El nostre treball es desenvolupa dins del camp del descobriment de la influència que la curvatura (en les seues diferents facetes extrínseques i intrínseques) té en la geometria, topologia i anàlisi sobre una varietat i, recíprocament, en l'estudi de la possible determinació de la curvatura per eixes propietats, i en l'estudi d'algunes d'aquestes propietats motivades per problemes físics. En concret, ens centrem en: l'estudi de mètriques Kähler Ricci-planes sobre fibrats tangents, els twists per camps de Higgs, algunes curvatures especials dels espais de Wolf, la T-dualitat, el moviment (i la consegüent producció de singularitats) d'una subvarietat per diferents fluxos geomètrics extrínsecs i aproximacions a la cerca de solucions febles del flux de Ricci i algunes de les seues variants per a estudiar estructures geomètriques peculiars, l'estudi d'uns certs tipus d'espais homogenis, la determinació d'unes certes propietats geomètriques d'un espai tancat per l'espectre del laplacià. Cal destacar l'aplicabilitat d'alguns d'aquests problemes a la física (teories unificades), la formació de superfícies estables d'alguns materials i la tomografia. Concretant més, ens plantegem els següents objectius específics:
- Determinació de totes les mètriques Kahler Ricci-planes sobre el fibrat tangent d’espais simètrics de rang 2 i d'espais simètrics Hermítics.
- Trobar noves famílies de mètriques G-invariants sobre els fibrats esfèrics indicats en la introducció, convertint-los així en varietats homogènies riemannianes, que siguen menys rígides que la mètrica de Sasaki.
- Estudiar la classe general de varietats (possiblement Kaehlerianas) que podem relacionar mitjançant una classe de twists generalitzats en els quals les condicions de compatibilitat sobre la connexió i la curvatura del fibrat són substituïts per la connexió canònica i l'equació del camp de Higgs
- Estudiar l'extensió dels resultats de Chow & Yang a una hipotètica generalització del resultat de Gray i, en particular, estudiar les propietats de la curvatura biseccional cuaterniònica en els espais Wolf.
- Analitzar aquesta construcció de Strominger-*Yau-*Zaslow de la mirror symmetry en una sèrie de casos d'interés: en primer lloc sobre productes semidirectes G X R^n, i, en una segona fase, aplicar aquestes tècniques al cas de nilvarietats generals.
- Avançar en l'estudi de les geometries EBCV, i en la cerca d'una classe més àmplia de varietats de dimensió 7 en la qual aquesta família puga exercir un paper especial.
- Estudi de la rigidesa dels bous de Angenent i el càlcul del primer valor propi del laplacià associat a la densitat Gaussiana sobre eixos bous.
- Obtenció d'acotacions tipus Reilly del primer valor propi d'una laplaciana amb densitat en subvarietats de l'espai hiperbòlic.
- Estudiar la (in)estabilitat del bou de Clifford sota el VPMCF en l'esfera S^3 en primer lloc i, una vegada entesa, fer estudis semblants en dimensió superior.
- Estudi de l'evolució de bous lagrangians no embeguts de C^2 continguts en una esfera, buscant trobar singularitats de tipus II.
- Contribuir a l'estudi dels solitons de translació de codimensió superior i/o amb davantera.
- Estudi del flux per la curvatura mitjana en l'espai hiperbòlic amb densitat gaussiana.
- Usar algun dels fluxos transversos a una foliació, o algun altre d'aquest tipus per a estudiar propietats d'estructures en les quals l'existència d'una foliació és essencial, entre els espais en què considerar aquests fluxos estarien els EBCV.
Pàgina Web:
