Transformaciones multiescala no lineales

Capítulo 1. PRELIMINARES. Se introducen las herramientas matemáticas que se utilizarán en capítulos posteriores. En primer lugar revisamos la multirresolución à la Harten para valores puntuales y medias en celda, así como la aplicación de diferentes técnicas no lineales, ENO, SR, WENO y PPH, haciendo especial incapié en el cálculo de filtros. En segundo lugar se describe la transformada wavelet, tanto en su forma continua como discreta y la detallamos para DB4, ya que será ésta la principal base utilizada.

Capítulo 2. NUEVAS RECONSTRUCCIONES. Desarrollamos la nueva reconstrucción por interpolación aproximación para valores puntuales y medias en celda en el contexto de multirresolución à la Harten. Estudiamos sus órdenes, la introducción de técnicas no lineales (ENO, SR, WENO y PPH), funciones límite, generación de curvas, calculamos sus filtros y la aplicamos a ejemplos concretos. Posteriormente se realiza un estudio similar para la reconstrucción por aproximaciones (haciendo uso de mínimos cuadrados) tanto para valores puntales como por medias en celda.

Capítulo 3. DETECCIÓN DE DISCONTINUIDADES. Tratamos el tema de la localización de discontinuidades para funciones discontinuas compuestas por trozos suaves, tanto para señales con ruido añadido como sin él. Estudiamos métodos existentes en la literatura relacionados con nuestras herramientas matemáticas, proponemos nuevos esquemas de localización y realizamos comparativas entre ellos.

Capítulo 4. ENO-WAVELETS. Describimos la transformada ENO-wavelet introducida por Chan y Zhou en [T. F. Chan and H. M. Zou. ENO-wavelet transforms for piecewice smooth functions. SIAM J. Numer. Anal., 40(4):1369– 1404, (1994)]. Presentamos una nueva manera de calcular los coeficientes de altas y bajas frecuencias en caso de discontinuidad, dando lugar a la transformada ENO-wavelet-TI. Estudiamos su posible equivalencia con la transformada ENO-wavelet, su invertibilidad, sus órdenes, proponemos un algoritmo para ENO-DB2p-TI con p natural y estudiamos ejemplos concretos.

Capítulo 5. ELIMINACIÓN DE RUIDO. Aplicamos los esquemas vistos anteriormente a la eliminación de ruido de funciones discontinuas compuestas por trozos suaves con ruido aditivo blanco gaussiano. En primer lugar trabajamos en una única escala, donde diseñamos un esquema basado en la reconstrucción por aproximaciones y un método iterativo con bajo coste computacional. En segundo lugar nos basamos en métodos multiescala, adaptando las distintas reconstrucciones al problema propuesto. Se realiza una comparativa entre métodos y se ofrecen indicaciones para eligir un método en función de los datos de entrada y de nuestros objetivos.