Funciones cuadrado y cálculo funcional $H^\infty$ para operadores sectoriales.

Las funciones cuadrado asociadas a generadores de semigrupos de operadores aparecen en el libro clásico de Stein [3] sobre la teoría de Littlewood-Paley para semigrupos actuando en espacios $L^p$. Stein dió algunas aplicaciones de estas funciones cuadrado al cálculo funcional y a multiplicadores para semigrupos de difusión. Más tarde Cowling [1] obtuvo extensiones de estos resultados y los usó para estudiar operadores maximales. El trabajo de Cowling, Doust, McIntosh y Yagi [2] fue fundamental en el desarrollo de esta teoría. En él se establecen conexiones entre el cálculo funcional $H^\infty$ de McIntosh y los resultados de Stein. Supongamos que $A$ es un operador sectorial sobre $L^p(\Omega)$, con $1

1. M. Cowling, Harmonic analysis on semigroups, Ann. Math. 117 (1983), 267-283.
2. M. Cowling, I. Doust, A. McIntosh y A. Yagi, Banach space operators with a bounded $H^\infty$ functinal calculus, J.Austr.Math. Soc. (series A) 60 (1996), 51-89.
3. E.M. Stein, Topics in harmonic analysis related to the Littlewood-Pley theory, Ann. Math. Studies, Princeton University Press, 1970.

Geometría de espacios de polinomios y desigualdades polinomiales

Comenzaremos introduciendo los conceptos y resultados más relevantes de la teoría general de polinomios en espacios normados, para lo cual se seguirá la monografía de Dineen [4]. A partir de aquí, seguiremos dos líneas de trabajo:

Primero revisaremos la geometría de algunos espacios polinomiales de dimensión finita ya estudiados en el pasado. Nos centraremos en el estudio de determinados espacios polinomiales de dimensión 3, e intentaremos visualizar la esfera unidad del espacio, en busca de sus puntos extremos. Algunos problemas concretos que podrían formar parte del taller son la caracterización de los puntos extremos de ${\mathcal P}(^2\ell_p^2)$ [6] o del espacio de trinomios reales o complejos [1,7]. Se prestará especial atención al estudio de la geometría de espacios de polinomios sobre cuerpos convexos no simétricos respecto al origen, como ${\mathcal P}(^2\Delta)$, ${\mathcal P}(^2\Box)$ o ${\mathcal P}(^2D(\alpha))$ siendo $\Delta$ el simplex, $\Box=[0,1]^2$ y $D(\alpha)$ un sector circular de amplitud $\alpha$ en ${\mathbb R}^2$ (ver, por ejemplo [5]).

En segundo lugar, haremos una introducción al estudio de algunas desigualdades polinomiales destacadas en espacios normados. En concreto revisaremos desigualdades de tipo Bernstein-Markov, de tipo Bohnenblust-Hille, constantes incondicionales y cons\-tan\-tes de po\-la\-ri\-za\-ción (ver por ejemplo [2,3]. Algunos de estos problemas pueden ser resueltos en espacios concretos usando los resultados de la primera parte del taller, en combinación con el Teorema de Steintz (versión en dimensión finita del Teorema de Krein-Milman), como en [5].

