\) en la base \(\mathcal{B}\).

Demostració. Notem que, per la relació de Chasles, \[ \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OQ}=-\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}. \] Per tant, com les coordenades del vector \(\overrightarrow{OP}\) en \(\mathcal{B}\) són \(\mathsf{X}\) i les coordenades del vector \(\overrightarrow{OQ}\) són \(\mathsf{Y}\), concloem que les coordenades del vector \(\overrightarrow{PQ}\) en \(\mathcal{B}\) venen donades per \(\mathsf{Y}-\mathsf{X}\).

Descriurem què ocorre amb les coordenades d’un mateix punt en dos sistemes de referència afí diferents. Siga \((A,V,+)\) un espai afí de dimensió finita per al qual considerem dos sistemes de referència afí diferents \[ \mathcal{R}=(O,\mathcal{B}), \qquad\qquad \overline{\mathcal{R}}=(\overline{O}, \overline{\mathcal{B}}). \] Siga \(P\) un punt en \(A\). Anomenem

• \(\mathsf{X}\) les coordenades de \(P\) en \(\mathcal{R}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{OP}\) en \(\mathcal{B}\));
• \(\overline{\mathsf{X}}\) les coordenades de \(P\) en \(\overline{\mathcal{R}}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{\overline{O}P}\) en \(\overline{\mathcal{B}}\)).

Així, per la relació de Chasles, \[ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O\overline{O}}+\overrightarrow{\overline{O}P}. \]

Per tant, si anomenem

• \(\mathsf{B}\) les coordenades d’\(\overline{O}\) en \(\mathcal{R}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{O\overline{O}}\) en \(\mathcal{B}\));
• \(\mathsf{A}\) la matriu canvi de base d’\(\overline{\mathcal{B}}\) a \(\mathcal{B}\),

trobem que \[ \mathsf{X}=\mathsf{B}+\mathsf{A}\overline{\mathsf{X}}. \]

Aquesta expressió rep el nom d’equació del canvi de sistema de referència afí d’\(\overline{\mathcal{R}}\) a \(\mathcal{R}\).

Si suposem que la dimensió de l’espai és \(n\) i desenvolupem l’equació del canvi de sistema de referència afí que acabem de deduir, trobem la següent equació entre matrius \[ \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{n} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n} \\ \vdots&\ddots&\vdots \\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overline{x}_{1} \\ \vdots \\ \overline{x}_{n} \end{bmatrix}. \]

Aquesta darrera equació matricial admet una expressió compacta de la següent forma \[ \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \hline x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c|ccc} 1&0&\cdots&0 \\ \hline \beta_{1}&\alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ \beta_{n}&\alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \hline \overline{x}_{1} \\ \vdots \\ \overline{x}_{n} \end{array} \right]. \]

Definició 3 (Matriu de canvi de sistema de referència) Siga \((A,V,+)\) un espai afí de dimensió \(n\) i siguen dos sistemes de referència afí \[ \mathcal{R}=(O, \mathcal{B}), \qquad\qquad \overline{\mathcal{R}}=(\overline{O}, \overline{\mathcal{B}}). \] Definim la matriu de canvi de sistema de referència afí d’\(\overline{\mathcal{R}}\) a \(\mathcal{R}\) com la matriu \(\mathsf{P}\in\mathrm{M}_{n+1}(\mathbb{K})\) donada per \[ \mathsf{P} = \left[ \begin{array}{c|c} 1&\begin{matrix}0&\cdots&0\end{matrix} \\ \hline \mathsf{B}&\mathsf{A} \end{array} \right] \qquad\mbox{amb}\quad \left\lbrace \begin{array}{ll} \mathsf{B}\in\mathrm{M}_{n1}(\mathbb{K})&\quad\mbox{coordenades d'}\overline{O}\mbox{ en }\mathcal{R},\\ \mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})&\quad\mbox{matriu canvi de base d'}\overline{\mathcal{B}}\mbox{ a }\mathcal{B}. \end{array} \right. \]

Nota

Les matrius de canvi de sistema de referència afí són invertibles. De fet, el seu determinant coincideix amb el determinant de la matriu canvi de base associada.

Proposició 4 Siga \((A,V,+)\) un espai afí de dimensió finita per al qual considerem dos sistemes de referència afí diferents \[ \mathcal{R}=(O,\mathcal{B}), \qquad\qquad \overline{\mathcal{R}}=(\overline{O},\overline{\mathcal{B}}). \] Siga \(P\) un punt en \(A\). Anomenem

• \(\mathsf{X}\) les coordenades de \(P\) en \(\mathcal{R}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{OP}\) en \(\mathcal{B}\));
• \(\overline{\mathsf{X}}\) les coordenades de \(P\) en \(\overline{\mathcal{R}}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{\overline{O}P}\) en \(\overline{\mathcal{B}}\));
• \(\mathsf{P}\) la matriu canvi de sistema de referència afí d’\(\overline{\mathcal{R}}\) a \(\mathcal{R}\).

