LIBROS EN PDF

Me gusta estudiar matemáticas en mis ratos libres, y mi forma de hacerlo es organizar lo que estudio en forma de libros. Aquí está el resultado de casi todas las matemáticas que he ido estudiando en dichos ratos. Algunas observaciones:
  1. Mis libros son globalmente autocontenidos: cualquier resultado utilizado en uno de ellos está demostrado en ese mismo libro o bien en otro, normalmente anterior.
  2. He recibido varios mensajes preguntándome sobre el orden más adecuado para leerlos. Aunque no están pensados para autodidactas, a la hora de abordar su lectura conviene tener en cuenta que están divididos en dos bloques: el primero se centra en la teoría axiomática de conjuntos, y cada uno depende en gran medida de los precedentes, y en particular todos descansan sobre el primero de ellos, mi libro de Lógica matemática.
    El segundo bloque está dedicado a las matemáticas más clásicas, que dependen en mucha menor medida de la teoría axiomática de conjuntos, y los fundamentos necesarios están incluidos en el libro de Álgebra, por lo que este bloque puede ser leído sin necesidad de haber estudiado ninguno de los del anterior. A su vez, los libros de este bloque están agrupados en "estratos", de forma que los libros de cada estrato presuponen los anteriores y están interconectados en mayor o menos medida con los de su mismo estrato, por lo que resulta natural una lectura simultánea.
  3. Últimamente estoy revisando y ampliando mis libros. De momento la revisión alcanza hasta todos los libros del primer bloque excepto el último y hasta mi libro de Variable compleja en el segundo bloque. Las referencias a libros anteriores de los libros todavía no revisados pueden ser incorrectas, pues corresponden en realidad a las versiones antiguas no revisadas.
  4. ATENCIÓN: En todos mis libros las funciones actúan por la derecha, de modo que la composición ha de entenderse así: (f o g)(x) = g(f(x)).
  5. Mis libros no han sido revisados todo lo que deberían. Desde luego, lo han sido mucho menos que cualquier libro impreso. Por eso, si los usas deberás tener cuidado con las erratas, lapsus y errores garrafales (los menos, espero) que te puedas encontrar.
  6. Cada libro me ha costado de escribir una media de más de un año, y ahora tú te lo puedes bajar gratis. Convendrás conmigo en que no es mucho pedir que, si alguna parte te resulta útil, te tomes nota de las erratas (o errores) que vayas encontrando, por leves que sean, y, al igual que has sabido pinchar más abajo para bajarte el pdf, te acuerdes de pinchar aquí: carlos.ivorra@uv.es y me las comuniques. Gracias por adelantado. Aparte de esto, cualquier sugerencia o comentario será bienvenida.
  7. Me han escrito algunas personas preguntándome por libros de otras materias o por versiones más elementales. Todo el material que tengo está aquí y, como podréis ver, es en general bastante técnico. No tengo nada más.
Segunda edición revisada y expandida de mi libro Lógica y teoría de conjuntos. Su contenido se corresponde con las dos primeras partes de la primera edición. Entre las principales novedades incluye una demostración completa del segundo teorema de incompletitud de Gödel (cuya prueba sólo estaba esbozada en la versión anterior) y un estudio más detallado de la aritmética de Peano y algunas de sus subteorías. Además de las teorías de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y von Neumann-Bernays-Gödel se estudian otras, como la teoría de Kripke-Platek. Mantengo en esta página web la primera edición porque es algo más elemental y tal vez para algunos sea más fácil de seguir, pero ya no realizaré más actualizaciones de esta versión antigua.
La lógica del finitismo presenta la metamatemática de la lógica de primer y segundo orden formalizando los argumentos en una serie de teorías aritméticas de distinta potencia, desde la más débil (la Aritmética Recursiva Primitiva) hasta la más fuerte (la Aritmética de Peano de segundo orden con el principio de recursión aritmética). De este modo, los argumentos metamatemáticos informales se reducen a los mínimos necesarios para definir y estudiar ARP. Algunos de los resultados requieren el cálculo secuencial, por lo que para su prueba remitimos al libro siguiente:

El cálculo secuencial de Gentzen presenta el cálculo deductivo diseñado por Gentzen y que resulta imprescindible en el estudio de la teoría de la demostración. Como aplicaciones demostramos los resultados que no hemos podido probar sin él en La lógica del finitismo, como la prueba de que la aritmética de segundo orden con comprensión recursiva más el lema de König débil es una extensión conservativa de la aritmética de Peano con la inducción restringida a fórmulas Σ1, así como que ésta es a su vez una extensión conservativa de la aritmética recursiva primitiva, y también la caracterización de las funciones demostrablemente recursivas en IΣ1 o en la aritmética de Peano. Además, presentamos la famosa prueba de Gentzen de que la inducción transfinita hasta el ordinal εo implica la consistencia de la aritmética de Peano. Las técnicas empleadas permiten obtener a su vez algunos ejemplos de sentencias aritméticas indecidibles en la aritmética de Peano, como el teorema de Goodstein.
Tercera edición de mi libro de Teoría de Conjuntos, en la que he añadido algún material adicional y he eliminado los capítulos sobre topología, que ahora forman parte de un segundo libro interconectado con él.

El libro de Teoría de conjuntos contiene los resultados básicos de la teoría de conjuntos: axiomática, teoría de ordinales y cardinales, principios combinatorios, álgebras de Boole, algunas aplicaciones a la topología y una introducción a la teoría de modelos.

El libro de Topología consta de dos partes. En la primera se exponen los resultados básicos de la topología general sobre espacios topológicos y uniformes, y en la segunda se aplican a espacios con estructuras adicionales: espacios métricos y normados, grupos y espacios vectoriales topológicos y espacios ordenados. Un apéndice reune más de 60 ejemplos de espacios topológicos que ilustran la teoría.
Nuevas ediciones en las que he reorganizado el material de las ediciones precedentes.

El libro de Pruebas de consistencia contiene los resultados básicos sobre pruebas de consistencia en teoría de conjuntos: modelos transitivos, constructibilidad, extensiones genéricas y numerosas aplicaciones.

El libro de Cardinales grandes contiene los resultados fundamentales sobre los cardinales grandes más importantes en orden creciente en cuanto a su consistencia, desde los cardinales débilmente compactos hasta los axiomas I. Se incluyen algunas aplicaciones a las pruebas de consistencia, como la consistencia de la negación de la hipótesis de los cardinales singulares.

El libro de Teoría descriptiva de conjuntos contiene los resultados básicos sobre los conjuntos de Borel y proyectivos en espacios polacos en ZF más el principio de elecciones dependientes, tanto de la teoría clásica como de la teoría efectiva (en términos de la teoría de la recursión). A continuación se prueban resultados de consistencia adicionales, principalmente los que se deducen del axioma de constructibilidad y del axioma de determinación, incluyendo la prueba de la consistencia de este axioma relativa a la existencia de ciertos cardinales grandes.
En este libro se presentan y comparan diversas teorías axiomáticas de conjuntos. La mayor parte de ellas son teorías más débiles que ZFC (esencialmente, la teoría de Kaye Forster, la teoría de Mac Lane, la teoría de Kripke-Platek y la teoría de Mostowski, junto con algunos axiomas adicionales), mientras que los últimos capítulos están dedicados a la versión de los Nuevos Fundamentos de Quine propuesta por Jensen (NFA), que es una teoría de conjuntos en la que existe el conjunto de todos los conjuntos.
Se presentan las teorías axiomáticas que formalizan el álgebra elemental (la teoría algebraica de los números reales y complejos) y la geometría euclídea elemental (la axiomática de Tarski) y se demuestra constructivamente que ambas teorías son consistentes, completas y decidibles.
Un curso típico (en cuanto a su contenido) de análisis matemático: cálculo diferencial e integral de una y varias variables, pero desarrollado en el contexto del análisis no estándar, es decir, utilizando números reales infinitesimales. En los apéndices A y B se exponen dos teorías axiomáticas que fundamentan rigurosamente el uso de infinitésimos, la teoría de Nelson y la de Hrbacek, respectivamente, y en el apéndice C se demuestra el teorema de extensión para ambas teorías, en virtud del cual, todo resultado "estándar" (es decir, todo resultado en el que no se haga referencia a infinitésimos ni conceptos relacionados) que pueda probarse en las teorías citadas, puede demostrarse también en ZFC.
Versiones revisadas y aumentadas de los tres libros anteriores con los mismos títulos más un cuarto dedicado a la teoría de grupos que expande radicalmente los contenidos sobre este tema que antes formaban parte del libro de álgebra. Los cambios más notables (aparte de la extensión de la teoría de grupos) consisten en que he eliminado los ejemplos y aplicaciones que ahora figuran en los libros del bloque precedente y los he sustituido por contenidos nuevos.

