Cómo hacer cosas a pedazos (en Espacios de Banach)

Hay una parte de la teoría de Espacios de Banach, denominada teoría local, que pretende describir las propiedades de un espacio en términos de sus subespacios de dimensión finita. Esta teoría es muy extensa, intervienen muchos conceptos y contiene una gran cantidad de líneas de trabajo que la desarrollan. Para este taller pretendemos que los alumnos elijan un camino, y lo recorran. Partiremos del concepto de representación finita, pasaremos por el Principio de Reflexividad Local y llegaremos a un objetivo, la noción de complementación local y algunas de sus aplicaciones.

Presentamos a nuestros compañeros de viaje: los espacios (normados) de dimensión finita. Comenzamos con el concepto básico de la representación finita en espacios de Banach. Un poco a lo lejos podemos divisar el impresionante Teorema de Dvoretzky ([1]), que prueba que todo espacio de Banach contiene subespacios de Hilbert $\ell_2^n$ de cualquier dimensión $\varepsilon$-isométricamente.

De forma natural surgen en el camino los espacios tipo $\mathcal{L}_p$, para $1\le p \le \infty$ (introducidos por Lindenstrauss, Pelczynski y Rosenthal [2,3]). Son espacios de Banach cuyos subespacios de dimensión finita son "como" $\ell_p^n$; es decir, serían espacios "localmente" $L_p$. Contemplando esta idea con atención llegamos al Principio de Reflexividad Local (PRL) de Lindenstrauss y Rosenthal [3] que dice que los espacios de dimensión finita del bidual $X^{**}$ son "iguales" a los del propio $X$ (en el lenguaje anterior: $X^{**}$ está finitamente representado en $X$).

Este sendero nos lleva a la noción de complementación local introducida por Fakhoury [4] y Kalton [5]): Un espacio $X$ está $\lambda$-localmente complementado en $Y$ si para cada $\varepsilon>0$ y cada $E\subset Y$ subespacio de dimensión finita existe un operador $T:E \to X$ tal que $T(x)=x$ si $x\in E\cap Y$ y $\|T\| \leq \lambda +\varepsilon$. Por ejemplo, todo espacio de Banach $X$ está $1$-localmente complementado en $X^{**}$ por el PRL. Extenderemos estas ideas al mundo de las sucesiones exactas $0 \to X \to Y\to Y/X \to 0$ de espacios de Banach incorporando de forma natural el espacio cociente $Y/X$, lo que nos da nueva información muy útil ([6]).

Es el momento de pararse y contemplar el paisaje que hemos recorrido: en el que aparece, ahora que lo vemos desde lo alto, la existencia de un operador de extensión de $X^*$ a $Y^*$ que nos permite afrontar problemas generales de extensión (y lifting) de aplicaciones (operadores, polinomios, funciones holomorfas,...). Y, si el camino no se hace largo, contemplaremos cómo la homología y la complementación local interaccionan entre sí y se van hacia el horizonte dejando tras de sí un rastro de productos tensoriales y resultados interesantes, como que $c_0$ --que no está complementado en $\ell_\infty$ como todo el mundo sabe-- está localmente complementado en $\ell_\infty$. De hecho todo espacio tipo $\mathcal{L}_\infty$ (incluido $c_0$, claro) está localmente complementado en todo el mundo (y sólo ellos).

1. A. Dvoretzky, Some results on convex bodies and Banach spaces, Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces (Jerusalem, 1960). Jerusalem Academic Press. pp. 123--160.
2. J. Lindenstrauss, and A. Pelczynski, Absolutely summing operators in $\mathcal{L}_p$-spaces and their applications, Studia Mathematica 23, n. 3 (1968), 275--326.
3. J. Lindenstrauss and H.P. Rosenthal, The $\mathcal{L}_{p}$-spaces, Israel J. Math. 7 (1969), 325--349.
4. H. Fakhoury, Sélections Linéaires Associées au Théorème de Hahn-Banach, J. Funct. Anal., 11, (1972), 436--452.
5. N.J. Kalton, Locally complemented subspaces and $\mathcal{L}_{p}$-spaces for $0< p< 1$, Math. Nachr., 115, (1984), 71--97.
6. J.M.F. Castillo, R. García, and J. Súarez, Extension and lifting of operators and polynomials, Mediterranean J. Math., 9 (2012), 767--788.