Aleshores, \(\mathsf{P}\) és l’única matriu en \(\mathrm{M}_{n+1}(\mathbb{K})\) que satisfà \[ \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \hline \mathsf{X} \end{array} \right] = \mathsf{P} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \hline \overline{\mathsf{X}} \end{array} \right]. \]

Exemple 2 Es considera l’\(\mathbb{R}\)-espai afí estàndard \((\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{2},+)\) i els sistemes de referència afí donats per \[ \begin{aligned} \mathcal{R}&=(O,\mathcal{B})=((0,1),\{(1,1),(0,1)\});\\ \overline{\mathcal{R}}&=(\overline{O},\overline{\mathcal{B}}) =((-1,0),\{(1,2),(-1,1)\}). \end{aligned} \]

Siga \(P=(1,3)\) un punt en \(\mathbb{R}^{2}\). Anomenem

• \(\mathsf{X}\) les coordenades de \(P\) en \(\mathcal{R}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{OP}\) en \(\mathcal{B}\));
• \(\overline{\mathsf{X}}\) les coordenades de \(P\) en \(\overline{\mathcal{R}}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{\overline{O}P}\) en \(\overline{\mathcal{B}}\)).

Notem que \[ \overrightarrow{OP}=(1,2)=1(1,1)+1(0,1); \qquad\qquad \overrightarrow{\overline{O}P}=(2,3)=\frac{5}{3}(1,2)-\frac{1}{3}(-1,1). \]

Així, obtenim que \[ \mathsf{X}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad\qquad \overline{\mathsf{X}}=\begin{bmatrix} \frac{5}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{bmatrix}. \]

Anomenem

• \(\mathsf{B}\) les coordenades d’\(\overline{O}\) en \(\mathcal{R}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{O\overline{O}}\) en \(\mathcal{B}\));
• \(\mathsf{A}\) la matriu canvi de base d’\(\overline{\mathcal{B}}\) a \(\mathcal{B}\).

Notem que \(\overrightarrow{O\overline{O}}=(-1,-1)=-1(1,1)+0(0,1)\) i que \[ (1,2)=1(1,1)+1(0,1); \qquad\qquad (-1,1)=-1(1,1)+2(0,1). \]

Així, obtenim que \[ \mathsf{B}=\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad\qquad \mathsf{A}=\begin{bmatrix} 1&-1 \\ 1&2 \end{bmatrix}. \]

Per tant, obtenim l’expressió de canvi de sistema de referència \(\mathsf{X}=\mathsf{B}+\mathsf{A}\overline{\mathsf{X}}\) \[ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1&-1 \\ 1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{5}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{bmatrix}. \]

Finalment, si anomenem \(\mathsf{P}\) la matriu canvi de sistema de referència d’\(\overline{\mathcal{R}}\) a \(\mathcal{R}\), trobem que \[ \mathsf{P}= \left[ \begin{array}{c|cc} 1&0&0\\ \hline -1&1&-1\\ 0&1&2 \end{array} \right]. \]

Així, recuperem l’expressió de canvi de sistema de referència d’\(\overline{\mathcal{R}}\) a \(\mathcal{R}\) donada per \[ \left[ \begin{array}{c} 1\\ \hline 1\\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c|cc} 1&0&0\\ \hline -1&1&-1\\ 0&1&2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ \hline \frac{5}{3}\\ -\frac{1}{3} \end{array} \right]. \]

Varietats afins

En aquesta secció presentem les varietats afins i obtenim les seues propietats bàsiques, així com les presentacions paramètrica i cartesiana d’una varietat afí respecte d’un sistema de referència afí.

Definició 4 (Varietat afí) Siga \((A,V,+)\) un espai afí, \(W\) un subespai vectorial de \(V\) i \(P\) un punt en \(A\). Definim la varietat afí que passa per \(P\) i té \(W\) com a espai director com el conjunt de punts \[W_{P}=P+W=\{P+w\in A\mid w\in W\}.\]

Exemple 3 Siga \((A,V,+)\) un espai afí, \(W\) un subespai vectorial de \(V\) i \(P\) un punt en \(A\).

Si \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=0\), és a dir, si \(W=\{0\}\), tenim que \[W_{P}=\{P+w\in A\mid w\in \{0\}\}=\{P\}.\] Així, \(\{P\}\) és una varietat afí.

Si \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=1\), és a dir, si \(W=\langle w\rangle\), tenim que \[W_{P}=\{P+\lambda w\in A\mid \lambda\in \mathbb{K}\}.\] A la varietat afí \(W_{P}\) l’anomenarem recta que passa per \(P\) i té \(w\) com a vector director.

Si \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=2\), és a dir, si \(W=\langle u,w\rangle\), tenim que \[W_{P}=\{P+\lambda w+\mu u\in A\mid \lambda,\mu\in \mathbb{K}\}.\] A la varietat afí \(W_{P}\) l’anomenarem pla que passa per \(P\) i té \(W\) com a espai director.

Si \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n\) i \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=n-1\), a la varietat afí \(W_{P}\) l’anomenarem hiperplà que passa per \(P\) i té \(W\) com a espai director.

Proposició 5 Siga \((A,V,+)\) un espai afí, \(W\) un subespai vectorial de \(V\) i \(P\) un punt en \(A\). Aleshores \((W_{P},W,+)\), en què \[ \begin{array}{rccl} +\colon&W_{P}\times W&\longrightarrow&W_{P}\\ &(Q,w)&\longmapsto&Q+w \end{array}, \] és un espai afí.