Como en las versiones precedentes, los cuatro libros están organizados para que puedan ser leídos simultáneamente, como cuatro asignaturas que se cursen a la vez. Esto permite un desarrollo más natural de las tres materias y enfatiza las numerosas interdependencias que existen entre ellas. El primer capítulo del libro de Álgebra, junto con sus dos primeros apéndices, presenta sin tecnicismos la teoría de conjuntos de Zermelo, que basta para fundamentar el resto de contenidos de los tres libros.

El libro de Álgebra contiene los conceptos y resultados necesarios para un doble propósito: la fundamentación algebraica de la geometría analítica y la demostración de que los anillos de enteros algebraicos de los cuerpos numéricos son dominios de Dedekind, junto con aplicaciones diversas que ilustren el interés y la utilidad de tales conceptos y resultados.

El libro de Geometría empieza con una introducción axiomática de la geometría euclídea, para pasar a continuación a la geometría analítica, la geometría proyectiva y terminar con una introducción a las geometrías no euclídeas. Uno de los propósitos principales de este libro es analizar rigurosamente los conceptos geométricos que subyacen en la matemática moderna pero que, a menudo, se dan por sabidos o, más aún, se eluden a través de definiciones oportunas (por ejemplo, al definir el seno como una serie de potencias en lugar del clásico "cateto opuesto partido por la hipotenusa", o al convertir el teorema de Pitágoras en una definición).

El libro de Análisis comienza con una construcción de los números reales, seguido de otros dos capítulos que contienen todos los resultados topológicos que serán necesarios después. A continuación viene un bloque con los resultados fundamentales del cálculo diferencial e integral y luego un tercer bloque con contenidos más avanzados (con introducciones a las variedades diferenciales, al cálculo vectorial y a las series de Fourier, entre otras cosas, además de un capítulo dedicado a las funciones de variable compleja, en el que se prueba, entre otras cosas, el teorema de los residuos de Cauchy y la ecuación funcional de la función dseta de Riemann). En dos apéndices se incluyen numerosas aplicaciones a la física.

El libro de Teoría de grupos contiene los resultados sobre grupos necesarios en los otros tres libros y muchos resultados adicionales que varían entre aplicaciones más o menos elementales de la teoría de grupos hasta teoremas profundos como el teorema paqb de Burnside o el estudio de los grupos simples clásicos.
El libro de Geometría diferencial extiende el cálculo diferencial e integral desarrollados en el libro de Análisis matemático al contexto de las variedades diferenciales abstractas, al tiempo que se demuestra cómo esta teoría abstracta generaliza a la teoría clásica de subvariedades regulares de Rn expuesta también en dicho libro. Como aplicación se presenta el cálculo vectorial clásico y algunas de sus aplicaciones a la física. Además se presentan los resultados fundamentales sobre variedades de Riemann (aunque los resultados se demuestran siempre que es posible en el contexto más general de las variedades semirriemannianas) y se llega al estudio y clasificación de las variedades de curvatura constante, mostrando que la geometría de dichas variedades no es sino la geometría euclídea, elíptica e hiperbólica estudiada en el libro de Geometría, según que la curvatura sea nula, positiva o negativa. Los dos últimos capítulos contienen una introducción a la topología diferencial que culmina con la clasificación de las superficies diferenciales compactas.