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Geometría de las curvas solución de sistemas de tipo gradiente convexo

Dada una función $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, un sistema de tipo gradiente es un sistema dinámico de la forma $x’(t)=-\nabla(f(x(t)))$ con $t>0$. Las soluciones de estos sistemas son curvas $x: I\to\mathbb{R}^n$ y una pregunta que surge de manera natural es saber si dichas curvas tienen longitud finita.

El objetivo del taller será estudiar el problema cuando la función $f$ es convexa. En este caso, las curvas solución son auto-contractivas, una propiedad geométrica muy interesante que puede ser estudiada de manera independiente en contextos mucho más generales (espacios normados finito-dimensionales, variedades Riemannianas, espacios métricos,...). Además, el hecho de que este tipo de curvas tengan longitud finita tiene diversas aplicaciones en convergencia de algoritmos centrales en análisis convexo o en teoría de grafos.

1. Manselli, C. Pucci.: Maximum length of steepest descent curves for quasi-convex functions, Geom. Dedicata 38 (1991), 211-227.
2. A. Daniilidis, O. Ley, S. Sabourau: Asymptotic behaviour of self-contracted planar curves and gradient orbits of convex functions, J. Math. Pures Appl. 94 (2010), 183-199.
3. A. Daniilidis, G. David, E. Durand-Cartagena, A. Lemenant: Rectifiability of Self-contracted curves in the euclidean space and applications. Journal of Geometric Analysis 25 (2015), 1211-1239.

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Relación entre multiplicadores de Fourier en $\mathbb{R}^N$, $\mathbb{T}^N$, y $\mathbb{Z}^N$.

Existen diversos trabajos clásicos en la literatura que relacionan operadores de convolución en $\mathbb{R}^N$, $\mathbb{T}^N$, y $\mathbb{Z}^N$. Dichos operadores puede definirse mediante la acción de los multiplicadores correspondientes en el lado de la transformada de Fourier.

Así, si $m$ es una función continua en $\mathbb{R}^N$, para $t>0$, definimos $$(1)\ \ \ (C_tf)(x)=\int_{\mathbb{R}^N} m(t\xi) \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \cdot\xi} \ d\xi, \ x\in \mathbb{R}^N,$$ para una función $f$ definida en $\mathbb{R}^N$, $$(2)\ \ \ (P_tg)(x)=\sum_{k\in \mathbb{Z}^N} m(tk) \hat{g}(k) e^{2\pi i k \cdot x}, \ x\in \mathbb{T}^N,$$ para una función $g$ periódica en $\mathbb{T}^N$, y $$(3)\ \ \ (D_ta)(n)=\int_{[-1/2,1/2]^N} m(t\xi) P(\xi) e^{2\pi i n \cdot \xi}, \ n\in \mathbb{Z}^N,$$ para $a=\{a(n)\}_n$ una sucesión en $\mathbb{Z}^N$ y $P(\xi)=\displaystyle{\sum_m a(m) e^{2\pi i m\cdot \xi}}$.

(1) representa la acción de un multiplicador $m(t\cdot)$ en $\mathbb{R}^N$, (2) la de un multiplicador $\{m(tn)\}_n $ en $\mathbb{Z}^N$, mientras que (3) es la acción de la extensión periódica de la función $m(t\cdot)\chi_{[-1/2,1/2]^N}(\cdot)$ como multiplicador sobre $\mathbb{T}^N$. Asimismo, pueden considerarse los correspondientes operadores maximales continuo, periódico y discreto.