Demostració. En aquest cas \(W_{P}\) és el conjunt de punts, \(W\) l’espai vectorial subjacent i la suma ve donada per la suma en \((A,V,+)\) restringida a \(W_{P}\times W\). Només cal comprovar que se satisfan les dues condicions que defineixen un espai afí.

Siguen \(Q,R\) dos punts en \(W_{P}\), aleshores existeixen dos vectors \(u,w\in W\) de forma que \(Q=P+u\) i \(R=P+w\). Per la relació de Chasles, trobem que \[ \overrightarrow{QR}=\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PR}=-u+w\in W. \]

Per altra banda, si \(Q\) és un punt en \(W_{P}\) i \(u,w\in W\), aleshores, com a conseqüència del fet que \((A,V,+)\) és un espai afí, trobem que \[ Q+(u+w)=(Q+u)+w. \]

Per tant, concloem que \((W_{P},W,+)\) és un espai afí.

Proposició 6 Siga \((A,V,+)\) un espai afí, \(W\) un subespai vectorial de \(V\) i \(P,Q\) dos punts en \(A\). Aleshores, les següents condicions són equivalents

1. \(Q\in W_{P}\);
2. \(W_{P}=W_{Q}\).

Demostració. Suposem que \(Q\in W_{P}\), aleshores existeix un vector \(w\in W\) tal que \(Q=P+w\). Aleshores \(P=Q-w\). Demostrarem que \(W_{P}=W_{Q}\).

Si \(R\) és un punt en \(W_{P}\), aleshores existeix un vector \(u\in W\) de forma que \(R=P+u\). Així, \(R=P+u=(Q-w)+u=Q+(-w+u)\in W_{Q}\) i obtenim que \(W_{P}\subseteq W_{Q}\). Per altra banda, si \(R\) és un punt en \(W_{Q}\), aleshores existeix un vector \(u\in W\) de forma que \(R=Q+u\). Així, \(R=Q+u=(P+w)+u=P+(w+u)\in W_{P}\) i obtenim que \(W_{Q}\subseteq W_{P}\). Per tant \(W_{P}=W_{Q}\).

Per contra, si \(W_{P}=W_{Q}\), aleshores, com que \(Q\in W_{Q}\), concloem que \(Q\in W_{P}\).

Proposició 7 Siga \((A,V,+)\) un espai afí, \(U,W\) dos subespais vectorials de \(V\) i \(P\) un punt en \(A\). Aleshores són equivalents

1. \(U\leq W\);
2. \(U_{P}\subseteq W_{P}\).

Demostració. Suposem que \(U\leq W\). Si \(Q\in U_{P}\), aleshores existeix un \(u\in U\) tal que \(Q=P+u\). Com que \(U\leq W\), trobem que \(Q\in W_{P}\). Així, \(U_{P}\subseteq W_{P}\).

Per altra banda, suposem que \(U_{P}\subseteq W_{P}\). Aleshores, si \(u\) és un vector en \(U\), tenim que \(P+u\in U_{P}\). Com que \(U_{P}\subseteq W_{P}\), existeix un vector \(w\in W\) de forma que \(P+u=P+w\). En particular, \(\overrightarrow{PP}=w-u\). Per la Proposició 1, trobem que \(0=w-u\), és a dir, \(u=w\in W\). Així, \(U\leq W\).

Proposició 8 Siga \((A,V,+)\) un espai afí, \(W\) un subespai vectorial de \(V\) i \(P\) un punt en \(A\). Aleshores \[W=\{\overrightarrow{QR}\in V\mid Q,R\in W_{P}\}.\]

Demostració. Siga \(w\in W\), aleshores \(P\) i \(P+w\) són dos punts en \(W_{P}\). Per tant \[ w=\overrightarrow{P(P+w)}\in \{\overrightarrow{QR}\in V\mid Q,R\in W_{P}\}. \]

Per altra banda, siguen \(Q,R\) dos punts en \(W_{P}\), aleshores existeixen dos vectors \(u,w\in W\) de forma que \(Q=P+u\) i \(R=P+w\). Així, \[ \overrightarrow{QR}=\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PR}= -u+w\in W. \] Concloem que \(W=\{\overrightarrow{QR}\in V\mid Q,R\in W_{P}\}\).

Presentacions d’una varietat afí

Siga \((A,V,+)\) un espai afí amb \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n\), \(W\) un subespai vectorial de \(V\) amb \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=r\) i \(P\) un punt en \(A\). Siga \(\mathcal{B}_{W}=\{w_{1},\cdots, w_{r}\}\) una base de \(W\). Considerem la varietat afí \[ W_{P}=\{P+w\in A\mid w\in W\}=\{P+\lambda_{1}w_{1}+\cdots+\lambda_{r}w_{r}\in A\mid \lambda_{1},\cdots,\lambda_{r}\in\mathbb{K}\}. \]

Per tant, \(Q\in A\) estarà en \(W_{P}\) si existeixen escalars \(\lambda_{1},\cdots, \lambda_{r}\in \mathbb{K}\) de forma que \[ Q=P+\lambda_{1}w_{1}+\cdots+\lambda_{r}w_{r}. \qquad (\text{Equació vectorial d'un punt }Q\in W_{P}) \]

Siga \(\mathcal{R}=(O, \mathcal{B})\) un sistema de referència afí en què \(\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}\). Considerem

• \(\begin{bmatrix} p_{1}& \cdots& p_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}\) les coordenades de \(P\) en \(\mathcal{R}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{OP}\) en \(\mathcal{B}\));
• \(\begin{bmatrix} q_{1}& \cdots& q_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}\) les coordenades de \(Q\) en \(\mathcal{R}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{OQ}\) en \(\mathcal{B}\)).