1. R. M. Aron and M. Klimek, Supremum norms for quadratic polynomials, Arch. Math. (Basel) 76 (2001), no. 1, 73–80.
2. A. Defant, J. C. Díaz, D. García, and M. Maestre, Unconditional basis and Gordon-Lewis constants for spaces of polynomials, J. Funct. Anal. 181 (2001), no. 1, 119–145.
3. A. Defant, L. Frerick, J. Ortega-Cerdà, M. Ouna\"{i}es, and K. Seip, The Bohnenblust-Hille inequality for homogeneous polynomials is hypercontractive, Ann. of Math. (2) 174 (2011), no. 1, 485–497.
4. S. Dineen, Complex analysis on infinite-dimensional spaces, Springer Monographs in Mathe- matics, Springer-Verlag London, Ltd., London, 1999.
5. J. L. Gámez-Merino, G. A. Muñoz-Fernández, V. M. Sánchez, and J. B. Seoane-Sepúlveda, Inequalities for polynomials on the unit square via the Krein-Milman theorem, J. Convex Anal. 20 (2013), no. 1, 125–142.
6. B. C. Grecu, Geometry of 2-homogeneous polynomials on $l_p$ spaces, $1
7. G. A. Muñoz-Fernández and J. B. Seoane-Sepúlveda, Geometry of Banach spaces of trinomials, J. Math. Anal. Appl. 340 (2008), no. 2, 1069–1087.

Maximal averaging operators: from geometry to boundedness through duality

The course will present the general principle that boundedness of maximal averages characterizes pointwise convergence in a variety of contexts. The main focus of the course will be on understanding maximal operators through geometry and duality. The general principle that we will try to explore is that there is an equivalence between geometric covering properties of families of sets, and boundedness of corresponding maximal operators. This equivalence is established through duality and thus reduces the problem of boundedness of maximal operators to that of understanding geometric covering lemmas. The opposite implication is also very useful, namely the fact that analytic properties of operators imply geometric and combinatorial properties of families of sets.

We will begin by exploring the simplest instances of the phenomenon described above: the case of maximal averages with respect to Euclidean balls, and cubes. Here the main tools are relatively simple covering lemmas. A next step will be to understand the family of rectangles in $2$ dimensions, where the geometry and combinatorics are slightly more involved; this is reflected in the fact that the corresponding maximal operator, namely the "strong maximal function", has weaker boundedness properties. Depending on the dynamic and response of the work in the group during the school we might (or might not) touch upon another example which has a higher level of complexity, the directional maximal operator: here the family of sets is a set of parallelograms pointing in a given set of directions in the plane.

All the examples above will illustrate the general principle and exhibit the interplay between geometry, functional analysis, and analytic properties of maximal averages.

Espacios de Hardy y funciones holomorfas en infinitas variables

Si $\mathbb{D}$ denota el disco unitario de $\mathbb{C}$ y $\mathbb{T}$ su frontera, un resultado básico del Análisis de Fourier muestra que los espacios $H_{\infty}(\mathbb{D})$ (de funciones holomorfas y acotadas) y $H_{\infty}(\mathbb{T})$ (de funciones en $L_{\infty}(\mathbb{T})$ cuyos coeficientes de Fourier $\hat{f}(n)$ son nulos para $n < 0$) son isométricamente isomorfos. El objetivo del taller es probar un resultado análogo para funciones en infinitas variables y llegar a \[ H_{\infty} (B_{c_{0}})=H_{\infty}(\mathbb{T}^{\infty}) \,, \] donde $H_{\infty} (B_{c_{0}})$ es el espacio de funciones holomorfas y acotadas en $B_{c_{0}}$ (la bola unidad abierta de $c_{0}$) y $H_{\infty}(\mathbb{T}^{\infty})$ el correspondiente espacio de Hardy de funciones definidas en $\mathbb{T}^{\infty}$ (producto numerable de $\mathbb{T}$). Partiendo del análisis del caso $1$-dimensional obtendremos el resultado análogo para funciones en $n$ variables \[ H_{\infty} (\mathbb{D}^{n})=H_{\infty} (\mathbb{T}^{n}) \,. \] A partir de este resultado daremos el ``salto'' a funciones en infinitas variables. Los aspectos fundamentales que vamos a trabajar son los siguientes:

1. Breve introducción a los espacios de Hardy en finitas e infinitas variables.
2. Breve introducción a las funciones holomorfas en finitas e infinitas variables.
3. El núcleo de Poisson en una y varias variables.
4. Herramientas que permitan obtener resultados para funciones en $B_{c_{0}}$ y $\mathbb{T}^{\infty}$ a partir de los resultados para $\mathbb{D}^{n}$ y $\mathbb{T}^{n}$.

