
En
el siglo III a.C. una colonia griega al sur de Italia, Thurii, se
alió
con Roma para defenderse de las tribus italianas vecinas. Al cabo de un
tiempo, Tarento, otra colonia griega, consideró insultante
que sus compatriotas recurrieran a la ayuda de unos bárbaros
para
defenderse, así que capturaron una nave romana, mataron a su
capitán,
marcharon sobre Thurii y expulsaron a los romanos. Roma tenía
entonces
otros problemas, y decidió enviar un embajador y arreglar
pacíficamente
el incidente. Pero los Tarentinos encontraron al enviado
particularmente
"gracioso", especialmente por su forma de hablar griego. No se lo
tomaron
en serio, hasta el punto de que alguien entre la gente que observaba al
bárbaro, tuvo a bien mear sobre su túnica. El embajador
se
marcho jurando que lavarían la mancha con sangre, y así
el
año 281 a.C. el senado romano declaró la guerra con
la que Roma se anexionó el sur de Italia. No podemos saber
qué
les pareció tan hilarante a los griegos del lenguaje del
embajador,
pero no es difícil hacer ciertas conjeturas: el griego
tenía
sonidos de los que carecía el latín, por lo que es
probable
que sonara bastante palurdo oír llamar thetas a las zetas, por
ejemplo,
o chis (más probablemente kis) a las jis, mus a las mys y cosas
parecidas. No pensemos ya lo que habría pasado si el pobre
embajador
hubiera confundido las fis con las sigmas, como hacen hoy más
matemáticos
de los que podría esperarse. No cuesta más de media hora
aprenderse esto:
Tengamos presente que los ingleses suelen tratar bastante bien las
consonantes
extranjeras, pero parecen incapaces de no retorcer las vocales.
Pensemos
que ellos llaman pi a la pe y pai a la pi, así que, cuando ellos
leen Theta (y dicen zita) la zeta inicial está muy bien
(no
digamos, pues, teta) pero corrijamos el entuerto de la vocal y leamos
zeta.
No hablemos de la "función zeta de Riemann", sino que,
puesto
que ellos dicen "dsita fancson" (más o menos), nos
convendría
decir "función dseta", que traducir no es lo mismo que repetir.
¿O NO?

Es conocida la frase
"
Te ayudaré a recordar la
cantidad", que al contarle las letras nos ayuda a recordar la
cantidad e =
2,71828...
Una frase para pi =
3,1415926535...
es "
Sol y Luna y Cielo proclaman al Divino
autor del Mundo". Hay ejemplos más sofisticados, como
este poema de Manuel Golmayo:
Soy y seré a todos definible;
mi nombre tengo que daros:
cociente diametral siempre inmedible
soy, de los redondos aros.
Nos da la aproximación pi =
3,1415926535897932384...
con 20 decimales. Tengo una prueba (anónima, no recuerdo de
dónde la
saqué)
relativamente simple (más algebraica que analítica) de la
trascendencia de e y pi. Puedes bajártela desde
aquí.
Aprovecho este
rincón para plantear un problema muy simple:
determinar el criterio que ordena como sigue la sucesión de los
primeros números naturales:
0
5 4 2 9 8
6 7 3 1
La
solución cabe en dos palabras (cuatro si no queremos ser
lacónicos).
Todas
las mujeres tienen los ojos azules
Esta
"demostración" me la comunicó Oscar Blasco. Hemos de
suponer que existe al menos una mujer con los ojos azules, lo cual es
bastante
razonable. Basta probar que si un conjunto de mujeres contiene a
una con los ojos azules, entonces todos sus miembros tienen los ojos
azules,
y luego aplicar esto al conjunto de todas las mujeres. Lo probaremos
por
inducción sobre el cardinal n del conjunto. Si n = 1 es trivial:
un conjunto con una única mujer que contenga al menos una mujer
con ojos azules, tiene a todos sus miembros con ojos azules.