Per la relació de Chasles, \[ \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OQ}. \]

Aleshores, trobem que \(\begin{bmatrix} q_{1}-p_{1}& \cdots& q_{n}-p_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}\) són les coordenades d’\(\overrightarrow{PQ}\) en \(\mathcal{B}\).

Per altra banda, com que \(P,Q\) són dos punts en \(W_{P}\), per la Proposició 8, trobem que \(\overrightarrow{PQ}\in W\) i, per tant, podrà recuperar-se com a combinació lineal dels vectors en \(\mathcal{B}_{W}\). Així \[ \overrightarrow{PQ}=\lambda_{1}w_{1}+\cdots+\lambda_{r}w_{r}. \]

Però com \(\mathcal{B}\) és base de \(V\), cada vector \(w_{i}\), amb \(1\leq i\leq r\), podrà escriure’s com a combinació lineal dels vectors en \(\mathcal{B}\). Així, per a cada \(1\leq i\leq r\), podem trobar una expressió del tipus \[ w_{i}=\alpha_{1i}e_{1}+\cdots +\alpha_{ni}e_{n}=\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ji}e_{j}. \]

Per tant, \[ \overrightarrow{PQ}=\lambda_{1}w_{1}+\cdots+\lambda_{r}w_{r} = \lambda_{1}\left(\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j1}e_{j}\right) +\cdots+ \lambda_{r}\left(\sum_{j=1}^{n}\alpha_{jr}e_{j}\right). \]

Com que les coordenades d’un vector en una base són úniques per la proposició corresponent, trobem que \[ \begin{bmatrix} q_{1}-p_{1} \\ \vdots \\ q_{n}-p_{n} \end{bmatrix} = \lambda_{1} \begin{bmatrix} \alpha_{11} \\ \vdots \\ \alpha_{n1} \end{bmatrix} +\cdots+ \lambda_{r} \begin{bmatrix} \alpha_{1r} \\ \vdots \\ \alpha_{nr} \end{bmatrix} \qquad (E) \] o, equivalentment, \[ \begin{bmatrix} q_{1}\\ \vdots\\ q_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1r} \\ \vdots&\ddots&\vdots \\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nr} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} \\ \vdots \\ \lambda_{r} \end{bmatrix} \qquad (\text{Equació paramètrica d'un punt }Q\in W_{P}) \]

Per eliminació de paràmetres podem aconseguir l’equació cartesiana dels punts que estan en \(W_{P}\). Per una banda, sabem que la matriu \[ \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1r} \\ \vdots&\ddots&\vdots \\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nr} \end{bmatrix} \] té rang \(r\) per la independència lineal dels vectors en \(\mathcal{B}_{W}\). Per altra banda, tenim l’equació en (E). Aleshores, la matriu \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1r}&q_{1}-p_{1} \\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots \\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nr}&q_{n}-p_{n}\\ \end{array} \right] \] també té rang \(r\). Així, si esglaonem, trobarem que les últimes \(n-r\) files han de ser nul·les. Aquestes \(n-r\) equacions s’anomenaran equacions cartesianes de \(W_{P}\).

Exemple 4 Considerem l’espai afí estàndard \((\mathbb{R}^{3},\mathbb{R}^{3},+)\). Per al subespai vectorial \(W\leq \mathbb{R}^{3}\) i el punt \(P\in \mathbb{R}^{3}\) donats per \[ P=(1,1,0), \qquad\qquad W=\langle (1,0,1),(2,1,0)\rangle, \] treballarem les diferents presentacions de la varietat afí \(W_{P}\). Notem que \[ W_{P}=\{P+w\in \mathbb{R}^{3}\mid w\in W\} = \{(1,1,0)+\lambda (1,0,1)+\mu (2,1,0)\in\mathbb{R}^{3}\mid \lambda,\mu\in\mathbb{R}\}. \]

Així, un punt \(Q\in \mathbb{R}^{3}\) estarà en \(W_{P}\) si, i només si, existeixen escalars \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) de forma que \[ Q=(1,1,0)+\lambda (1,0,1)+\mu (2,1,0) \qquad (\text{Equació vectorial d'un punt }Q\in W_{P}) \]

Considerem el sistema de referència afí canònic \(\mathcal{R}_{\mathrm{c}}=(0_{\mathbb{R}^{3}},\mathcal{B}_{\mathrm{c}})\). Si anomenem \(\begin{bmatrix} x&y&z \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}\) les coordenades de \(Q\) en \(\mathcal{R}_{\mathrm{c}}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{0_{\mathbb{R}^{3}}Q}\) en \(\mathcal{B}_{\mathrm{c}}\)), trobem que

• \(\begin{bmatrix} 1&1&0 \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}\) són les coordenades de \(P\) en \(\mathcal{R}_{\mathrm{c}}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{0_{\mathbb{R}^{3}}P}\) en \(\mathcal{B}_{\mathrm{c}}\));
• \(\begin{bmatrix} x-1&y-1&z \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}\) són les coordenades d’\(\overrightarrow{PQ}\) en \(\mathcal{B}_{\mathrm{c}}\).

