Preliminars

Introduïm els conceptes necessaris per al desenvolupament dels temes que tractarem en el següents capítols.

Definició 1 (Cos) Un cos és una tupla \((\mathbb{K},+,\cdot,0,1)\) on

• \(\mathbb{K}\) és un conjunt d’elements els quals anomenarem escalars;
• \(+\) i \(\cdot\) són operacions binàries internes en \(\mathbb{K}\) que anomenarem, respectivament, suma i producte. Aquestes operacions compleixen les propietats associativa, commutativa i distributiva del producte respecte la suma;
• \(0\in \mathbb{K}\) és l’element neutre per a la suma;
• \(1\in \mathbb{K}\) és l’element neutre per al producte;
• Tot element de \(\mathbb{K}\) és invertible per a la suma. Als inversos per a la suma els anomenarem oposats;
• Tot element de \(\mathbb{K}\), a excepció del \(0\), és invertible per al producte.

Se’n dedueix de la definició que \((\mathbb{K},+,0)\) i \((\mathbb{K}-\{0\},\cdot, 1)\) són grups abelians. Quan se sobreentenguen les operacions suma i producte, així com els seus neutres, utilitzarem únicament \(\mathbb{K}\) per a referir-nos al cos \((\mathbb{K},+,\cdot, 0,1)\).

Exemple 1 Els conjunts \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}\) i \(\mathbb{C}\) de nombres racionals, reals i complexos, respectivament, amb les operacions habituals de suma i producte són cossos. Per contra, els conjunts \(\mathbb{N}\) i \(\mathbb{Z}\), de nombres naturals i enters, respectivament, amb les operacions habituals de suma i producte no són cossos.

Associada a tot cos tenim la noció de característica.

Definició 2 (Característica d’un cos) Siga \((\mathbb{K},+,\cdot,0,1)\) un cos. Anomenem característica del cos \(\mathbb{K}\), denotada \(\mathrm{car}(\mathbb{K})\), al menor natural no nul \(n\in\mathbb{N}\) de forma que, en sumar \(1\) amb ell mateix \(n\) vegades, s’obté com a resultat \(0\). En aquest cas, escriurem \(\mathrm{car}(\mathbb{K})=n\). En cas de no existir aquest natural, direm que el cos \(\mathbb{K}\) té característica zero i escriurem \(\mathrm{car}(\mathbb{K})=0\).

Exemple 2  

1. Per a un nombre primer \(p\in\mathbb{P}\), el cos \(\mathbb{Z}_{p}\) té característica \(p\);
2. Els cossos \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) i \(\mathbb{C}\) tenen característica \(0\).

Proposició 1 Siga \(\mathbb{K}\) un cos no trivial amb \(\mathrm{car}(\mathbb{K})\neq 2\), aleshores \(\mathbb{K}\neq \{0,1\}\), és a dir, \(\mathbb{K}\) conté més elements que \(0\) i \(1\).

Demostració. Considerem l’element \(1+1\). Anem a comprovar que \(1+1\) és un element diferent a \(1\) i a \(0\). Suposem per reducció a l’absurd que aquest no fóra el cas.

Si \(1+1=1\), aleshores restant \(1\) a ambdues bandes tindríem que \(1=0\). Notem que si \(x\in\mathbb{K}\) es tindria que \(x=1x=0x=0\). Llavors arribaríem a contradicció, ja que el cos seria trivial. Per altra banda, si \(1+1=0\), aleshores arribaríem a contradicció ja que el cos tindria característica \(2\).

Per tant, l’element \(1+1\in\mathbb{K}-\{0,1\}\).

0.1 Matrius sobre un cos

A continuació presentem una sèrie de definicions bàsiques sobre matrius.

Definició 3 Donats \(m,n\in\mathbb{N}\), una matriu \(\mathsf{A}\) d’\(m\) files i \(n\) columnes sobre un cos \(\mathbb{K}\) és una aplicació de la forma \(\mathsf{A}\colon \{1,\cdots, m\}\times \{1, ..., n\}\longrightarrow \mathbb{K}\) que es representa com una taula amb \(mn\) entrades de la següent forma \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11} &\alpha_{12} &\cdots &\alpha_{1n} \\ \alpha_{21} &\alpha_{22} &\cdots &\alpha_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ \alpha_{m1} &\alpha_{m2} &\cdots &\alpha_{mn}\\ \end{bmatrix} \] on, per a tot \(1\leq i\leq m\) i \(1\leq j\leq n\), es té que l’element \(\mathsf{A}(i,j)=\alpha_{ij}\) pertany a \(\mathbb{K}\). En aquest cas direm que la matriu \(\mathsf{A}\) té tamany \(m,n\). Les matrius també solen representar-se de forma compacta com a \(\mathsf{A}=(\alpha_{ij})\), on se sobreentén el rang de variació dels índexs \(i\) i \(j\). Direm que les matrius \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{B}\) són iguals si tenen el mateix tamany i per a cada parell d’índexs \(i,j\), les entrades en la posició \((i,j)\) coincideixen.