Supongámoslo
cierto para conjuntos de n mujeres y consideremos un conjunto de n+1
mujeres,
alguna de las cuales tiene los ojos azules. Quitemos una de ellas, pero
dejando dentro una que tenga los ojos azules. Nos queda un conjunto de
n mujeres y, por hipótesis de inducción, todos sus
miembros
tienen los ojos azules. Ahora añadamos la que hemos quitado y
saquemos
otra cualquiera (que tendrá los ojos azules). Volvemos a tener
un
conjunto con n mujeres, todas las cuales -salvo quizá una-
tienen
los ojos azules, luego de nuevo por hipótesis de
inducción
todas tienen los ojos azules. Es claro entonces que las n+1 mujeres del
conjunto tienen los ojos azules.
QED
UN
SILOGISMO DE
LEWIS CARROLL

He aquí un encantador silogismo sacado
de "El juego de la
lógica",
de Lewis Carroll. Su encanto radica en lo sutil de la falacia:
- Nadie que quiera tomar el tren y que no pueda coger un taxi
y que no tenga tiempo suficiente para ir dando un paseo hasta la
estación, puede tomarlo sin echar a correr.
- Este grupo de turistas quiere tomar el tren y no puede coger
un taxi, pero les sobra tiempo para ir hasta la estación dando
un paseo.
Por consiguiente:
- Este grupo de turistas no necesita correr.
A los amigos cándidos -como dice Carroll- que
lo crean
válido,
hay que preguntarles: ¿Y si les persigue un toro demente?
EL
SILOGISMO FAVORITO DE RAYMOND SMULLYAN
Raymond Smullyan es un lógico autor de varios libros
deliciosos
como "¿Cómo se llama este libro?", "¿La dama
o el tigre?" o, mi favorito, "5.000 años antes de Cristo y
otras fantasías filosóficas". Éste es su silogismo
favorito:
Algunos
coches traquetean,
Mi coche es algún coche,
Por lo tanto, no es de extrañar que mi
coche traquetee.
Personalmente, la demostración más simpática
que he encontrado en sus libros es esta prueba cartesiana de la
existencia
de Dios:
Dios
tiene que existir, pues no iba a ser tan malo como para engañarme y hacerme creer que existe si en
realidad no existiera.
POLINOMIOS CICLOTÓMICOS
Veamos una curiosidad numérica. Los polinomios
ciclotómicos
son los polinomios irreducibles con coeficientes racionales que tienen
por raíces a las raíces de la unidad, es decir, a los
números
complejos que elevados a un número natural dan 1. Puesto que las
raíces de la unidad son raíces del polinomio
xn-1,
los polinomios ciclotómicos se obtienen factorizando
éstos.
Por ejemplo, para n = 1,
x-1
es ya el primer polinomio ciclotómico. Para n = 2,
el polinomio
x2-1
contiene al primer polinomio ciclotómico, y al quitárselo
(dividiendo) queda
x+1,
que es el segundo
polinomio ciclotómico. El polinomio
x3-1
contiene al primer polinomio ciclotómico
x-1,
y al quitarlo queda
x2+x+1,
que es el tercer polinomio ciclotómico. A
x4-1
hay que quitarle el primero
x-1
y el segundo
x+1.