Per altra banda, per la Proposició 8, tenim que \(\overrightarrow{PQ}\in W\). Així, hauran d’existir escalars \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) de forma que \[\overrightarrow{PQ}=\lambda (1,0,1)+\mu(2,1,0).\]

A més, \(\begin{bmatrix} 1&0&1 \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}\) són les coordenades de \((1,0,1)\) en \(\mathcal{B}_{\mathrm{c}}\) i \(\begin{bmatrix} 2&1&0 \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}\) són les coordenades de \((2,1,0)\) en \(\mathcal{B}_{\mathrm{c}}\).

Com que les coordenades d’un vector en una base són úniques per la proposició corresponent, trobem que \[ \begin{bmatrix} x-1\\ y-1\\ z \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} + \mu \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}. \qquad (E) \] Equivalentment, \[ \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1&2\\ 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda\\ \mu \end{bmatrix}. \qquad (\text{Equació paramètrica d'un punt }Q\in W_{P}) \] De l’equació en (E) i del fet que \(\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(W)=2\), concloem que \[ \mathrm{rang}\left( \left[ \begin{array}{cc|c} 1&2&x-1\\ 0&1&y-1\\ 1&0&z \end{array} \right] \right) = \mathrm{rang}\left( \begin{bmatrix} 1&2\\ 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix} \right) =2. \]

Així, si fem Gauss-Jordan, les últimes \(3-2\) files de la matriu ampliada hauran de ser zero. Així \[ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&2&x-1\\ 0&1&y-1\\ 1&0&z \end{array} \right] \xrightarrow{f_{3}=f_{3}-f_{1}} \left[ \begin{array}{cc|c} 1&2&x-1\\ 0&1&y-1\\ 0&-2&-x+z+1 \end{array} \right] \xrightarrow{f_{3}=f_{3}+2f_{2}} \left[ \begin{array}{cc|c} 1&2&x-1\\ 0&1&y-1\\ 0&0&-x+2y+z-1 \end{array} \right]. \]

Per tant, \[ \begin{aligned} W_{P}&= \left\lbrace Q\in\mathbb{R}^{3} \, \middle| \, \begin{gathered} Q\mbox{ té coordenades }\begin{bmatrix} x& y& z \end{bmatrix}^{\mathsf{t}} \mbox{ en }\mathcal{R}_{\mathrm{c}} \mbox{ i} \\ -x+2y+z-1=0 \end{gathered} \right\rbrace \\&=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid -x+2y+z-1=0\}. \end{aligned} \qquad (\text{Equació cartesiana d'un punt }Q\in W_{P}) \]

Exemple 5 Reprenem l’Exemple 4. Deduirem les equacions paramètrica i cartesiana d’un punt \(Q\in W_{P}\) en un altre sistema de referència. En aquest cas considerarem \(\overline{\mathcal{R}}\) donat per \[ \overline{\mathcal{R}} =(\overline{O},\overline{\mathcal{B}}) =((3,1,0),\{(1,1,0),(-1,1,0),(0,0,1)\}). \]

Anomenem \(\begin{bmatrix} \overline{x}&\overline{y}&\overline{z} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}\) les coordenades de \(Q\) en \(\overline{\mathcal{R}}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{\overline{O}Q}\) en \(\overline{\mathcal{B}}\)).

Com que \[ \overrightarrow{\overline{O}P}=(1,1,0)-(3,1,0)=(-2,0,0)=-1(1,1,0)+1(-1,1,0), \] trobem que

• \(\begin{bmatrix} -1&1&0 \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}\) són les coordenades de \(P\) en \(\overline{\mathcal{R}}\) (coordenades d’\(\overrightarrow{\overline{O}P}\) en \(\overline{\mathcal{B}}\));
• \(\begin{bmatrix} \overline{x}+1&\overline{y}-1&\overline{z} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}\) són les coordenades d’\(\overrightarrow{PQ}\) en \(\overline{\mathcal{B}}\).

Per altra banda, per la Proposició 8, tenim que \(\overrightarrow{PQ}\in W\). Així, hauran d’existir escalars \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) de forma que \[\overrightarrow{PQ}=\lambda (1,0,1)+\mu(2,1,0).\]

A més, \(\begin{bmatrix} \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&1 \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}\) són les coordenades de \((1,0,1)\) en \(\overline{\mathcal{B}}\) i \(\begin{bmatrix} \frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&0 \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}\) són les coordenades de \((2,1,0)\) en \(\overline{\mathcal{B}}\).

Com que les coordenades d’un vector en una base són úniques per la proposició corresponent, trobem que \[ \begin{bmatrix} \overline{x}+1\\ \overline{y}-1\\ \overline{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1 \end{bmatrix} + \mu \begin{bmatrix} \frac{3}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 0 \end{bmatrix}. \qquad (\overline{\mathrm{E}}) \] Equivalentment, \[ \begin{bmatrix} \overline{x}\\ \overline{y}\\ \overline{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\ -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda\\ \mu \end{bmatrix}. \qquad (\text{Equació paramètrica d'un punt }Q\in W_{P}) \] De l’equació en (\(\overline{\mathrm{E}}\)) i del fet que \(\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(W)=2\), concloem que \[ \mathrm{rang}\left( \left[ \begin{array}{cc|c} \frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\overline{x}+1\\ -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\overline{y}-1\\ 1&0&\overline{z} \end{array} \right] \right) = \mathrm{rang}\left( \begin{bmatrix} \frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\ -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ 1&0 \end{bmatrix} \right) =2. \]