1. B. J. Cole and T. W. Gamelin. Representing measures and Hardy spaces for the infinite polydisk algebra. Proc. London Math. Soc. (3), 53(1):112--142, 1986.
2. A. Defant, D. García, M. Maestre, and P. Sevilla-Peris. Dirichlet Series and Holomorphic Functions in High Dimensions, to appear, New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, 2019.
3. S. Dineen. Complex analysis on infinite-dimensional spaces. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag London Ltd., London, 1999.
4. J. Duoandikoetxea. Fourier analysis, volume 29, Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. Translated and revised from the 1995 Spanish original by David Cruz-Uribe.
5. W. Rudin. Function theory in polydiscs. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.

Espacios de Banach bajo diferentes axiomas

En esta charla repasaremos algunas cuestiones sobre los fundamentos axiomáticos de las matemáticas, explicando el significado de axiomas como la Hipótesis del Continuo, el Axioma de Martin o los axiomas de determinación, y las implicaciones que tienen en algunos problemas sobre espacios de Banach. Aunque llegaremos a presentar resultados de investigación reciente, trataremos de dar a la exposición un carácter divulgativo sobre estos temas.
Investigación financiada por el proyecto MTM2017-86182-P.

The Fréchet algebra of uniformly convergent Dirichlet series

Motivated by a classical result of Bohr in 1913, which states that the abscissa of boundedness and the abscissa of uniform convergence coincide for a Dirichlet series, and by an improved Montel principle due to Bayart in 2002, we investigate the Fréchet algebra of all Dirichlet series that are uniformly convergent in the half-plane of complex numbers with positive real part when it is endowed with its natural complete metrizable locally convex topology.

Average operators on rectangularly defined spaces

In 2001, J. Xiao proved the continuity of the weighted Hardy-Littlewood average $H_{\varphi}$ on $L^p(\mathbb{R}^n)$ ($1\leq p\leq\infty$) and $BMO(\mathbb{R}^n)$ under appropriate conditions on $\varphi$. This average operator is pointwise defined by \[ H_{\varphi}f(x)=\int_0^1f(tx)\varphi(t)dt. \] We are interested in classifying those non-negative functions $\varphi$ for which $H_\varphi$ and other operators related to it are continuous on the space of functions with bounded central rectangular mean oscillation. We will also consider the rectangular version of the $n$-dimensional Hardy operator and functions belonging to the space mentioned above to construct continuous operators on $L^p(\mathbb{R}^n)$ for $1 < p < \infty$.

Heisenberg Uniqueness Pairs and Unique Continuation for the Helmholtz equation

In 2011, Hedenmaln and Montes-Rodríguez introduced the concept of a Heisenberg Uniqueness Pair $(\mathcal{M},\Sigma)$ with $\mathcal{M}\subset \mathbb{R}^d$ a manifold and $\Sigma$ a set in $\mathbb{R}^d$ where the only finite measure $\mu$ supported in the manifold $\mathcal{M}$ and such that its Fourier transform vanishes on $\Sigma$ is the identically zero measure. Also in 2011, Sj\"olin and Lev, independently, provided examples in $d=2$ in the case of $\mathcal{M}$ the unit circle and $\Sigma$ the union of two intersecting lines.

Since the Fourier transform of a measure supported in the circle can be seen as a solution of the Helmholtz equation, our aim in this talk is to give new proofs of the result due to Sjölin and Lev looking at Heisenberg Uniqueness Pairs from a PDE point of view. Moreover, this new approach will allow us to extend these results to a broader sense.

This is a joint work with Ph. Jaming (Université de Bordeaux) and K. Gröchenig (Wien Universität).

