Aplicar la propietat commutativa: a+b = b+a

Les sumes acostumen a ser més senzilles quan el primer sumand és més gran que el segon. Per tant, sobretot quan treballem amb nombres superiors a 10, pot ser útil començar pel més gran. Exemples: 7 + 21 = 21 + 7 = 28 o 13 + 54 = 54 + 13 = 67

Si hi ha més de dos sumands, aquesta propietat ens permet reagrupar les quantitats perquè les sumes resulten més fàcils. Exemple: 35 + 24 + 5 = (35 + 5) + 24 = 40 + 24 = 64

Recomptes o comptatges

Comptar unitat a unitat és possiblement una de les primeres tècniques que aprenem i els dits són els nostres aliats per a dur-la a terme. Per exemple per a calcular 7 + 6, un alumne que es trobe en etapes inicials de l'ensenyança, anirà comptant 6 unitats a partir del 7. És a dir 7 + 6 = 7 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 13

Per reforçar aquesta habilitat podem practicar sèries ascendents de 2 en 2 o 3 en 3. Així 7 + 6 = 7 + 2 + 2 + 2 = 13 o 7 + 3 + 3 = 13

Descomposició numèrica

Conèixer totes les possibles sumes per obtindre el resultat d’un nombre senzill d’una o dues xifres. Per exemple la descomposició del 5 serà: (1+4 , 2+3, 3+2, 4+1) i la del 10 serà: (1+9, 2+8, 3+7, 4+6, 5+5, 6+4, 7+3, 8+2, 9+1)

Descomposició buscant la desena més pròxima

Es tracta de descompondre un, o els dos sumands, en sumes de manera que es transforme l'operació inicial en una altra equivalent més senzilla. Normalment, els referents per a la descomposició seran les desenes més pròximes. Basant-nos en esta idea podem trobar diferents maneres de sumar:

• A un nombre se li suma progressivament les unitats, desenes, centenes,.. de l'altre. Exemple: 58 + 19 = 58 + 9 + 10 = 67 + 10 = 77 
• Arredonir i compensar: Si un dels números és pròxim a una desena, podem descompondre un dels sumands de tal manera que es puga completar l'altre a la desena més pròxima. Exemple: 58 + 19 = 58 + 2 + 17 = 60 + 17 = 77
• Per a sumar diversos números d'una xifra resulta molt pràctic agrupar les parelles que sumen 10. Exemple: 9 + 4 + 5 + 1 + 6 = (9 + 1) + (4 + 6) + 5 = 25

Sumar d'esquerra a dreta

S’integra dins de la descomposició. És una estratègia de càlcul mental, on l’alumne es posiciona en el sumand de major cardinalitat i l'altre sumand es descompon segons les xifres que li se siguen més fàcils de sumar d'esquerra a dreta. Exemple: 26 + 45 = 20 + 6 + 45 = 65 + 6 = 71

• Per a nombres de 2 xifres o més, realitzar la suma d'esquerra a dreta sol resultar més fàcil perquè no hem de recordar les unitats. Exemple: 148 + 63 = 148 + 50 + 10 + 3
• Per a sumar 8, resulta molt pràctic sumar 10 i restar 2. Exemple: 223 + 8 = 223 + 10 - 2 = (223+10) - 2 = 233 - 2 = 231
• Per a sumar 9, resulta molt pràctic sumar 10 i restar 1. Exemple: 147 + 9 = 147 + 10 - 1 = (147 + 10) - 1 = 157 – 1 = 156

Doblar

La suma d'un número amb si mateix (a + a), calcular el doble d'una quantitat, és una altra de les destreses que convé agilitzar per ser molt freqüent la seua aparició. Podem recórrer a aquesta tècnica fins i tot en situacions que no semblen molt propícies:

• Nombres consecutius o veïns: Pensarem en el doble del menor i sumarem 1. Exemple: 7 + 8 = 7 + 7 + 1
• El nombre del mig: Quan s'està davant d’una parella de nombres quasi veïns, entre els quals hi ha un al mig amagat, llavors és possible resoldre la situació trobant el doble d’eixe nombre misteriós. Exemples: 6 + 8 = 7 + 7 o 7 + 9 = 8 + 8

Recomptes o comptatges utilitzant la prova de la resta

A l'hora de restar dos quantitats, podem pensar en la idea de descomptar per a veure el que ens queda, però a vegades serà més senzill utilitzar la prova de la resta per a buscar el resultat, és a dir, partint del subtrahend comptar fins a arribar al minuend. Per a calcular per exemple 7 – 5 pensarem a comptar des de 5 fins a 7. Així tindrem que 7 - 5 = 2 perquè 5 + 2 = 7. Amb aquesta idea, podem transformar l'operació de restar en un pensament de sumar.