Així, si fem Gauss-Jordan, les últimes \(3-2\) files de la matriu ampliada hauran de ser zero. Així \[ \left[ \begin{array}{cc|c} \frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\overline{x}+1\\ -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\overline{y}-1\\ 1&0&\overline{z} \end{array} \right] \xrightarrow{f_{3}=f_{3}-2f_{1}} \left[ \begin{array}{cc|c} \frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\overline{x}+1\\ -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\overline{y}-1\\ 0&-3&-2\overline{x}+\overline{z}-2 \end{array} \right] \] \[ \xrightarrow{f_{2}=f_{2}+f_{1}} \left[ \begin{array}{cc|c} \frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\overline{x}+1\\ 0&1&\overline{x}+\overline{y}\\ 0&-3&-2\overline{x}+\overline{z}-2 \end{array} \right] \xrightarrow{f_{3}=f_{3}+3f_{2}} \left[ \begin{array}{cc|c} \frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\overline{x}+1\\ 0&1&\overline{x}+\overline{y}\\ 0&0&\overline{x}+3\overline{y}+\overline{z}-2 \end{array} \right]. \]

Per tant, \[ W_{P}= \left\lbrace Q\in\mathbb{R}^{3} \, \middle| \, \begin{gathered} Q\mbox{ té coordenades }\begin{bmatrix} \overline{x}& \overline{y}& \overline{z} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}} \mbox{ en }\overline{\mathcal{R}} \mbox{ i} \\ \overline{x}+3\overline{y}+\overline{z}-2=0 \end{gathered} \right\rbrace. \qquad (\text{Equació cartesiana d'un punt }Q\in W_{P}) \]

La menor varietat que conté un conjunt de punts

Definició 5 Siga \((A,V,+)\) un espai afí i siga \(\mathcal{P}\subseteq A\) un conjunt de punts en \(A\). Denotem per \(\mathcal{A}(\mathcal{P})\) la menor varietat afí que conté \(\mathcal{P}\).

Proposició 9 Siga \((A,V,+)\) un espai afí i \(\mathcal{P}=\{P_{1},\cdots, P_{t}\}\) un conjunt finit de punts en \(A\). Aleshores \[ \mathcal{A}(\mathcal{P})=P_{1}+\langle \overrightarrow{P_{1}P_{2}},\cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\rangle. \]

Demostració. Anomenem \(\mathcal{L}=P_{1}+\langle \overrightarrow{P_{1}P_{2}},\cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\rangle\). Comprovem que \(\mathcal{A}(\mathcal{P})=\mathcal{L}\).

Notem que \(\mathcal{L}\) és una varietat afí i \(P_{1}\in\mathcal{L}\). A més, per a cada \(1\leq i\leq t\) trobem que \(P_{i}\in\mathcal{L}\), ja que \(P_{i}=P_{1}+\overrightarrow{P_{1}P_{i}}\), en què \(\overrightarrow{P_{1}P_{i}}\) és un vector en l’espai director d’\(\mathcal{L}\). Per tant, \(\mathcal{P}\subseteq \mathcal{L}\).

Com \(\mathcal{A}(\mathcal{P})\) és la menor varietat afí que conté \(\mathcal{P}\), concloem que \(\mathcal{A}(\mathcal{P})\subseteq \mathcal{L}\).

Per a l’altra inclusió. Com que \(\mathcal{A}(\mathcal{P})\) és una varietat afí i conté \(\mathcal{P}\), aleshores \(\mathcal{A}(\mathcal{P})\) pot escriure’s com \(W_{P_{1}}\) per a algun subespai vectorial \(W\leq V\). Per altra banda, com que per a tot \(1\leq i\leq t\), \(P_{i}\in\mathcal{P}\), concloem, per la Proposició 8, que \(\overrightarrow{P_{1}P_{i}}\) és un vector en \(W\), per a tot \(1\leq i\leq t\). Per tant, \(\langle \overrightarrow{P_{1}P_{2}},\cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\rangle\leq W\). Així doncs, per la Proposició 7, trobem que \(\mathcal{L}\subseteq \mathcal{A}(\mathcal{P})\).

Concloem que \(\mathcal{A}(\mathcal{P})=P_{1}+\langle \overrightarrow{P_{1}P_{2}},\cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\rangle\).

Proposició 10 Siga \((A,V,+)\) un espai afí i \(\mathcal{P}=\{P_{1},\cdots, P_{t}\}\) un conjunt finit de punts en \(A\). El conjunt de vectors \(\{\overrightarrow{P_{1}P_{2}}, \cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\}\) és linealment independent si, i només si, per a cada \(1\leq i\leq t\), el conjunt de vectors \[\{ \overrightarrow{P_{i}P_{1}}, \cdots, \overrightarrow{P_{i}P_{i-1}}, \overrightarrow{P_{i}P_{i+1}}, \cdots, \overrightarrow{P_{i}P_{t}} \}\] és linealment independent. A més, per a cada \(1\leq i\leq t\), es té que \[ \langle\overrightarrow{P_{1}P_{2}}, \cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\rangle = \langle \overrightarrow{P_{i}P_{1}}, \cdots, \overrightarrow{P_{i}P_{i-1}}, \overrightarrow{P_{i}P_{i+1}}, \cdots, \overrightarrow{P_{i}P_{t}} \rangle. \]