Extensiones del teorema de Krasnoselskii de interpolacion a operadores estrictamente singulares

Se presentan extensiones del teorema clasico de Krasnoselskii de interpolacion de operadores compactos entre espacios $L_{p}-L_{q}$, a la clase de los operadores estrictamente singulares. Se estudia la estructura del conjunto, $V_{p,q}$, de los operadores estrictamente singulares no-compactos en funcion de los posicion de los valores $ p , q $ , y su relacion con el conjunto caracteristico, $L(T)$ de Krasnoselskii y Zabrejko . La charla es parte de trabajos conjuntos con E. Semenov y P. Tradacete.

Renorming with bidual octahedral norms

El concepto de norma octaedral fue introducido por G. Godefroy y N. Kalton [2] en los 80, como una familia de normas ``tipo'' $\ell_1$, seguramente inspirados por una famosa caracterización de los espacios de Banach que contienen copias isomorfas de $\ell_1$, debida a B. Maurey [3]. Actualmente se sabe de la existencia de una estrecha relación entre normas octaedrales y otras propiedades geométricas en espacios de Banach, como la propiedad de Daugavet o propiedades de diámetro dos, por poner algunos ejemplos.

Aunque la definición original es formalmente diferente, podemos decir que una norma en un espacio de Banach separable $X$ es octaedral, si existe algún elemento no nulo $x^{**}\in X^{**}$ de forma que $$\Vert x+x^{**}\Vert=\Vert x\Vert +\Vert x^{**}\Vert \ \forall \ x\in X.$$

B. Maurey [3] probó que un espacio de Banach separable $X$ contiene copias isomorfas a $\ell_1$ si, y sólo si, para algún elemento no nulo $x^{**}\in X^{**}$, se verifica la siguiente igualdad: $$\Vert x+x^{**}\Vert=\Vert x-x^{**}\Vert\ \forall \ x\in X.$$ Posteriormente, G. Godefroy [1] probó que un espacio de Banach $X$ se puede renormar equivalentemente con una norma octaedral si, y sólo si, $X$ contiene copias isomorfas a $\ell_1$

El objetivo de esta charla será exponer las ideas generales que permiten renormar cada espacio de Banach separable, con copias isomorfas de $\ell_1$, de forma que la nueva norma bidual sea octaedral, respondiendo así, en el caso separable, a un interesante problema planteado por G. Godefroy en 1989 [1]. El caso no separable se resiste, por el momento.

El resultado que se anuncia en la charla es parte de un trabajo en colaboración con J. Langemets.

1. G. Godefroy. Metric characterization of first Baire class linear forms and octahedral norms. Studia Math. T. XCV (1989), 2-15.
2. G. Godefroy and N.J. Kalton, The ball topology and its applications. Contemporary Math. 85 (1989), 195-237.
3. B. Maurey. Types and $\ell_1$-subspaces. Longhorn Notes. Texas Functional Analysis Seminar, Austin, Texas 1982/83.

Averaging operators, fixed points and partial differential equations

The Mean Value Property (MVP) for harmonic functions in euclidean space is a key ingredient of the interplay between Geometric Function Theory, Probability and PDE's. It is also a natural starting point to define harmonic functions in other contexts like graphs or metric measure spaces. While it is well known that harmonic functions in a domain of $\mathbb R^n$ satisfy the MVP in every ball contained in the domain, it is perhaps more surprising that, under appropriate assumptions, a single ball at each point of the domain is enough to guarantee harmonicity. This makes possible to look at harmonic functions as fixed points of certain averaging operators and to give constructive solutions of the Dirichlet Problem, an approach already considered by Lebesgue and Carathéodory. In the talk we will review some facts about the MVP and averaging operators, from classical stuff to recent nonlinear versions.

