3. La mediana (M)

És la mesura de centralització que indica el valor que ocupa la posició central d’un conjunt de dades quan aquestes es troben de menor a major. Aquesta mesura és útil perquè divideix el conjunt de dades en dues parts iguals: el 50% dels valors queden per sota de la mitjana, i l’altre 50% es troben per sobre. A continuació, es presenta la fórmula per a calcular la mediana en diferents casos:

\(_{L_{i}}+\frac{\frac{n}{2}-_{F_{i-1}}}{f1}\times a_{1}\)

On:

\(L_{i}\): Límit inferior de la classe on es troba la mediana.

\(n_{2}\): Semisuma de les freqüències absolutes.

\(f_{1}\): Freqüència absoluta de la classe mediana.

\(f_{1-1}\): Freqüència acumulada anterior a la classe mediana.

\(a_{1}\): Amplitud de la classe.

Dades no agrupades

Suposa que tens cinc amics de diferents edats:

10,5,12,19, 2 anys

Ordenem aquests valors de més petit a més gran i observem el valor que ocupa la posició central:

2, 5, 10, 12, 19 anys

Tenim 5 dades. La 3ª posició és la que deixa la meitat de les dades de la mostra a cada costat.

Me= 10 anys

Si el nombre de dades és parell, trobem que hi ha dos valors centrals. La mediana és la mitjana aritmètica d’aquests dos valors centrals, és a dir, es la la suma d’ambdós i es divideix per dos.

Exemple cálcul de mediana amb dos valors centrals:

Imagina que tens huit amics de diferents edats:

13, 5, 17, 10, 1, 2, 9, 7 anys

Ordenem aquestes dades de més menut a més gran:

1, 2, 5, 7, 9, 10, 13, 17 anys

I agafem com a mediana la mitjana aritmètica de les dues centrals, 7 i 9:

Me=\(\frac{7+9}{2}=\frac{16}{2}\)=8

Si les dades es troben agrupades amb les freqüencies corresponents, cal determinar en quina posició es troba el valor que ocupa el centre de la distribució.

Dades agrupades en la taula de freqüències

Ara suposa que es tracta de trobar la mediana de les edats obtingudes en un grup d’amics. Les edats es troben resumides a la taula.

Per calcular la mediana en primer lloc afegim a la taula la columna de les freqüències acumulades.

VALOR (ANYS)	FREQÜÈNCIA (AMICS)
1	4
2	3
3	4
4	2

Primer, ordenem les edats de tots els amics per calcular la mediana:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4.

Observem que en total hi ha tretze amics, i que la posició central és la que deixa sis valors a cada costat.

Per tant, el valor que té la dada que ocupa la setena posició és el 2.

Me= 2 anys

Tanmateix, això hem de poder fer-ho sense necessitat de llistar totes les edats. La manera seria amb l’ajuda de les freqüències acumulades (\(fa_{}\)).

Així, presentem les edats tot i afegint a la taula iniciales les freqüències acumulades (\(fa_{}\)).

VALOR (ANYS)	FREQÜÈNCIA (Fa) (AMICS)	FREQÜÈNCIA ACUMULADA (\(fa_{}\))
1	4	4
2	3	7
3	4	11
4	2	13

A la taula, observem que hi ha 13 dades (dada de la \(fa_{}\) de major valor). Calculem el valor central:

\(\frac{13}{2}\) = 6,57

Per saber quin valor correspon a la setena posició de la mostra, observem les freqüències acumulades (\(fa_{}\)) i obtenim que:

\(fa_{1}\)=4. És a dir, les dades corresponents fins a la 4ª posició (1ª, 2ª, 3ªi 4ª), tenen el valor 1.

\(fa_{2}\)= 7. És a dir, les dades de la 5ª a la 7ª posició (5ª, 6ª i 7ª), tenen el valor 2.

\(fa_{3}\)= 11. És a dir, les dades de la 8ª a la 11ª posició (8ª, 9ª, 10ª i 11ª), tenen el valor 3.

Per tant, el valor que té la dada que ocupa la setena posició és el 2.

Me= 2

Exemple de càlcul de mediana amb freqüències i dos valors centrals:

Si disposem de la taula de valors següent:

VALOR (ANYS)	\(f_{a}\) (AMICS)	\(f_{a}\)
1	4	4
2	2	6
3	5	11
4	3	14

En total hi ha 14 amics (4+2+5+3=14) i, per tant, en ser parell, hi ha dues edats que ocupen la posició central:

\(\frac{14}{2}\) =7 \(\to\) 7 i 8

Si calculem les \(f_{a}\), veiem que el valor que ocupa la posició 7 és el 3, i el valor que ocupa la posició 8 és també 3.

Me= \(\frac{3+3}{2}\) = 3 anys

Dades agrupades en intervals:

Si les dades estan distribuïdes en intervals, és possible determinar a quin d’aquests intervals pertany la mediana i es pot utilitzar com a mediana la marca de classe.

INTERVALS (ANYS)	\(\overline{X}\)	\(f_{a}\) (NOMBRE D'AMICS)
[0,3)	1,5	4
[3,5)	4	2
[5,8)	6,5	3
[8,10)	9	1
[10,12)	11	4

En total hi ha 14 amics i, per tant, hi ha dos edats que ocupen la posició central:

\(\frac{14}{2}\) =7 \(\to\) 7 i 8

Si calculem les \(f_{a}\), veiem que els valors que ocupen les posicions 7 i 8 estan compresos en l’interval [5,8). Per tant:

Me= 6 anys

Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento Compartir igual 4.0