Demostració. Comencem amb la independència lineal. De dreta a esquerra ens trobem amb un cas particular. Per a l’altra implicació, suposem que \(\{\overrightarrow{P_{1}P_{2}}, \cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\}\) és un conjunt de vectors linealment independent. Fixem un índex \(1\leq i\leq t\) i considerem una combinació lineal del tipus \[ \lambda_{1}\overrightarrow{P_{i}P_{1}}+ \cdots +\lambda_{i-1}\overrightarrow{P_{i}P_{i-1}} +\lambda_{i+1}\overrightarrow{P_{i}P_{i+1}}+ \cdots +\lambda_{t}\overrightarrow{P_{i}P_{t}} =0. \qquad (\star) \] Volem comprovar que tots els escalars que apareixen en l’anterior equació han de ser, necessàriament, igual a \(0\). Ara bé, per a tot \(1\leq k\leq t\) amb \(k\neq i\), trobem, per la relació de Chasles, que \[ \overrightarrow{P_{i}P_{k}}=\overrightarrow{P_{i}P_{1}}+\overrightarrow{P_{1}P_{k}} =-\overrightarrow{P_{1}P_{i}}+\overrightarrow{P_{1}P_{k}}. \qquad (\square) \]

Si substituïm en \((\star)\) trobem la següent expressió \[ \begin{aligned} 0&= \lambda_{1}\overrightarrow{P_{i}P_{1}}+ \cdots +\lambda_{i-1}\overrightarrow{P_{i}P_{i-1}} +\lambda_{i+1}\overrightarrow{P_{i}P_{i+1}}+ \cdots +\lambda_{t}\overrightarrow{P_{i}P_{t}} \\&= \lambda_{1}\left(-\overrightarrow{P_{1}P_{i}}+\overrightarrow{P_{1}P_{1}}\right) + \cdots +\lambda_{i-1}\left(-\overrightarrow{P_{1}P_{i}}+\overrightarrow{P_{1}P_{i-1}}\right) \\&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\lambda_{i+1}\left(-\overrightarrow{P_{1}P_{i}}+\overrightarrow{P_{1}P_{i+1}}\right) + \cdots + \lambda_{t}\left(-\overrightarrow{P_{1}P_{i}}+\overrightarrow{P_{1}P_{t}}\right) \\&= -\left(\sum_{k=1,\, k\neq i}^{t}\lambda_{k}\right) \overrightarrow{P_{1}P_{i}}+ \lambda_{2}\overrightarrow{P_{1}P_{2}}+ \cdots +\lambda_{i-1}\overrightarrow{P_{1}P_{i-1}} +\lambda_{i+1}\overrightarrow{P_{1}P_{i+1}} +\cdots +\lambda_{t}\overrightarrow{P_{1}P_{t}}. \end{aligned} \] Com que \(\{\overrightarrow{P_{1}P_{2}},\cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\}\) és linealment independent, concloem que \[ -\left(\sum_{k=1,\, k\neq i}^{t}\lambda_{k}\right) = \lambda_{2}=\cdots =\lambda_{i-1}=\lambda_{i+1}=\cdots=\lambda_{t}=0. \] Açò ens permet concloure que \(\lambda_{1}=\cdots=\lambda_{i-1}=\lambda_{i+1}=\cdots=\lambda_{t}=0\), com volíem demostrar.

Finalment, per a cada \(1\leq i\leq t\), es té que la igualtat \[ \langle\overrightarrow{P_{1}P_{2}}, \cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\rangle = \langle \overrightarrow{P_{i}P_{1}}, \cdots, \overrightarrow{P_{i}P_{i-1}}, \overrightarrow{P_{i}P_{i+1}}, \cdots, \overrightarrow{P_{i}P_{t}} \rangle \] es dona com a conseqüència de \((\square)\).

Definició 6 (Punts afíment independents) Siga \((A,V,+)\) un espai afí i \(\mathcal{P}=\{P_{1},\cdots, P_{t}\}\) un conjunt finit de punts en \(A\). Direm que \(\mathcal{P}\) és afíment independent si el conjunt de vectors \(\{\overrightarrow{P_{1}P_{2}},\cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\}\) és linealment independent.

Corol·lari 1 Siga \((A,V,+)\) un espai afí i \(\mathcal{P}=\{P_{1},\cdots, P_{t}\}\) un conjunt finit de punts en \(A\) afíment independents. Aleshores existeix una única varietat afí de dimensió \(t-1\) que conté tots els punts de \(\mathcal{P}\).

Operacions entre varietats afins

En aquesta secció vorem com es comporten les operacions de suma i intersecció de subespais vectorials quan els considerem com a espais directors en varietats afins.

Nota

Siga \((A,V,+)\) un espai afí, \(\mathcal{R}\) un sistema de referència afí i siguen \(W_{P}\) i \(U_{Q}\) dues varietats afins donades en la seua presentació cartesiana en \(\mathcal{R}\). És clar que si \(R\) és un punt en \(A\) que satisfà les equacions que defineixen \(W_{P}\) i les equacions que defineixen \(U_{Q}\), podem concloure que \(R\in W_{P}\cap U_{Q}\).