Al hacerlo obtenemos
x2+1, que
es el cuarto polinomio ciclotómico. En general se prueba que
xn-1
es el producto de los polinomios ciclotómicos de orden d, donde
d recorre los divisores de n, por lo que hay que dividirlo entre todos
los polinomios correspondientes a divisores estrictos de n para obtener
el polinomio n-simo. Es fácil ir calculándolos. Los
primeros
polinomios ciclotómicos, así obtenidos, son
- p1(x) = x-1
- p2(x) = x+1
- p3(x) = x2+x+1
- p4(x) = x2+1
- p5(x) = x4+x3+x2+x+1
- p6(x) = x2-x+1
Puede probarse que los polinomios ciclotómicos tienen sus
coeficientes
enteros (en principio, al dividir polinomios podrían aparecer
coeficientes
racionales), pero a la vista de los polinomios que van saliendo uno
tiende
a conjeturar que los coeficientes son siempre -1, 0, 1. Quien piense
que
la muestra que hemos dado es demasiado pequeña para conjeturar
nada
puede calcular cuarenta o cincuenta más, y se encontrará
siempre con ceros, unos y menos unos. Sin embargo, la conjetura es
falsa,
pero para encontrar el primer contraejemplo nos hemos de ir hasta el
centésimo
quinto polinomio ciclotómico, que resulta ser
p105(x) = x48
+ x47
+ x46 - x43 - x42 - 2x41
- x40 - x39 +x36 + x35+x34
+ x33 + x32 + x31
- x28 - x26
- x24 - x22 - x20 +x17 + x16+
x15 + x14 + x13 + x12 - x9
- x8 -2x7
- x6 - x5 + x2 + x + 1,
con dos flamantes doses (menos doses, en realidad). De hecho puede
probarse
que hay polinomios ciclotómicos con coeficientes arbitrariamente
grandes en módulo. Tenemos así uno de los muchos ejemplos
de lo arriesgado que es hacer una conjetura en teoría de
números,
aunque tengamos 104 evidencias empíricas.

Un
ejemplo más famoso de conjetura falsa es la de Fermat, que
creyó
que un número de la forma 2
n+1 es primo
si y sólo si n es potencia de 2. La necesidad de la
condición
es fácil de probar. La conjetura consiste en la suficiencia, que
se basa en los casos:
21+1 = 3, 22+1
= 5, 24+1= 17, 28+1 =
257, 216+1 = 65.537.
También es un hecho conocido que fue Euler quien
descubrió que
232+1
= 641.6.700.417.
Lo que no es tan sabido es cómo llegó a descubrir
esto. Pensemos que
232+1
= 4.294.967.297,
y que Euler no tenía calculadora. Aunque la hubiera tenido,
no
es plan ponerse a dividir entre todos los primos hasta llegar al 641.
Si
tienes curiosidad por saber cómo puede encontrarse el factor
641, entra
aquí.
UN PROBLEMA GEOMÉTRICO
Tenemos dos rectas r y s que no
son paralelas, pero que se
cortan
fuera de la hoja de papel. También nos dan un punto P exterior a
ambas.
El
problema es trazar la recta que pasa por P y por el punto de corte, sin
más ayuda que una regla no graduada y, por supuesto, sin que la
construcción se salga del papel.
Aunque el problema en sí no deja de tener interés,
es
mucho más interesante su
SOLUCIÓN.
Encontrar
todos los números naturales (no nulos) que pueden expresarse
simultáneamente como producto de dos y tres números
consecutivos.
Hay una solución trivial:
6
= 2.3 = 1.2.3, y puede demostrarse que
sólo
hay una solución más, aparte de ésta. Demostrar
que
no hay otras es un problema muy difícil, resuelto por Mordell en
1962. Sin embargo, encontrar dicha solución está al
alcance
de cualquiera (no es muy grande). ¿Cuál es?
UN
PROBLEMA ALGEBRAICO (MÁS FÁCIL)
Este problema puede resolverse por métodos completamente
elementales:
Demostrar
que las únicas potencias de 2 que son consecutivas con potencias
de 3 son 2,3,4 y 8, 9.
Soneto
a la convergencia de 1/n
|
La sucesión que viene
definida
por an igual, exactamente,
al inverso de n, es
convergente,
lo cual demostraremos enseguida:
|
Para toda distancia preelegida
al conjunto R+ perteneciente
(ε,
por ejemplo), es evidente,
por una propiedad muy conocida,
|
que el inverso de ε se puede
superar por un m natural
y, para todo n mayor, sucede
|
que excede a dicho inverso por
igual,
y esto hace, pues, que an quede
cercano a 0 bajo el radio tal.
|
Carlos
Ivorra |