Descomposició

Aplicant la mateixa idea de descompondre un número que en les sumes podem aplicar aquestes tècniques a l'hora de restar:

• Restar del minuend les unitats, desenes, centenes… 96 – 42 = 96 – 2 – 40 = 94 – 40 = 54
• Arredonir i compensar: Si un dels nombres és pròxim a una desena, completar fins a eixa desena i sumar o restar unitats del resultat final. Exemples: 57 – 19 = 57 – 20 + 1 = 37 + 1 = 38 o 89 – 15 = 90 – 15 – 1 = 75 – 1 = 74

Restar d'esquerra a dreta

Aquesta estratègia funciona igual que a la suma, i per tant, també s’integra dins de l’estratègia de descomposició. Exemple: 736 – 52 = 736 – (50 + 2) = 736 – 50 – 2 = 686 – 2 = 684

• Per a restar 9, és millor restar 10 i sumar 1. Exemple: 98 – 9 = (98 – 10) + 1 = 88 + 1 = 89
• Per a restar 8, és més pràctic restar 10 i sumar 2. Exemple: 23 – 8 = 23 – 10 + 2 = (23 – 10) + 2 = 15

Aplicar la propietat commutativa: a x b= b x a

Solen ser més senzilles les multiplicacions en les quals el primer multiplicant és major que el segon. Per la qual cosa, sobretot en multiplicacions amb nombres superiors a la desena, pot ser convenient multiplicar el menor al major. Exemple: 3 x 7 = 7 x 3 = 21

Reducció a la suma

En diverses situacions, no podem oblidar que una multiplicació és una suma de factors iguals. Exemple: 7 x 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Descomposició i ús de la propietat distributiva

Es tracta de descompondre un factor en sumes o restes mitjançant l’estratègia d’arredonir, i després aplicar la propietat distributiva. Exemples: 82 · 7 = (80 + 2) · 7 = 560 + 14 = 574 o 39 · 4 = (40 - 1 ) · 4 = 160 – 4 = 156

Factorització i ús de la propietat associativa

Es descompon un o varios factors en altres més simples i s’aplica la propietat associativa. Exemple: 18 · 15 = 2 · 9 · 5 · 3 = 10 · 27 = 270

Multiplicar doblant i dividint entre 2

Hi ha ocasions en que un dels nombres és parell. En aquests casos, pots dividir entre 2 el nombre parell i multiplicar l’altre per 2. Es pot repetir aquesta tècnica fins aplegar a una operació més senzilla. Exemple: 14 · 16 = 28 · 8 = 56 · 4 = 112 · 2 = 224

Càlcul aproximat

Si l’objectiu de l’operació és fer una estimació aproximada del resultat, es pot utilitzar la tècnica d’arredonir una quantitat per dalt i l’altra per baix. Exemple: 23 x 48 ≈ 20 · 50 ≈ 1000

Tips per a multiplicacions de nombres senzills

• Multiplicar per 10 o potències de 10: Afegir tants zeros com tinga la potència
• Multiplicar per múltiples de 10: Es factoritza el múltiple de 10 per obtindre una operació més senzilla amb l’altre factor. Exemple: 12 x 60 = 12 x (6 x 10) = 12 x 6 + 12 x 10
• Multiplicar per potències de 2: En aquest cas podem doblar el nombre tantes vegades com la potència. Exemple: Si multipliquem un nombre per 8, podem doblar aquest nombre 3 vegades, a x 8 = a x 2 x 2 x 2
• Multiplicar per 3: Quan multipliquem un nombre per 3, podem sumar aquest nombre tres vegades
• Multiplicar per 5: Com que 5 = 2 / 10 , multiplicar un nº per 5 és el mateix que dividir-lo entre 2 y multiplicar-lo per 10.
• Multiplicar per 6: Com que 6 = 2 x 3, podem primer multiplicar per 2 i després per 3.
• Multiplicar per 9: Com que 9 = 10 - 1, podem multiplicar primer per 10 i després restar el nombre. a x 9 = (a x 10) - a. Exemple: 16 x 9 = 16 x (10 - 1) = 160 - 16 = 144

Descomposició

Amb aquesta estratègia podem transformar una divisió en un conjunt de divisions més senzilles a través de la descomposició del dividend o del divisor:

• El divisor és una potència de 2: Es divideix el dividend entre 2 n vegades. Exemple: 440 : 8 = (440 : 2) : 4 = (220 : 2) : 2 = 110 : 2 = 55
• El divisor és múltiple de 10: Es descompon el divisor i fan les divisions. Exemple: 460 : 20 = (460 : 2) : 10 = 230 : 10 = 23 
• El dividend és múltiple de 10: Per a dividir un nombre acavat en uno o varios zeros, es divideix el nombre sense els zeros i s’afegeixe els zeros al quocient. Exemple: 6400 : 32 = (64 : 32) · 100 = 2 · 100 = 200 

Dividir entre 2

Calcular la meitat d’un nombre

Dividir entre 3

Calcular la tercera part d’una quantitat

Dividir entre 10 o potències de 10

Es lleven tants zeros a una quantitat com zeros tinga la potència

Dividir entre 5

Com que 5 = 10 / 2,  dividir un nombre entre 5 equivaldrá a multiplicar-lo per 2 i dividir-lo entre 10. Exemple: 640 : 5 = (640 x 2) : 10 = 1280 : 10 = 128.

Dividir entre 6

Com que 6 = 2 x 3, dividir un nombre entre 6 equivaldrá a dividir-lo entre 2 i entre 3. Exemple: 18 : 6 = (18 : 2) : 3 = 9 : 3 = 3

Dividir entre 25

Com que 25 = 100 / 4, dividir un nombre entre 25 equivaldrá a multiplicar-lo per 4 i dividir-lo entre 100. Exemple: 700 : 25 = (700 x 4) : 100 = 2800 : 100 = 28.