Proposició 11 Siga \((A,V,+)\) un espai afí, \(P,Q,R\) punts en \(A\) i \(W,U\) subespais vectorials de \(V\). Llavors, si \(R\in W_{P}\cap U_{Q}\), aleshores \[ W_{P}\cap U_{Q}=(W\cap U)_{R}. \]

Demostració. Siga \(T\) un punt en \(A\). Aleshores trobem la següent cadena d’equivalències \[ \begin{aligned} T\in W_{P}\cap U_{Q}&\leftrightarrow T\in W_{P}\mbox{ i }T\in U_{Q} &&\text{(definició d'intersecció)} \\&\leftrightarrow T\in W_{R}\mbox{ i }T\in U_{R} &&\text{(1)} \\&\leftrightarrow \overrightarrow{RT}\in W\mbox{ i }\overrightarrow{RT}\in U &&\text{(2)} \\&\leftrightarrow \overrightarrow{RT}\in W\cap U &&\text{(definició d'intersecció)} \\&\leftrightarrow T\in (W\cap U)_{R}, &&\text{(2)} \end{aligned} \] en què, en (1), hem emprat la Proposició 6, tenint en compte que \(R\in W_{P}\) i \(R\in U_{Q}\), i en (2) hem emprat la Proposició 8. Per tant, \(W_{P}\cap U_{Q}=(W\cap U)_{R}\).

Nota

Siga \((A,V,+)\) un espai afí i \(\{(W_{i})_{P_{i}}\}_{i\in I}\) una família de varietats afins en \(A\). En general podem afirmar que, si \(R\in \bigcap_{i\in I}(W_{i})_{P_{i}}\), aleshores \[ \bigcap_{i\in I}(W_{i})_{P_{i}}=\left(\bigcap_{i\in I}W_{i}\right)_{R}. \]

Nota

En general, la unió de varietats afins no té per què ser una varietat afí. Siga \((A,V,+)\) un espai afí sobre un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial que té, almenys, dos punts diferents \(P\) i \(Q\). Per a les varietats afins \(\{P\}\) i \(\{Q\}\), la seua unió ve donada per \(\{P,Q\}\). Aquest conjunt de punts no és una varietat afí.

Definició 7 (Suma de varietats afins) Siga \((A,V,+)\) un espai afí i \(\{(W_{i})_{P_{i}}\}_{i\in I}\) una família de varietats afins. Definim la suma de la família \(\{(W_{i})_{P_{i}}\}_{i\in I}\) com la menor varietat afí que conté la unió de la família, és a dir, \[ \sum_{i\in I}(W_{i})_{P_{i}}=\mathcal{A}\left(\bigcup_{i\in I}(W_{i})_{P_{i}}\right). \]

Proposició 12 Siga \((A,V,+)\) un espai afí i \(W_{P}\) i \(U_{Q}\) dues varietats afins en \(A\), aleshores \[ W_{P}+U_{Q}= \left(W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle\right)_{P}. \]

Demostració. Recordem que \(W_{P}+U_{Q}=\mathcal{A}(W_{P}\cup U_{Q})\). Demostrarem les dues inclusions.

Per una banda, notem que \((W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{P}\) és una varietat afí. A més, per la Proposició 7, \(W_{P}\subseteq (W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{P}\), ja que \(W\leq W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle\). Per altra banda, \(Q=P+\overrightarrow{PQ}\in(W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{P}\). Per la Proposició 6 tenim que \((W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{P}=(W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{Q}\). Aleshores, per la Proposició 7, \(U_{Q}\subseteq (W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{Q}\), ja que \(U\leq W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle\). Concloem, per tant, que \(W_{P}+U_{Q}\subseteq(W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{P}\).

Per a l’altra inclusió, notem que \(P\in W_{P}\) i que \(Q\in U_{Q}\). Així doncs, per la Proposició 6 podem escriure la varietat afí \(W_{P}+U_{Q}\) indistintament com \(T_{P}\) o com \(T_{Q}\), amb \(T\leq V\) un subespai vectorial. Per construcció, \(W_{P}\subseteq T_{P}\) i, d’igual forma, \(U_{Q}\subseteq T_{Q}\). Aleshores, per la Proposició 7, \(W\leq T\) i \(U\leq T\). A més, per la Proposició 8, \(\overrightarrow{PQ}\in T\). Concloem que \(W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle\leq T\). Llavors, per la Proposició 7, obtenim que \((W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{P}\subseteq W_{P}+U_{Q}\).

Així doncs, \(W_{P}+U_{Q}= (W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{P}\).

Definició 8 (Posicions relatives) Siga \((A,V,+)\) un espai afí i \(W_{P}\) i \(U_{Q}\) dues varietats afins. Direm que

1. \(W_{P}\) i \(U_{Q}\) es tallen si \(W_{P}\cap U_{Q}\neq \varnothing\);
2. \(W_{P}\) i \(U_{Q}\) són paral·leles si \(W\leq U\) o \(U\leq W\);
3. \(W_{P}\) i \(U_{Q}\) es creuen si no es tallen i no són paral·leles.

Nota

Dues varietats afins poden ser paral·leles i tallar-se al mateix temps. En aquest cas, una de les varietats afins estarà completament inclosa en l’altra.