On Hermite-Hadamard inequalities and some applications

The original Hermite-Hadamard inequality (1881) states that if $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ is a concave function, then \begin{equation}\label{eq:H-H} (1)\ \ \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\leq f\left(\frac{a+b}{2}\right) \end{equation} for any $a < b$. In this talk we will derive some new extensions of (1) in $\mathbb R^n$ replacing $f(x)$ by $f(x)^m$ for some $m\in\mathbb N$. As an application to these new inequalities, we will derive Rogers-Shephard type inequalities. The latter inequalities relate the volume of a convex compact set $K$ in $\mathbb R^n$ to the volumes of some of its sections and projections with respect to some linear subspaces, and some of them is considered as the reverse to the Brunn-Minkowski inequality.

On the differentiability of the Convolution

Convolution on the circle is well-known for preserving most of the best properties (in terms of regularity, namely continuity, Lipschitzianity or continuous differentiability) of the functions that take part in it. In the present talk we will focus on the property of differentiability alone, and we will examine to what extent differentiability for $f$ and $g$ ensures that $f*g$ is differentiable as well.

A characterization of the density property for translation invariant bases

The classical theorem of Busemann and Feller characterizes the homothecy invariant bases which differentiate $L^\infty$ by means of the halo function. In formulas, if $\mathfrak B$ is a collection of bounded open sets in $\mathbb R^n$ then we say that $\mathfrak B$ is a \emph{density basis} if the averages of bounded functions $f$ with sets from $\mathfrak B$ converge to $f$ almost everywhere, as the averaging sets shrink to points. The characterization of Busemann and Feller says that this happens if and only for every $\alpha\in(0,1)$ we have \[ \sup_{0<|E|< \infty} |E|^{-1}|\{\mathsf M_{\mathfrak B}\mathbf{1}_E> \alpha\}| <\infty \] where the supremum is taken over all measurable sets $E$ and $\mathsf{M}_{\mathfrak B}$ is the maximal function of the basis. We introduce a local version of the Busemann-Feller criterion which gives the characterization of the density property for bases which are \emph{translation invariant but not dilation invariant}. The relevant theorem addresses a conjecture of M. de Guzmán from his famous monograph on differentiation of integrals. This talk reports on joint work with Paul A. Hagelstein (Baylor University).

Normas octaedrales en productos tensoriales de espacios de Banach

Un espacio de Banach $X$ se dice que tiene la propiedad de diámetro dos para slices (respectivamente propiedad de diámetro dos, propiedad fuerte de diámetro dos) si todo slice (respectivamente todo abierto débil no vacío, toda combinación convexa de slices) de la bola unidad de $X$ tiene diámetro dos. En 2013, T. Abrahamsen, V. Lima and O. Nygaard preguntaron cómo se preservan las propiedades anteriores al tomar producto tensorial de dos espacios. En 2015, se demostró si dos espacios de Banach $X$ e $Y$ tienen la propiedad fuerte de diámetro dos, entonces su tensor proyectivo $X\widehat{\otimes}_\pi Y$ también tiene la propiedad fuerte de diámetro dos, quedando como problema abierto si esta propiedad se preserva si sólamente se asume sobre uno de los factores. En esta charla presentaremos un ejemplo que da respuesta negativa. Para ello, analizaremos en un contexto dual, condiciones para que un producto tensorial inyectivo de la forma $L_1([0,1])\widehat{\otimes}_\varepsilon Y$ tenga norma octaedral, lo cual nos conducirá a estudiar la relación que existe entre la octaedralidad en un tensor inyectivo y la representabilidad finita en $\ell_1$.

A straight way to twisted sums

A twisted sum of two Banach spaces $Y$ and $X$ is a space $Z$ which contains $Y$ as a closed subspace and the corresponding quotient $Z/Y$ is $X$. The general theory of twisted sums studies how to construct the space $Z$ out from the data $Y$, $X$, and which properties it enjoys.

In this talk, we describe two complementary approaches to construct twisted sums before introducing the main topic: twisted sums of $\ell_1$ and $c_0$. The reason to focus on this case is that they are somewhat mysterious spaces of which we only know their existence.