Un resultado de K. de Leeuw de 1965 ([4]) establece que para $1 < p < \infty$, el operador $C_1$ es acotado en $L^p(\mathbb{R}^N)$ si y sólo si el operador $P_t$ es acotado en $L^p(\mathbb{T}^N)$ uniformemente en $t>0$. En [2] se obtuvo una prueba de este resultado mediante métodos de transferencia. Kenig y Tomas en 1980 ([3]) extendieron este resultado a los operadores maximales anteriormente descritos.

En 1992, P. Auscher y María J. Carro ([1]) prueban resultados de discretización para operadores de convolución definidos en espacios de Lebesgue haciendo uso de las propiedades de muestreo válidas para funciones de tipo exponencial o funciones cuya transformada de Fourier es de soporte compacto.

Más exactamente, si representamos por $K$ a la distribución temperada cotransformada de Fourier de $m$, podemos escribir, al menos formalmente, los operadores (1) y (3) como convoluciones $$(C_t f)(x)=(K_t*f)(x), \ \ (D_t a)(n)=\sum_m a(m) (K_t*\text{sinc})(n-m),$$ donde $\displaystyle{\text{sinc}\ x:=\prod_{j=1}^N \frac{\sin \pi x_j}{\pi x_j}},$ cuya transformada de Fourier es la función $\chi_{[-1/2,1/2]^N}(\xi)$. Además, el papel de la función $\text{sinc}$ aparece de forma natural al expresar $D_t$ como operador de convolución discreto y puede ser sustituido por el de otras funciones cuya transformada de Fourier sea de soporte compacto, dando lugar a operadores más generales $D_t^{\varphi}$.

En [1], se prueba que, bajo ciertas hipótesis sobre la función $\varphi$ de tipo exponencial, el operador de convolución continuo es acotado en $L^p$ si y sólo si el operador discreto $D_t^{\varphi}$ es acotado en $\ell^p(\mathbb{Z}^N)$, uniformemente en $t>0$.

1. P. Auscher y M. J. Carro, On relations between operators on $\mathbb{R}^N$, $\mathbb{T}^N$ and $\mathbb{Z}^N$. Studia. Math. 101 (1992), 165--182.
2. R. Coifmann y G. Weiss, Transference Methods in analysis, CBMS Regional Conf. Ser. in Math. 31 (1976), 1--59.
3. C. Kenig y P. Tomas, Maximal Operators defined by Fourier multipliers. Studia. Math. 68 (1980), 79--83.
4. K. de Leeuw, On $L^p$ multipliers. Ann. of Math. 81 (1965), 364--379.
5. E. Stein y Guido Weiss, Introduction to Fourier analysis on euclidean spaces. Princeton University Press (1971).

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Caos en operadores no locales

Caracterizaremos el comportamiento caótico de operadores no locales tales como el operador en diferencias fraccionario de Riemann-Liouville o el operador Nabla en diferencias para ordenes fraccionarios entre $0$ y $1$.

Para ello, haremos uso de criterios de caos para operadores de Toeplitz en espacios de Lebesgue de sucesiones.

Estos resultados nos permitirán caracterizar el caos de operadores que definen esquemas de aproximación numéricos y veremos que dicha caracterización depende -en algunos casos- del orden fraccionario del operador y del tamaño del paso del esquema.

1. A. Baranov and A. Lishanskii. Hypercyclic Toeplitz Operators. Results. Math. 70 (2016), 337--347.
2. K.G. Grosse--Erdmann and A. Peris Linear Chaos. Universitext, Springer-Verlag London Ltd., London, 2011.
3. C. Lizama, M. Murillo Arcila and A. Peris. Nonlocal operators are chaotic. Chaos, 30, 103126 (2020).
4. C. Lizama and M. Murillo Arcila. Discrete maximal regularity for Volterra equations and nonlocal time-stepping schemes. Discrete Contin. Dyn. Syst., 40(1) (2020), 509--528.

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