Denotem per \(\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\) al conjunt de totes les matrius de tamany \(m,n\) sobre \(\mathbb{K}\). Si \(m=n\), direm que la matriu és quadrada i en aquest cas escriurem \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) en compte de \(\mathrm{M}_{nn}(\mathbb{K})\). Les matrius quadrades són aquelles que tenen el mateix nombre de files i columnes.

Direm que una matriu \(\mathsf{A}=(\alpha_{ij})\) es

• diagonal, si per tot parell d’índexs \(i\neq j\) es té que \(\alpha_{ij}=0\);
• triangular superior, si per a tot parell d’índexs \(i<j\) es té que \(\alpha_{ij}=0\);
• triangular inferior, si per a tot parell d’índexs \(i>j\) es té que \(\alpha_{ij}=0\).

Anomenem pivot de la fila \(i\) d’una matriu \(\mathsf{A}\) al primer element no nul d’aquesta fila.

Direm que la matriu \(\mathsf{A}\) és esglaonada per files si

1. les files nules d’\(\mathsf{A}\) estan baix del tot
2. els pivots de tota fila no nula valen \(1\) i
3. el pivot de cada fila no nula està a la dreta dels pivots de les files anteriors.

Direm que la matriu \(\mathsf{A}\) és esglaonada reduïda per files si és esglaonada per files i, a més,

4. les entrades a sobre de cada pivot són igual a \(0\).

Exemple 3 Considerem les següents matrius sobre \(\mathbb{Q}\) \[ \begin{array}{ccccccc} \mathsf{A}= \begin{bmatrix} 1 &2 &3\\ 1 &2 &3\\ 1 &2 &3\\ \end{bmatrix}, \qquad \mathsf{B}= \begin{bmatrix} 0 &1 &9 &-1 \\ 0 &0 &1 &3 \\ \end{bmatrix}, \qquad \mathsf{C}= \begin{bmatrix} 1 &0 &-1\\ 0 &1 &0\\ 0 &0 &0 \end{bmatrix}, \qquad \mathsf{D}= \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &4 \\ 0 &0 \end{bmatrix}. \end{array} \]

La matriu \(\mathsf{A}\) és una matriu quadrada, la matriu \(\mathsf{B}\) és una matriu esglaonada i triangular superior, la matriu \(\mathsf{C}\) és una matriu quadrada esglaonada reduïda i la matriu \(\mathsf{D}\) és una matriu diagonal.

0.2 Operacions amb matrius

Acabem aquest capítol amb algunes operacions bàsiques sobre matrius que emprarem en capítols posteriors.

Definició 4 (Matriu transposada) Siga \(\mathsf{A}=(\alpha_{ij})\) una matriu en \(\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\). Definim la matriu transposada d’\(\mathsf{A}\), i la denotem per \(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\), a la matriu en \(\mathrm{M}_{nm}(\mathbb{K})\) donada per \[ \mathsf{A}^{\mathsf{t}}=(\alpha_{ji}). \]

Podem considerar l’operador de transposició com l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} (\cdot)^{\mathsf{t}}\colon&\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})&\longrightarrow&\mathrm{M}_{nm}(\mathbb{K})\\ &\mathsf{A}&\longmapsto&\mathsf{A}^{\mathsf{t}} \end{array}. \]

Notem que \((\cdot)^{\mathsf{t}}\circ (\cdot)^{\mathsf{t}}=\mathrm{id}_{\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})}\). És a dir, la transposada de la transposada és la matriu original. A més, si \(\mathsf{D}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) és una matriu diagonal, aleshores \(\mathsf{D}^{\mathsf{t}}=\mathsf{D}\).

Recordem la definició de matriu identitat.

Definició 5 (Matriu identitat) Si \(n\) és un natural en \(\mathbb{N}\), definim la matriu identitat de tamany \(n\) sobre \(\mathbb{K}\), i la denotem per \(\mathsf{I}_{n}\), com la matriu en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) donada per \(\mathsf{I}_{n}=(\iota_{ij}),\) on \(\iota\) és l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} \iota\colon &\{1,\cdots,n\}\times \{1,\cdots,n\}&\longrightarrow&\mathbb{K}\\ &(i,j)&\longmapsto& \begin{cases} 1&\mbox{si }i=j;\\ 0&\mbox{si }i\neq j .\end{cases} \end{array} \]

És a dir, \(\mathsf{I}_{n}\) és una matriu quadrada de tamany \(n\) conformada per una diagonal d’uns \[ \mathsf{I}_{n}= \begin{bmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{bmatrix}. \]

A continuació introduïm el producte de matrius i recordem les seues propietats bàsiques.