En el libro de Topología algebraica se presentan los resultados básicos y numerosas aplicaciones del concepto de grupo fundamental de un espacio topológico y de diversas teorías de homología y cohomología. Está dividido en tres partes, una con los contenidos puramente topológicos, otra con los resultados algebraicos necesarios y una tercera con la topología algebraica propiamente dicha. En la parte algebraica he incluido la teoría de funtores derivados y los resultados básicos sobre haces que permiten, en el último capítulo, comparar las distintas cohomologías definidas sobre un mismo espacio vectorial.

El libro de Teoría algebraica de números desarrolla y generaliza los resultados de la Introdución a la teoría algebraica de números incorporando la teoría algebraica del libro de Álgebra y el cálculo diferencial del libro de Análisis. Contiene los resultados fundamentales sobre anillos de enteros algebraicos.
El libro de Funciones de variable compleja presenta los resultados más importantes sobre las funciones holomorfas de una variable y los resultados más elementales sobre funciones holomorfas de varias variables, incidiendo en los aspectos geométricos de la teoría. La teoría más elemental está expuesta en los últimos capítulos de los libros de Introducción al cálculo diferencial y Análisis.

El libro de Teoría analítica de números contiene algunos resultados que figuraban en las versiones anteriores de mis libros de Funciones de variable compleja y de Teoría de números, junto con muchos otros contenidos adicionales sobre la función dseta de Riemann y la distribución de los números primos. El último capítulo presenta las propiedades básicas de varias familias de números compuestos: altamente divisibles, superabundantes, etc.
Introducción a la geometría algebraica desde un punto de vista clásico (es decir, sin hablar de haces o esquemas). Se trata de una versión revisada del libro anterior del mismo título. La diferencia principal es que se estudian variedades algebraicas definidas sobre cuerpos arbitrarios, no necesariamente algebraicamente cerrados. Tras introducir los conceptos básicos de la geometría algebraica (variedades afines y proyectivas, puntos regulares, topología de Zariski, espacios tangentes, dimensión, etc.) se estudian las variedades complejas y se demuestra que las variedades complejas regulares son variedades analíticas compactas. A partir de aquí se estudian las curvas proyectivas regulares (que en el caso complejo son superficies de Riemann) y sus cuerpos de funciones regulares aplicando las técnicas de la teoría algebraica de números (divisores primos), pues son cuerpos de funciones algebraicas. Con estas técnicas se estudia la intersección de curvas proyectivas planas (teorema de Bezout) y luego se demuestra el teorema de Riemann-Roch, que proporciona, entre otras cosas, una caracterización algebraica del género topológico de una curva. Tras un capítulo de aplicaciones del teorema de Riemann-Roch, se dedica un capítulo al teorema de Abel-Jacobi. En un apéndice se extiende el concepto de divisor a variedades de dimensión mayor que uno, si bien se demuestra únicamente lo imprescindible para probar un teorema sobre isogenias necesario para mi libro de curvas elípticas.
Este libro es una continuación natural de mi libro de Teoría de números, donde expongo la teoría global de cuerpos de clases para cuerpos numéricos y la teoría local para sus compleciones. (No entro en la teoría análoga para cuerpos de funciones algebraicas de una variable sobre cuerpos finitos.) La exposición sigue un enfoque clásico, pero en los últimos temas doy también una exposición alternativa en términos de cohomología de grupos.
Contiene la teoría básica sobre curvas elípticas, hasta el teorema de Mordell-Weil, y algunos resultados sobre funciones modulares. El último capítulo contiene los resultados básicos sobre multiplicación compleja. En el primer capítulo demuestro los resultados fundamentales sobre variedades algebraicas definidas sobre cuerpos no necesariamente algebraicamente cerrados, y he aprovechado la ocasión para incluir en un apéndice la prueba de la hipótesis de Riemann para cuerpos finitos, que estaba enunciada sin prueba en mi geometría algebraica porque necesitaba este material.
Contiene los preliminares de álgebra homológica y álgebra conmutativa para el libro siguiente. La parte de álgebra homológica contiene esencialmente la teoría de funtores derivados desarrollada sobre categorías de módulos sobre un espacio anillado. Aunque no formaba parte del propósito inicial del libro, he aprovechado para incluir aplicaciones a la topología algebraica y la geometría diferencial. Concretamente, demuestro que la cohomología singular, la cohomología singular diferenciable, la cohomología de Alexander-Spanier y la cohomología de De Rham coinciden todas con la cohomología abstracta definida a partir de la teoría de funtores derivados. Como aplicación doy una prueba elegante del teorema de De Rham, incluyendo el hecho de que el isomorfismo de De Rham es un isomorfismo de álgebras (hecho que no está demostrado en mi libro de Topología Algebraica).