Definició 6 (Producte de matrius) Siguen \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\) i \(\mathsf{B}\in\mathrm{M}_{np}(\mathbb{K})\) matrius sobre \(\mathbb{K}\) amb el mateix nombre de columnes i files, respectivament. Aleshores, si \(\mathsf{A}=(\alpha_{ij})\) i \(\mathsf{B}=(\beta_{jk})\), definim el producte d’\(\mathsf{A}\) per \(\mathsf{B}\), i el denotem per \(\mathsf{AB}\), com la matriu en \(\mathrm{M}_{mp}(\mathbb{K})\) donada per \[ \mathsf{AB}=\left( \sum_{j=1}^{n}\alpha_{ij}\beta_{jk} \right). \] Notem que, en l’anterior matriu tenim una entrada per a cada parell \((i,k)\). El producte de matrius, per tant, és una operació del tipus \[ \begin{array}{rccl} \cdot\colon&\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\times\mathrm{M}_{np}(\mathbb{K})&\longrightarrow&\mathrm{M}_{mp}(\mathbb{K})\\ &(\mathsf{A},\mathsf{B})&\longmapsto&\mathsf{AB} \end{array}. \] El producte de matrius és una operació associativa, però no necessàriament commutativa.

Si \(\mathsf{A}\) és una matriu quadrada en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) i \(k\in\mathbb{N}\), definim la potència \(k\)-èssima d’\(\mathsf{A}\), i la denotem per \(\mathsf{A}^{k}\), per recurrència com segueix \[ \left\lbrace \begin{array}{cccl} \mathsf{A}^{0}&=&\mathsf{I}_{n}\\ \mathsf{A}^{k+1}&=&\mathsf{A}\mathsf{A}^{k}&\qquad\mbox{per a }k>0. \end{array} \right. \]

Proposició 2 Siga \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\), aleshores \[ \mathsf{I}_{m}\mathsf{A}=\mathsf{A}=\mathsf{A}\mathsf{I}_{n}. \]

En particular, \(\mathsf{I}_{n}^{k}=\mathsf{I}_{n}\), per a tot \(k\in\mathbb{N}\).

La transposada del producte és el producte de les transposades en ordre invers.

Proposició 3 Siguen \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\) i \(\mathsf{B}\in\mathrm{M}_{np}(\mathbb{K})\), aleshores \[ \left(\mathsf{AB}\right)^{\mathsf{t}}=\mathsf{B}^{\mathsf{t}}\mathsf{A}^{\mathsf{t}}. \]

Definició 7 (Matriu invertible) Siga \(\mathsf{A}\) una matriu quadrada en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\). Direm que \(\mathsf{A}\) és invertible si existeix una matriu \(\mathsf{B}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) per a la qual \[ \mathsf{AB}=\mathsf{BA}=\mathsf{I}_{n}. \]

De les anteriors equacions podem deduir la unicitat de la matriu \(\mathsf{B}\), ja que si existira una altra matriu \(\mathsf{B}'\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) per a la qual \[ \mathsf{AB}'=\mathsf{B}'\mathsf{A}=\mathsf{I}_{n}, \] aleshores trobaríem la següent cadena d’igualtats \[ \mathsf{B}=\mathsf{B}\mathsf{I}_{n} = \mathsf{B}(\mathsf{AB}')= (\mathsf{B}\mathsf{A})\mathsf{B}' = \mathsf{I}_{n}\mathsf{B}' = \mathsf{B}'. \] Per tant, a la matriu \(\mathsf{B}\) la denotem per \(\mathsf{A}^{-1}\) i l’anomenem matriu inversa d’\(\mathsf{A}\). Notem que \((\mathsf{A}^{-1})^{-1}=\mathsf{A}\).

Denotem per \(\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\) al conjunt de totes les matrius quadrades de tamany \(n\) sobre \(\mathbb{K}\) invertibles, és a dir \[ \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})=\{ \mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\mid \mathsf{A}\mbox{ és invertible} \}. \]

El producte de matrius invertibles és una matriu invertible i la transposada d’una matriu invertible és una matriu invertible.

Proposició 4 Siguen \(\mathsf{A}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\) i \(\mathsf{B}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\), aleshores

1. \(\mathsf{AB}\in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\) i, a més, \((\mathsf{AB})^{-1}=\mathsf{B}^{-1}\mathsf{A}^{-1}\);
2. \(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\) i, a més, \((\mathsf{A}^{\mathsf{t}})^{-1}=(\mathsf{A}^{-1})^{\mathsf{t}}\).