La parte de álgebra conmutativa consta de tres capítulos: el primero (Capítulo III) trata sobre el espectro de un anillo y la dimensión de Krull, el segundo (Capítulo IV) sobre anillos locales, en el que demuestro, entre otras cosas, el teorema de la dimensión, y el tercero (Capítulo V) sobre regularidad.
Este libro ha surgido como ampliación de lo que originalmente era un capítulo de preliminares en el libro de Superficies aritméticas. Tras un capítulo de introducción y resultados preliminares, en el capítulo II se exponen los resultados básicos de la teoría de representaciones ordinarias sobre el cuerpo de los números complejos, que después se generaliza en el capítulo III a cuerpos arbitrarios, y el capítulo IV es una introducción a la teoría de representaciones modulares, es decir, a los resultados específicos para cuerpos cuya característica divide al orden del grupo. En el apéndice A se estudian las representaciones de Artin y Swan, que son lo que se requiere en el libro de superficies aritméticas para definir el conductor de una curva elíptica. El apéndice B es un ejemplo ilustrativo, en el que se calculan los caracteres ordinarios y modulares del grupo alternado A5.
Introducción a la geometría algebraica moderna (teoría de esquemas). Contiene todos los resultados necesarios para demostrar el teorema de Weil que afirma que las variedades abelianas son proyectivas, aunque sólo se expone (en el último capítulo) lo mínimo sobre variedades abelianas indispensable para tal fin.
Este libro consta de tres partes: en la segunda construyo el modelo regular minimal y el modelo de Néron de una curva elíptica, para lo cual se usa un teorema de Lipman sobre desingularización de superficies excelentes que enuncio sin demostración. La primera parte contiene la teoría básica sobre los anillos excelentes necesaria para enunciar el teorema de Lipman y para deducir a partir de él los resultados específicos sobre desingularización de superficies aritméticas necesarios para demostrar la existencia del modelo regular minimal. La tercera parte contiene aplicaciones a la teoría de curvas elípticas, fundamentalmente la definición del conductor de una curva elíptica y la demostración de sus propiedades básicas.

Poliedros  Esto es un documento Mathematica (todavía en construcción) en el que presento con figuras interactivas algunos resultados sobre poliedros tridimensionales, incluyendo la clasificación de los poliedros regulares (no necesariamente convexos), los deltaedros (poliedros convexos cuyas caras son triángulos equiláteros) y los poliedros uniformes. Cada uno de ellos se estudia con cierto detalle, al igual que los duales de los poliedros uniformes. Mathematica es un programa de pago, pero no es necesario disponer de él para ver el documento, sino que basta instalarse el CDF Player, que es gratuito y puede descargarse aquí. Más adelante pretendo continuarlo estudiando los grupos de simetrías de los poliedros.

Artículos breves:


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